1.4 标量场的梯度一,等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面 (线 )，即为等值面 (线 )。即若标量函数为,则等值面方程为：(,,)u u x y z?
(,,)u x y z c c o n s t二,标量场的梯度梯度的定义
m a x(,,) l
ug r a d u x y z e
l

式中,为垂直于等值面（线）的方向。
le
梯度的性质标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大增加率梯度描述了空间某点处标量场 随位置变化的规律。(,,)u x y z
u P
N
le
M
uu
ne
梯度的运算
1
rz
u u uu e e e
r r z

11
sinr
u u uu e e e
r r r

()
x y z
x y z
u u u
g ra d u e e e
x y z
e e e u
x y z

u
在球面坐标系中柱面坐标系中直角坐标系下三,梯度的重要性质
0u 标量场的梯度恒等于零。
[]x y z x y z
u u u
e e e e y e e
x y z x z z

证 明,
左 边 = ( + )
2 2 2 2 2 2
[ ( ) ( ) ( ) ]
0
x y z
u u u u u u
e e e
y z z y z x x z x y y x