1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线（力线）
矢量场的通量矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向若 S 为闭合曲面
()s rd AS
()S rdAS
若 矢量场 分布于空间中，在空间中取任意曲面 S，定义：
()Ar
为 矢量 沿 有向曲面 S 的通量 。
()Ar
物理意义：表示穿入和穿出闭合面 S的通量的 代数和 。
二、矢量场的散度
( ) c o s ( )s A r r d s
dS
n面元矢量 定义：面积很小的有向曲面
dS：面元面积，其值可认为无限小；
dS
n,面元法线方向，垂直于面元平面。
通过闭合面 S的通量的物理意义若,闭合面内有产生矢量线的 正源0
若,闭合面内有吸收矢量线的 负源0
若,闭合面内 无源0
三、矢量场的散度散度的定义在场空间 中任意点 M 处作一个闭合曲面，所围的体积为,则定义场矢量 在 M 点处的散度为：
()Ar
V? ()Ar
0
()d i v ( ) l i m ASA s
V
rdr
V

讨论：
散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的 通量源的分布特性矢量场的散度是一个标量矢量场的散度是空间坐标的函数矢量场的散度值表征空间中通量源的密度若,则该矢量场称为 有源场,?为源密度( ) 0d iv A r
( ) 0div A r?若 处处成立，则该矢量场称为 无源场讨论：在矢量场中，
( 正源 )( ) 0d iv F r 负源 )( ) 0d iv F r ( 无源 ）( ) 0divF r?
() yx zAA Ad i vA r x y z
( ) ( )x y z x x y y z ze e e e A e A e Ax y z
()Ar
式中：
()x y ze e ex y z
哈密顿算符散度的计算直角坐标系下：
圆柱坐标系下：
1()
rze e er r z

()11() rz Ar A AAr
r r r z

11( ( ) )
si nre e er r r

2
2
1 1 1( ) ( ) ( s i n )
s i n s i nr
AA r r A A
r r r r

球面坐标系下：
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
( ) ( )VsA r d V A r d S
该公式表明了矢量场 的散度在体积 V内的积分等于矢量场在限定该体积的 边界面 S上的积分（通量）。 ()Fr
散度定理的证明散度定理的证明从散度定义有：
00
()
( ) l i m l i ms
VV
A r d S d
Ar V V d V

则在一定体积 V内的总的通量为：
()V A r d V
得证！
()s A r d S