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第三章 导数与微分
§ 3－ 2 函数的求导法则
§ 3－ 3 微分
§ 3－ 1 导数的概念
本章小结与提高
在专业课许多的问题中，需要研究各种变量的变
化速度。如物体的运动速度，电流变化，密度变化，
热量变化，化学反应速度及生物繁殖率等，这些都在
数学上都可以归结为函数的导数或微分问题。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中
两个最重要的基本概念 —— 导数与微分，然后再建
立求导数和微分的运算公式和法则，从而解决有关
变化率的数学模型计算问题。
重点 导数与微分的定义，几何解释，基本公式，运算，复合函数求导
难点 导数、微分与实际结合，用定义求导，复合函数求导
x→a 时函数的极限
设函数 y＝ f(x)在点 a的邻域内 (即 a的左右,a可除外 )有定义，且
当 x从 a的左右两侧同时无限趋近于 a时，函数值 f(x)都趋近于常
数 A，则称 A是当 x趋近于 a 时，函数 y＝ f(x)的极限，并记作
Axfax ?? )(lim
连续。在点那么就称函数
或
如果的某一邻域内有定义，在点设函数连续
0
00
00
0
0
)(
0)]()([limlim)()(lim
)(:
0
xxfy
xfxxfyxfxf
xxfy
xxxx
?
???????
?
?????
极限,x→∞ 时函数的极限
对于函数 y＝ f(x)，如果 x可正可负，且 |x|无限增大时,f(x)无限
趋于某常数 A，则称 A是当 x趋于无穷时函数 y＝ f(x)的极限,
.)(lim Axfx ???
复习巩固
在实际问题中，需要研究某个变量相对于另一
个变量变化的快慢程度，这类问题通常叫做变化率
问题，下面将通过对实际问题的分析，建立导数的
概念，从而用导数的数学模型解决有关变化率的许
多的问题．
一 导数的物理与几何模型
二 导数的定义
§ 3－ 1 导数的概念
三 导数的经济意义
1,瞬时速度问题
0t
t
如图,,0 时刻的瞬时速度求 t
,0 tt 的时刻取一邻近于,t?运动时间
t?
,0时当 tt ? 取极限得,2 t)(tlimv 0
0
??
?
g
tt
瞬时速度,0gt?
一 导数的物理与几何模型
自由落体运动：
t
sv
?
??平均速度
0
0
tt
ss
?
??
).(2 0 ttg ??
0
2
02
12
2
1
tt
gtgt
?
?
?
s = s(t)
Δs
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也
同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程
为 s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt ?
?
?? 000
l i ml i m)(
??
??
t
tstts
t ?
?
?
)()(lim 00
0
???
?
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
运动物体的瞬时速度是路程函数的增量和
时间增量之比在当时间增量趋于零时的极限
在曲线上另取一点 N(x0??x? y0??y)? 作割线 MN?
设其倾角为 j? 观察切线的形成 ?
求曲线 y?f(x)在点 M(x0? y0)处的切线的斜率 ?
2.切线斜率问题
当 ?x?0时 ? 动点 N将沿曲线趋向于定点 M? 从而割线
MN也将随之变动而趋向于切线 MT?
此时割线 MN的斜率趋向
于切线 MT的斜率 ?
x
y
xx ?
???
???? 00
l i mt a nl i mt a n j?
x
xfxxf
x ?
????
??
)()(lim 00
0
?
上述曲线 )(xfy ? 在点 M处的纵坐标 y的增量 yΔ
与横坐标 x 的增量 xΔ 之比,当 0??x 时的极限即为曲
线在 M点处的切线斜率,
导数是变化率问题的 数学抽象
二、导数的定义
定义：
.)()(
.)()(
,lim,0
).(),()(
:,
,)(
00
00
0
000
0
0
0
处是可导的在点这时称函数或记作
的变化率关于自变量处函数处的导数或在点在
则此极限值称为函数存在极限时如果当
函数相应的改变量为处的改变量在量
对应于自变内有定义及其某个邻域在点设函数
xxfy．xfy
xxfxxxfy
x
y
x
uxxxfxxfy
xxx
uxxfy
xx
x
???
?
?
?
??
????????
?
?
?
??
即 x xfxxfxyy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
如果当 0??x 时，
x
y
?
? 的极限不存在，则称函数 )(xfy ? 在点
0x
处 不可导,如果不可导的原因是当 0??x 时，
????xy
所引起的，则称函数 )(xf 在点
0x
处的导数为无穷大．导数
反映了函数 )(xf 在点
0x
的变化速度，故也称导数 )( 0xf? 为函数
)(xf 在点
0x
的变化率．
其它形式,)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
00
)()(
0 xxxx dx
xdf
dx
dyxy
???
导数的其它符号
导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个
更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意
义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质
.
