§ 4-2最大值,最小值
及在最优化中的应用
复习旧知识：
1,f(x0)是函数 f(x)的一个极大值这
一概念是怎样叙述的？
2,f(x0)是函数 f(x)的一个极小值这
一概念是怎样叙述的？
3、求函数的极值的步骤是哪四步？
0 x
y
a bx0
y=f(x)
f(x0)
f(b)
一、函数的最大值与最小值
定义, 设 f(x)是区间 [a,b]上的连续函数, 如果
存在点 x0∈ [a,b],使得对于所有 x∈ [a,b],都有
f(x)≤f(x0)（ 或 f(x)≥f(x0)）, 则称
f(x0)是函数 f(x)在 [a,b]上的最大值 （ 或最小值 ） 。
最大值和最小值统称最值。
0 x
y
a bx0
y=f(x)
f(x0)
f(b)最大值
最小值
可以看出,函数在区间 [a,b]上的最大值和最小值要么是区间
端点的函数值，要么是极值。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
求函数最值的一般方法：
先求出 f(x)在 [a,b]内的所有驻点
（或不可导但连续的点），
将这些点的函数值与区间端点的
函数值 f(a),f(b)进行比较，
其中最大（小）的就是函数在区
间 [a,b]上的最大（小）值
例 1：求函数 在区间 [-4, 4]上
的最值
解：
令,解之得驻点
驻点函数值 端点函数值
比较以上函数值的大小，可得
函数的最大值为 最小值为
3093)( 23 ???? xxxxf
)3)(1(3963)( 2 ??????? xxxxxf
0)( ?? xf 31 21 ??? xx
35)1( ??f 3)3( ?f
46)4( ???f 10)4( ?f
35)1( ??f 46)4( ???f
注：如果连续函数 f(x)在区间（有限或无限，
开或闭）内只有一个驻点 x0,而这个驻点又是极值
点，那么，当 f(x0)是极大值时，它就是最大值；当
f(x0)是极小值时，它就是最小值。
y
a x0 b xo xa x0 bo
练习,
习题 15-2 第 题
二、函数最值应用问题举例
在工农业生产, 科学技术研究和经营管理中,
常常会遇到在一定条件下, 怎样使用料最省,
产量最多, 成本最低, 效益最大等最优化问题 。
这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或
最小值的办法来解决 。
下面的实际应用问题，我们曾经建立过它
的数学模型。
例题 1：有一边长为 48厘米的正方形铁皮，
从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各
边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正
方形，才能使所做的铁盒容积最大？
48
48-2x
x 48-2x
x
解,（ 1） 设截去的小正
方形边长为 x,盒子的容积
为 y.
盒子容积即长方体体积,
等于
底面积乘高, 即
盒子容积与截去的小正方
形边长
之间的函数关系为
?y xx ?? 2)248( )24,0(?x
48
48-2x
x
48-2x
x
（ 2）问题转化成求容积 y的最大值，同时求
出小正方形边长 x.由上一节求函数最值的程
序，应先求导数及驻点。
)8)(24(12)648)(248()2484)(248(
)248()2()248(2)248(])248[( 222
???????????
??????????????
xxxxxxx
xxxxxxxy
?y xx ?? 2)248( )24,0(?x
令 解之得驻点 （此根不在定义
域范围，舍去） 0??y
248 21 ?? xx
（ 3） 由上一节求函数最值的程序, 应把驻点的函数值
与闭区间端点的函数值进行比较, 但这是开区间, 没
有端点, 又只有一个驻点, 根据常识, 铁盒必然存在
一个最大容积, 因此这个驻点就是使函数 （ 铁盒容积 ）
取最大值的最大值点 。 即
当截去的小正方形边长为 8（厘米）时，使铁盒容
积最大。
（ 1） 设出自变量和函数的字母, 列函数式, 并
找出自变量取值范围 。
（ 2） 求导数, 并求 的根, 即驻点 。
（ 3） 如果定义域为闭区间, 则用求函数最值的
办法求解 。
如果定义域为开区间, 且只有一个驻点,
那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或
最小值点 。
由上例可以得出求实际应用问题
最大值和最小值的一般步骤：
0)( ?? xf
互动练习题,
如图,靠墙建一个矩形的猪圈,现只有围
60米的建筑材料,
问长和宽怎样选取,可以使猪圈的面积最大?
