3.3 泊松方程 拉普拉斯方程柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。
标量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：
222
2
2 2 2
uuuu
x y z

矢量场的拉普拉斯运算
2 ( ) ( )F F F
在直角坐标系中：
2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F
对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
2uu
2?,”
式中,称为拉普拉斯算符。
补充内容,拉普拉斯运算一、静电场电位方程的建立
0/E
E

0/
即：
2 0/
电位的泊松方程在无源区域，
2 0
电位的拉普拉斯方程
0
二、电位方程的应用可用于求解静电场的边值问题。
半径为 a的带电导体球，已知球体电位为 U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
ra? 时：
0
U
E

例
ra? 时：
2 0
0
ra
r
U

2
2
1
( ) 0
0
ra
r
dd
r
r dr dr
U

1
2
0
ra
r
c
c
r
U

aU
r
E ( ) ( )
sinr
ee aUe
r r r r

2r
aUe
r?
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为 Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：
2
04
r
QEe
r
00
1()
44a a
QQU E d r
ra

04Q a U
2 r
aUEe
r
2rr
aUE d r d r
r?
aU
r?
1、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。
2、应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。
3、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。
在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。
小结：求空间电场分布的方法