,
0
化的快慢程度
而变因变量随自变量的变化它反映了率
处的变化点某点的导数是因变量在 x
．xxfxx
xfxxfy
，xxxfy
x
y
的割线斜率
及点上点它的几何意义是过曲线
范围内的平均变化率在对自变量是函数
)](),[(
)](,[)(
)(
00
00
????
?
??
?
?
★
★
★
★
).0()0(,
)0()0(
).(
,,
).0()0(,
)(,
).0(
)()(
lim
);0(
)()(
lim
:
00
00
000
0
00
0
00
0
?????
????
????
?
???
?
???
???
?
???
?
?
??
??
xfxf
xfxf
xfxfx
xfy
xf
x
xfxxf
xf
x
xfxxf
ox
x
且都存在
及必要条件是显然有导数存在的充分
或不相等之一不可能存在
这两个极限或其中导数不存在时由极限的性质可知
和即处的左导数和右导数
在点把它们分别称为函数若这两个极限存在
极限式的性质可引两个特殊的由导数的定义以及极限
可以证明，如果函数 y=f(x)在点 x0处可导 ? 则它在点 x0处
连续 ?相反 函数 y=f(x)在点 x0处连续 ? 但在点 x0处不一定可导 ?
.:
.
)()(
lim)(,
)(
)()(
),(),()(
),()(
)()(
0
0
0
00
xx
x
dx
dy
xy
x
xfxxf
xf
dx
dy
dx
dy
。xf
，xxf，xf
bax，。baxf
，xbaxfy
xxfxfy
?
??
?
???
???
??
?
?
??
处的导数又可记为在函数
导函数记为
的导函数函数
称其为的函数也是因此均有对应的导数值
对于每一这时内可导在区间称函数
则处是可导的内任一点在区间如果函数
有关。仅与点后、其导数在给定函数
导函数的定义
.6)3(:
.6)6(limlim:.lim:3
.6
6
:.:2
63)3(
)()(:.1
3)(:1
000
2
222
00
0
2
??
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?
?
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?????????
??????
???
??????
y
x
x
y
x
y
x
x
xx
x
y
x
y
xxxy
xfxxfyy：
xxxfy
xxx
即
解）、求
解）、求
解）、求解
处的导数在根据导数的定义求例题
.lim3.2.1
:
0 x
y
x
y
y
x ?
?
?
?
?
??
、求、、求
求导数的步骤
思考, 函数 y=x2在任意处的导数
例题 2：
解：
即 (C)??0?
解 ? f ? ( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ??? ? 0l i m 0 ??? ? h CCh ? 解 ? f ?( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ??? ? 0lim 0 ??? ? h CCh ?
求函数 f(x)?C 的导数 (C为常数 ) ?
例 2 ? 求 xxf 1)( ? 的 导 数 ?
例题 3：
解：
即：
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
??????
??
200
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
????????
??
? 2
00
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
????????
??
?
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
??????
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.1)1( 2xx ???
x
xxx
xxaxx
xdx
xd
x
x
xxxxx
xxx
x
xxx
x
y
xxxy
xy
aa
x
xx
1
)( l ns i n)( c o s
c o s)( s i n)(:
.
2
1
2
1
)(:
.
2
1
)(
lim
limlim
:
.:4
1
0
00
?????
????
???
?
????
???
?
?
???
?
?
?
?????
?
?
??
????
同理可求得
或即
解
的导函数求例题
导数应用分析
增大率为多少？秒末，扰动水面面积的问在秒率为
增大波纹，若最外圈半径的石头落静水中产生同心例
3,/6
1
m
：
即面积的增大率求且知）（
）（这里系为已知圆面积与半径的关
dt
dS，
dt
drtrr
tSSrS
6,
,2
??
?? ?
? ? ? ? ? ?秒求导对由 /216|72,366 23322 mrtdtdSttttS tt ???? ???? ??
5.0)(' ?? dtdVtV t
m3
例 2：已知水管中安装的流量计的指针为 0.5,可解释为某函
数的导数 。
因为此问题与水流速无关, 这是以 为单位测量出来的
水量的变化率, 可想象水管中流出的水都储藏在一个水容器
中, 设 V(t)为 t时刻水容器中水所占的容积, 则 V(t)的变化率就
是 0.5, 即
t
m3
t
m3
t
m3
例 3：非恒定电流的强度（或交流电）
恒定电流强度公式复习：
（单位时间内通过导线横截面的电量） t
Qi ?
设非恒定电流从 0到 t这段时间内通过导线横
截面的电量为 Q=Q(t)。则在 上的平均
电流强度为：
],[ 00 ttt ??
t
tQttQ
t
Qi
?
????
?
?? )()( 00
t0时刻的电流强度为,
t
tQttQ
t
Qiti
ttt ?
????
?
???
??????
