第三节
单缝夫琅和费衍射
·
f
?
P
0C*
O
f?
B
A
一, 典型装置
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
?
x
s in ?aAC ???的光程差 PBA ?,
二, 菲涅耳 半波带法
( a 为缝 AB的宽度 )
二、衍射分析 __条纹分布
分析方法：菲涅尔波带法 __半波带法。
入射光, 衍射光均为平行光, 经 L汇聚
在其焦面上, 具体条纹分布：
（ 1）,中央明纹
各子波发出的光波间无光程差,?=0,在 处为明纹，称
中央明纹,明纹中心位置与缝宽的中心相对应。
0p
（ 2）,任意点 P的条纹
：衍射角 ? 入射光 (缝法线 )和衍射光的夹角,?与 P点的位置相对应
AB为波面,其上各点子波同位相,这些子波传播到 P点,经历了不
同的光程
A
B
0sin ??a —— 中央明纹
1,衍射暗纹、明纹条件
将波阵面分成许多面积 ?s相等的波带，并使从相邻 ?s各
对应点分成的光线的光程差为半个波长，即,这样的 ?s称为
半波带，每个半波带分成的子波数目相等。
2/?
B
A
?
半波带
半波带
?
A
B 1
1?
2
2?
P 为明纹。23s in ?? ?a 此时缝分成三个“半波带”,
?D
?
?sina ?sina
?
A
B
?sina
半波带：
相邻半波带各对应点的光线的光程差都是,即相位差
为,因而相邻半波带的光线在 P点都是干涉相消。
2/?
?
B
A
?
半波带
半波带
?
A
B 1
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2
2??D
?sina ?sina
?
A
B
?sina
分析,对于缝宽为 ?,衍射角为 ?的屏上 P点, 缝边缘的两条
光线之间的光程差为 ?? s inaBC ??
因而半波带的数目为：
2
sin
?
?aN ?
当 N为偶数时,两两相邻半波带的光线在 P点都干涉相消,P点的光
强为零,即 P点为暗点 ;
当 N为奇数时,相邻半波带发出的两两光线干涉相消后剩下一个半
波带发出的光未被抵消,因此,P点为明点。
单缝夫琅和费衍射条纹的明暗条件为：
a、暗纹条件
.,,,,,,3,2,122s i n ??? kka ??
暗纹
??? ???? 1s i n1 aBCk当
a
?? ?
1
第一暗纹衍射角
11 ?fx ? 第一暗纹位置
类似可得其它暗纹衍射角和位置
b、明纹条件
.,,,,,,3,2,12)12(s i n ???? kka ?? 明纹
0s in0 ?? ?? a当 中央明纹中心
(1) 得到的暗纹和中央明纹位置精确,其它明纹位置只是近似
(2) 单缝衍射 和双缝干涉条纹比较。
单缝衍射条纹 双缝干涉条纹
说明
2,单缝衍射明纹 角宽度和线宽度
衍射屏
透镜 观测屏
0??
1?? 1x
2x
? o
f
0x?
1x?
1x?
1?
中央明纹 角宽度 aλ22 10 ??? ??
线宽度 aλfffx 22t a n2 110 ????? ??
角宽度 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
线宽度 观察屏上相邻两暗纹中心的间距
第 k 级明纹 角宽度 aλk ??? 请写出线宽度
三, 单缝衍射强度 (振幅矢量法 )
Nax ??
设每个窄带在 P 点引起的振幅为 ?E?
令 P 处的合振幅为 pE
A,B 点 处窄带在 P 点引起振动的相位差为 ??? s inπ2 a?
相邻窄带的相位差为 N?? ?
N
x?
1,单缝衍射强度公式
将缝 AB 均分成 N 个窄带，每个窄带宽度为
f
?
P
0
C
B
A
·
对于 O点
对于其它点 P
op EE ?
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???????? α αIII op
m axEEo ?
δ
δ
δ
δ
0 ?β
( 如当 N 取 5 时 )
N 取无穷大时
相对光强曲线
?
0.1
2)s in(
α
α
I
I
o
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中央明纹
m a xIII o ??
暗纹条件
πs i n π kaα ??? ? ?
s in ?? ka ?? ?3,2,1?k
00 ?? ?? 处，
0s in0 ??? αI
和半波带法得到的暗纹条件一致。
2,明, 暗纹条件
-1,43 ?
1,43 ?
-2,46 ?
2,46 ?
?
?
I/I
0
? ππ?
π2? π2 ?
0
y ?tan?y ??y
?
?
?
?
…，，,π47.3π46.2π43.1 ????α解得
相应 …,47.3,46.2,43.1s i n λλλa ?????
2)12(s i n λka ???半波带法得到的明纹位置 是较好的近似
0dd ?αI明纹条件? αα ?tan
(1) 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。 aλ22 10 ??? ??
波动光学退化到几何光学。0?aλ 00 ???
1?aλ π?? 0? 观察屏上不出现暗纹。
讨论
(2)
(4) 缝位置变化不影响条纹位置分布
(3)
f
B
A
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
·
(5),a一定,,对同一级 (k值定 )条纹,???,?,反之,??,??
用白光作衍射光,中央明纹为白色,其它明纹为彩色
(6).?一定,改变 a
对同一级 (k值定 )条纹, a?,??缝越细, 衍射越明显, 最大
衍射角 ?=900
a?,??缝宽到一定程度，无衍射现象，为直线传播
(7).利用单缝衍射测波长,
已知暗纹间距为, a,f已知,由实验测定条纹间距 l,
即可测定波长 。 afl
??