x
小结,
1,求函数最值的一般方法：
先求出 f(x)在 [a,b]内的所有驻点
（或不可导但连续的点），
将这些点的函数值与区间端点的
函数值 f(a),f(b)进行比较，
其中最大（小）的就是函数在区
间 [a,b]上的最大（小）值
2,求实际应用问题最大值和最小值的
一般步骤：
（ 1） 设出自变量和函数的字母, 列函数式, 并
找出自变量取值范围 。
（ 2） 求导数, 并求 的根, 即驻点 。
（ 3） 如果定义域为闭区间, 则用求函数最值的
办法求解 。
如果定义域为开区间, 且只有一个驻点,
那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或
最小值点 。
0)( ?? xf
课后作业
习 题 4-2
1,3,4
及在最优化中的应用
复习旧知识：
1,f(x0)是函数 f(x)的一个极大值这
一概念是怎样叙述的？
2,f(x0)是函数 f(x)的一个极小值这
一概念是怎样叙述的？
3、求函数的极值的步骤是哪四步？
0 x
y
a bx0
y=f(x)
f(x0)
f(b)
一、函数的最大值与最小值
定义, 设 f(x)是区间 [a,b]上的连续函数, 如果
存在点 x0∈ [a,b],使得对于所有 x∈ [a,b],都有
f(x)≤f(x0)（ 或 f(x)≥f(x0)）, 则称
f(x0)是函数 f(x)在 [a,b]上的最大值 （ 或最小值 ） 。
最大值和最小值统称最值。
0 x
y
a bx0
y=f(x)
f(x0)
f(b)最大值
最小值
可以看出,函数在区间 [a,b]上的最大值和最小值要么是区间
端点的函数值，要么是极值。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
求函数最值的一般方法：
先求出 f(x)在 [a,b]内的所有驻点
（或不可导但连续的点），
将这些点的函数值与区间端点的
函数值 f(a),f(b)进行比较，
其中最大（小）的就是函数在区
间 [a,b]上的最大（小）值
例 1：求函数 在区间 [-4, 4]上
的最值
解：
令,解之得驻点
驻点函数值 端点函数值
比较以上函数值的大小，可得
函数的最大值为 最小值为
3093)( 23 ???? xxxxf
)3)(1(3963)( 2 ??????? xxxxxf
0)( ?? xf 31 21 ??? xx
35)1( ??f 3)3( ?f
46)4( ???f 10)4( ?f
35)1( ??f 46)4( ???f
注：如果连续函数 f(x)在区间（有限或无限，
开或闭）内只有一个驻点 x0,而这个驻点又是极值
点，那么，当 f(x0)是极大值时，它就是最大值；当
f(x0)是极小值时，它就是最小值。
y
a x0 b xo xa x0 bo
练习,
习题 15-2 第 题
二、函数最值应用问题举例
在工农业生产, 科学技术研究和经营管理中,
常常会遇到在一定条件下, 怎样使用料最省,
产量最多, 成本最低, 效益最大等最优化问题 。
这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或
最小值的办法来解决 。
下面的实际应用问题，我们曾经建立过它
的数学模型。
例题 1：有一边长为 48厘米的正方形铁皮，
从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各
边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正
方形，才能使所做的铁盒容积最大？
48
48-2x
x 48-2x
x
解,（ 1） 设截去的小正
方形边长为 x,盒子的容积
为 y.
盒子容积即长方体体积,
等于
底面积乘高, 即
盒子容积与截去的小正方
形边长
之间的函数关系为
?y xx ?? 2)248( )24,0(?x
48
48-2x
x
48-2x
x
（ 2）问题转化成求容积 y的最大值，同时求
出小正方形边长 x.由上一节求函数最值的程
序，应先求导数及驻点。
)8)(24(12)648)(248()2484)(248(
)248()2()248(2)248(])248[( 222
???????????
??????????????
xxxxxxx
xxxxxxxy
?y xx ?? 2)248( )24,0(?x
令 解之得驻点 （此根不在定义
域范围，舍去） 0??y
248 21 ?? xx
（ 3） 由上一节求函数最值的程序, 应把驻点的函数值
与闭区间端点的函数值进行比较, 但这是开区间, 没
有端点, 又只有一个驻点, 根据常识, 铁盒必然存在
一个最大容积, 因此这个驻点就是使函数 （ 铁盒容积 ）
取最大值的最大值点 。 即
当截去的小正方形边长为 8（厘米）时，使铁盒容
积最大。
（ 1） 设出自变量和函数的字母, 列函数式, 并
找出自变量取值范围 。
（ 2） 求导数, 并求 的根, 即驻点 。
（ 3） 如果定义域为闭区间, 则用求函数最值的
办法求解 。
如果定义域为开区间, 且只有一个驻点,
那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或
最小值点 。
由上例可以得出求实际应用问题
最大值和最小值的一般步骤：
0)( ?? xf
互动练习题,
如图,靠墙建一个矩形的猪圈,现只有围
60米的建筑材料,
问长和宽怎样选取,可以使猪圈的面积最大?
x
小结,
1,求函数最值的一般方法：
先求出 f(x)在 [a,b]内的所有驻点
（或不可导但连续的点），
将这些点的函数值与区间端点的
函数值 f(a),f(b)进行比较，
其中最大（小）的就是函数在区
间 [a,b]上的最大（小）值
2,求实际应用问题最大值和最小值的
一般步骤：
（ 1） 设出自变量和函数的字母, 列函数式, 并
找出自变量取值范围 。
（ 2） 求导数, 并求 的根, 即驻点 。
（ 3） 如果定义域为闭区间, 则用求函数最值的
办法求解 。
如果定义域为开区间, 且只有一个驻点,
那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或
最小值点 。
0)( ?? xf
课后作业
习 题 4-2
1,3,4