)()(limlimlim)( 00
0000
.lim)(
0 dt
dQ
t
Qti
t
????
??
任意 t时刻的电流强度为,
本课小结,
关于导数的概念与意义现已作了初步认识
下一节课还将作进一步的分析与计算
学习书上,(例 5:写出下列问题的数学模型 )
习题 3-1
1．物体的直线运动方程为 32 ?? tS,计算从 2?t
到 tt ??? 2 之间的平均速度，并计算当 1.0??t
时的平均速度，再计算 2?t 时的瞬时速度．
4．求曲线 xy ? 在点 )2,4(P 处的切线方程．
课堂练习
课后练习
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第三章 导数与微分
§ 3－ 2 函数的求导法则
§ 3－ 3 微分
§ 3－ 1 导数的概念
本章小结与提高
在专业课许多的问题中，需要研究各种变量的变
化速度。如物体的运动速度，电流变化，密度变化，
热量变化，化学反应速度及生物繁殖率等，这些都在
数学上都可以归结为函数的导数或微分问题。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中
两个最重要的基本概念 —— 导数与微分，然后再建
立求导数和微分的运算公式和法则，从而解决有关
变化率的数学模型计算问题。
重点 导数与微分的定义，几何解释，基本公式，运算，复合函数求导
难点 导数、微分与实际结合，用定义求导，复合函数求导
x→a 时函数的极限
设函数 y＝ f(x)在点 a的邻域内 (即 a的左右,a可除外 )有定义，且
当 x从 a的左右两侧同时无限趋近于 a时，函数值 f(x)都趋近于常
数 A，则称 A是当 x趋近于 a 时，函数 y＝ f(x)的极限，并记作
Axfax ?? )(lim
连续。在点那么就称函数
或
如果的某一邻域内有定义，在点设函数连续
0
00
00
0
0
)(
0)]()([limlim)()(lim
)(:
0
xxfy
xfxxfyxfxf
xxfy
xxxx
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???????
?
?????
极限,x→∞ 时函数的极限
对于函数 y＝ f(x)，如果 x可正可负，且 |x|无限增大时,f(x)无限
趋于某常数 A，则称 A是当 x趋于无穷时函数 y＝ f(x)的极限,
.)(lim Axfx ???
复习巩固
在实际问题中，需要研究某个变量相对于另一
个变量变化的快慢程度，这类问题通常叫做变化率
问题，下面将通过对实际问题的分析，建立导数的
概念，从而用导数的数学模型解决有关变化率的许
多的问题．
一 导数的物理与几何模型
二 导数的定义
§ 3－ 1 导数的概念
三 导数的经济意义
1,瞬时速度问题
0t
t
如图,,0 时刻的瞬时速度求 t
,0 tt 的时刻取一邻近于,t?运动时间
t?
,0时当 tt ? 取极限得,2 t)(tlimv 0
0
??
?
g
tt
瞬时速度,0gt?
一 导数的物理与几何模型
自由落体运动：
t
sv
?
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0
0
tt
ss
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0
2
02
12
2
1
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?
?
s = s(t)
Δs
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也
同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程
为 s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
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?
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l i ml i m)(
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0
???
?
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
运动物体的瞬时速度是路程函数的增量和
时间增量之比在当时间增量趋于零时的极限
在曲线上另取一点 N(x0??x? y0??y)? 作割线 MN?
设其倾角为 j? 观察切线的形成 ?
求曲线 y?f(x)在点 M(x0? y0)处的切线的斜率 ?
2.切线斜率问题
当 ?x?0时 ? 动点 N将沿曲线趋向于定点 M? 从而割线
MN也将随之变动而趋向于切线 MT?
此时割线 MN的斜率趋向
于切线 MT的斜率 ?
x
y
xx ?
???
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l i mt a nl i mt a n j?
x
xfxxf
x ?
????
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)()(lim 00
0
?
上述曲线 )(xfy ? 在点 M处的纵坐标 y的增量 yΔ
与横坐标 x 的增量 xΔ 之比,当 0??x 时的极限即为曲
线在 M点处的切线斜率,
导数是变化率问题的 数学抽象
二、导数的定义
定义：
.)()(
.)()(
,lim,0
).(),()(
:,
,)(
00
00
0
000
0
0
0
处是可导的在点这时称函数或记作
的变化率关于自变量处函数处的导数或在点在
则此极限值称为函数存在极限时如果当
函数相应的改变量为处的改变量在量
对应于自变内有定义及其某个邻域在点设函数
xxfy．xfy
xxfxxxfy
x
y
x
uxxxfxxfy
xxx
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即 x xfxxfxyy
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如果当 0??x 时，
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? 的极限不存在，则称函数 )(xfy ? 在点
0x
处 不可导,如果不可导的原因是当 0??x 时，
????xy
所引起的，则称函数 )(xf 在点
0x
处的导数为无穷大．导数
反映了函数 )(xf 在点
0x
的变化速度，故也称导数 )( 0xf? 为函数
)(xf 在点
0x
的变化率．
其它形式,)()(lim)( 00
00 h
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????