求
?k???
?kθφa ??? )s i ns i n(
θakφ s i ns i n ??? ?
),3,2,1( ??k
对于暗纹有
则
如图示，设有一波长为 ?的单色平面波沿着与缝平面的法
线成 ? 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。
解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 ?的两光的光程差为
)s i ns i n( θφa ???
例
A
Bθ
φ
θasin
φasin
写出各级暗条纹对应的衍射角 ?所满足的条件。
单缝夫琅和费衍射
·
f
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P
0C*
O
f?
B
A
一, 典型装置
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
?
x
s in ?aAC ???的光程差 PBA ?,
二, 菲涅耳 半波带法
( a 为缝 AB的宽度 )
二、衍射分析 __条纹分布
分析方法：菲涅尔波带法 __半波带法。
入射光, 衍射光均为平行光, 经 L汇聚
在其焦面上, 具体条纹分布：
（ 1）,中央明纹
各子波发出的光波间无光程差,?=0,在 处为明纹，称
中央明纹,明纹中心位置与缝宽的中心相对应。
0p
（ 2）,任意点 P的条纹
：衍射角 ? 入射光 (缝法线 )和衍射光的夹角,?与 P点的位置相对应
AB为波面,其上各点子波同位相,这些子波传播到 P点,经历了不
同的光程
A
B
0sin ??a —— 中央明纹
1,衍射暗纹、明纹条件
将波阵面分成许多面积 ?s相等的波带，并使从相邻 ?s各
对应点分成的光线的光程差为半个波长，即,这样的 ?s称为
半波带，每个半波带分成的子波数目相等。
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B
A
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半波带
半波带
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P 为明纹。23s in ?? ?a 此时缝分成三个“半波带”,
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半波带：
相邻半波带各对应点的光线的光程差都是,即相位差
为,因而相邻半波带的光线在 P点都是干涉相消。
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半波带
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分析,对于缝宽为 ?,衍射角为 ?的屏上 P点, 缝边缘的两条
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因而半波带的数目为：
2
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当 N为偶数时,两两相邻半波带的光线在 P点都干涉相消,P点的光
强为零,即 P点为暗点 ;
当 N为奇数时,相邻半波带发出的两两光线干涉相消后剩下一个半
波带发出的光未被抵消,因此,P点为明点。
单缝夫琅和费衍射条纹的明暗条件为：
a、暗纹条件
.,,,,,,3,2,122s i n ??? kka ??
暗纹
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a
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1
第一暗纹衍射角
11 ?fx ? 第一暗纹位置
类似可得其它暗纹衍射角和位置
b、明纹条件
.,,,,,,3,2,12)12(s i n ???? kka ?? 明纹
0s in0 ?? ?? a当 中央明纹中心
(1) 得到的暗纹和中央明纹位置精确,其它明纹位置只是近似
(2) 单缝衍射 和双缝干涉条纹比较。
单缝衍射条纹 双缝干涉条纹
说明
2,单缝衍射明纹 角宽度和线宽度
衍射屏
透镜 观测屏
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中央明纹 角宽度 aλ22 10 ??? ??
线宽度 aλfffx 22t a n2 110 ????? ??
角宽度 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
线宽度 观察屏上相邻两暗纹中心的间距
第 k 级明纹 角宽度 aλk ??? 请写出线宽度
三, 单缝衍射强度 (振幅矢量法 )
Nax ??
设每个窄带在 P 点引起的振幅为 ?E?
令 P 处的合振幅为 pE
A,B 点 处窄带在 P 点引起振动的相位差为 ??? s inπ2 a?
相邻窄带的相位差为 N?? ?
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x?
1,单缝衍射强度公式
将缝 AB 均分成 N 个窄带，每个窄带宽度为
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对于 O点
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和半波带法得到的暗纹条件一致。
2,明, 暗纹条件
-1,43 ?
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-2,46 ?
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…，，,π47.3π46.2π43.1 ????α解得
相应 …,47.3,46.2,43.1s i n λλλa ?????
2)12(s i n λka ???半波带法得到的明纹位置 是较好的近似
0dd ?αI明纹条件? αα ?tan
(1) 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。 aλ22 10 ??? ??
波动光学退化到几何光学。0?aλ 00 ???
1?aλ π?? 0? 观察屏上不出现暗纹。
讨论
(2)
(4) 缝位置变化不影响条纹位置分布
(3)
f
B
A
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
·
(5),a一定,,对同一级 (k值定 )条纹,???,?,反之,??,??
用白光作衍射光,中央明纹为白色,其它明纹为彩色
(6).?一定,改变 a
对同一级 (k值定 )条纹, a?,??缝越细, 衍射越明显, 最大
衍射角 ?=900
a?,??缝宽到一定程度，无衍射现象，为直线传播
(7).利用单缝衍射测波长,
已知暗纹间距为, a,f已知,由实验测定条纹间距 l,
即可测定波长 。 afl
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求
?k???
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对于暗纹有
则
如图示，设有一波长为 ?的单色平面波沿着与缝平面的法
线成 ? 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。
解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 ?的两光的光程差为
)s i ns i n( θφa ???
例
A
Bθ
φ
θasin
φasin
写出各级暗条纹对应的衍射角 ?所满足的条件。