?
.)()(lim)(
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0 xx
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???
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00
)()(
0 xxxx dx
xdf
dx
dyxy
???
导数的其它符号
导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个
更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意
义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质
.
,
0
化的快慢程度
而变因变量随自变量的变化它反映了率
处的变化点某点的导数是因变量在 x
．xxfxx
xfxxfy
，xxxfy
x
y
的割线斜率
及点上点它的几何意义是过曲线
范围内的平均变化率在对自变量是函数
)](),[(
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★
★
★
★
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x
xfxxf
xf
x
xfxxf
ox
x
且都存在
及必要条件是显然有导数存在的充分
或不相等之一不可能存在
这两个极限或其中导数不存在时由极限的性质可知
和即处的左导数和右导数
在点把它们分别称为函数若这两个极限存在
极限式的性质可引两个特殊的由导数的定义以及极限
可以证明，如果函数 y=f(x)在点 x0处可导 ? 则它在点 x0处
连续 ?相反 函数 y=f(x)在点 x0处连续 ? 但在点 x0处不一定可导 ?
.:
.
)()(
lim)(,
)(
)()(
),(),()(
),()(
)()(
0
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00
xx
x
dx
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bax，。baxf
，xbaxfy
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?
?
??
处的导数又可记为在函数
导函数记为
的导函数函数
称其为的函数也是因此均有对应的导数值
对于每一这时内可导在区间称函数
则处是可导的内任一点在区间如果函数
有关。仅与点后、其导数在给定函数
导函数的定义
.6)3(:
.6)6(limlim:.lim:3
.6
6
:.:2
63)3(
)()(:.1
3)(:1
000
2
222
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xfxxfyy：
xxxfy
xxx
即
解）、求
解）、求
解）、求解
处的导数在根据导数的定义求例题
.lim3.2.1
:
0 x
y
x
y
y
x ?
?
?
?
?
??
、求、、求
求导数的步骤
思考, 函数 y=x2在任意处的导数
例题 2：
解：
即 (C)??0?
解 ? f ? ( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ??? ? 0l i m 0 ??? ? h CCh ? 解 ? f ?( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ??? ? 0lim 0 ??? ? h CCh ?
求函数 f(x)?C 的导数 (C为常数 ) ?
例 2 ? 求 xxf 1)( ? 的 导 数 ?
例题 3：
解：
即：
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
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??
200
1
)(
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)(lim xxhxxhxh
h
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)(lim xxhxxhxh
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11
lim)()(lim)(
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.1)1( 2xx ???
x
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)( l ns i n)( c o s
c o s)( s i n)(:
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.
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????
???
?
????
???
?
?
???
?
?
?
?????
?
?
??
????
同理可求得
或即
解
的导函数求例题
导数应用分析
增大率为多少？秒末，扰动水面面积的问在秒率为
增大波纹，若最外圈半径的石头落静水中产生同心例
3,/6
1
m
：
即面积的增大率求且知）（
）（这里系为已知圆面积与半径的关
dt
dS，
dt
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tSSrS
6,
,2
??
?? ?
? ? ? ? ? ?秒求导对由 /216|72,366 23322 mrtdtdSttttS tt ???? ???? ??
5.0)(' ?? dtdVtV t
m3
例 2：已知水管中安装的流量计的指针为 0.5,可解释为某函
数的导数 。
因为此问题与水流速无关, 这是以 为单位测量出来的
水量的变化率, 可想象水管中流出的水都储藏在一个水容器
中, 设 V(t)为 t时刻水容器中水所占的容积, 则 V(t)的变化率就
是 0.5, 即
t
m3
t
m3
t
m3
例 3：非恒定电流的强度（或交流电）
恒定电流强度公式复习：
（单位时间内通过导线横截面的电量） t
Qi ?
设非恒定电流从 0到 t这段时间内通过导线横
截面的电量为 Q=Q(t)。则在 上的平均
电流强度为：
],[ 00 ttt ??
t
tQttQ
t
Qi
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t0时刻的电流强度为,
t
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任意 t时刻的电流强度为,
本课小结,
关于导数的概念与意义现已作了初步认识
下一节课还将作进一步的分析与计算
学习书上,(例 5:写出下列问题的数学模型 )
习题 3-1
1．物体的直线运动方程为 32 ?? tS,计算从 2?t
到 tt ??? 2 之间的平均速度，并计算当 1.0??t
时的平均速度，再计算 2?t 时的瞬时速度．
4．求曲线 xy ? 在点 )2,4(P 处的切线方程．
课堂练习
课后练习
