第四章 导数的应用
在前面的一章的学习了导数的有关知识,在本章将学习利用导数来解决实际
问题,如要制作一个一定容积的易拉罐,怎样来制作,才能使所用的材料最省？
又如给你一定数量的瓷砖,围一长方形的水池,要使水池容积最大应怎样围?
在生产实践中，经常会遇到在一定条件下，怎样使, 材料最省,,, 功率最大, 等问题．
实践中的这类, 最省,,, 最大, 的问题，就是数学上求函数最大值、最小值问题．
较简单函数或者较特殊函数的最大值、最小值问题，我们容易求得，
那么对于一般函数的最大值、最小值问题，我们又该怎样处理呢？
有了导数这一工具，上述等问题的解决将变得十分容易,
本章将利用导数来研究函数（或曲线）的某些基本性态，
并利用这些知识来解决一些实际问题．
§ 4-1 极值
一、函数单调性的判断
二、函数的极值
一、函数单调性的判断
1、复习函数单调性的概念
2、函数单调性的判定定理
复习函数单调性的概念
设函数 y=f(x)的定义域为 D，对 D
内任意两实数,,当 时
①若,称
在 D内是单调增函数。
②若,称
在 D内是单调减函数。
1x 2x 21 xx ?
)()( 21 xfxf ? )(xf
)()( 21 xfxf ? )(xf
2、函数单调性的判断,
定理：
设函数 f(x)在 [ a,b]上连续,在 (a,b)内可导
①若 x∈ (a,b) 时,则 f(x)在 (a,b)内单调增加
②若 x∈ (a,b) 时,则 f(x)在 (a,b)内单调减少
②若 x∈ (a,b) 时,则 f(x)在 (a,b)内为常数
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
例 1 判定函数 f(x)=sinx在 (0,2π )上的单调性．
定义,使导数为零的点（即
的实根 )叫函数的驻点．
0)( ?? xf
从图上可以看出，点 和 正好是
函数单调增减的分界点,曲线在该点处的
切线平行于 X轴，即函数在该点处的导数
等于零．这就是说函数的导数等于零的点
可能是函数单调增减的分界点．
2
?
2
3?
(1) 定理中的闭区间 [a,b]可改为其它各种区间结论也成立。
(2) 定理的条件是充分而非必要。
(3) 有些函数在整个定义域内都是单调的,而有些函数
在它的整个定义域内并不是单调的,因此在判别函
数的单调性时,要先划分出函数单调区间的分界点,
一般对于可导函数来说,就是找 的根。0)( ?? xf
3、求函数单调区间的一般步骤是：
（ 1）确定函数的定义域
（ 2）求出函数的全部驻点和导数不存在的点，
并用这些点把定义域分成若干个区间
（ 3）列表讨论函数在各个区间的单调增减性
1、定义：函数 y=f (X)在点 及其左右近旁有定义,
若对于点 附近任意一点 X(X≠ )均有
0x
0x0x
① 若,则称
为 f(x)的极大值,
点 为 f(x)的极大值点
)()( 0xfxf ?
)( 0xf
0x
② 若,则称
为 f(x)的极小值,
点 为 f(x)的极小值点
)()( 0xfxf ?
)( 0xf
0x
函数的极大值与极小值统称为极值
极大值点与极小值点统称为极值点
关于函数极值的定义,我们要注意以下几
点
(1)函数极值是局部性概念,最值是函数的整体性质。
(2)如果 是极值,则,即,函数极值不可能在区
间端点处取得。
(3)在一个给定区间上,极值不一定是唯一 ;且极大值不一
定大于极小值,而在给定的区间上,最值是唯一的,且最大
值一定不小于最小值。
),(0 bax ?)( 0xf
2、极值存在的必要条件
定理 2 ① 如果函数 f(x)在点 处可导
② 为 f(x)的极值点
则,
如右图
0x
0x
0)( 0 ?? xf
XO
Y
(1)可导函数 f(x)的极值点必定是它的驻点,但驻点不一定全是极值点
(2)导数不存在的点也可能是极值点
可能成为 极值点 的点
导数等于零的点
导数不存在的点
定理 3 （ 第一充分条件）,设函数 在 连续，
在 可导
)(xf )( 0x?
)( 00 xU
（ 1） 若 x∈ (Ｘ 0－ δ,Ｘ 0),有,而 x∈ (Ｘ 0,Ｘ 0 +δ),
有,则 f(x)在 Ｘ 0处取得极大值。
（ 2） 若 x∈ (Ｘ 0－ δ,Ｘ 0),有,而 x∈ (Ｘ 0,Ｘ 0 +δ),
有,则 f(x)在 Ｘ 0处取得极小值。
（ 3） 若 x∈ (Ｘ 0－ δ,Ｘ 0) 及 x∈ (Ｘ 0,Ｘ 0 +δ) 时,符号相
同,则 f(x)在 Ｘ 0处无极值。
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
)(xf?
定理 4,第二充分条件
设函数 在点 处有一、二阶导数，且，,
(1)如果,则 在 处有极小值 ；
（ 2）如果,则 在 处有极大值 。
0)( 0 ?? xf
0)( 0 ＞ xf ?? )(xf 0x
)(xf 0x 0)(
0 ??? xf
)( 0xf
0)( 0 ＜ xf ?? )(xf 0x )( 0xf
注意：
利用第二充分条件来判别函数的极值时，
此法失效,这时 可能是极值也可能不是。此时,
用第一充分条件判断
0)()( 00 ????? xfxf
)( 0xf
学习与讨论
下列图形 粗略地给出了某种商品 1997－ 2004年期间
价格的增长率，试结合图形，讨论商品的价格：
（ 1） 什么时候上升最快？
（ 2） 什么时候达到最大值？
（ 3） 什么时候下跌最快？
（ 4） 什么时候价格最低？
在前面的一章的学习了导数的有关知识,在本章将学习利用导数来解决实际
问题,如要制作一个一定容积的易拉罐,怎样来制作,才能使所用的材料最省？
又如给你一定数量的瓷砖,围一长方形的水池,要使水池容积最大应怎样围?
在生产实践中，经常会遇到在一定条件下，怎样使, 材料最省,,, 功率最大, 等问题．
实践中的这类, 最省,,, 最大, 的问题，就是数学上求函数最大值、最小值问题．
较简单函数或者较特殊函数的最大值、最小值问题，我们容易求得，
那么对于一般函数的最大值、最小值问题，我们又该怎样处理呢？
有了导数这一工具，上述等问题的解决将变得十分容易,
本章将利用导数来研究函数（或曲线）的某些基本性态，
并利用这些知识来解决一些实际问题．
§ 4-1 极值
一、函数单调性的判断
二、函数的极值
一、函数单调性的判断
1、复习函数单调性的概念
2、函数单调性的判定定理
复习函数单调性的概念
设函数 y=f(x)的定义域为 D，对 D
内任意两实数,,当 时
①若,称
在 D内是单调增函数。
②若,称
在 D内是单调减函数。
1x 2x 21 xx ?
)()( 21 xfxf ? )(xf
)()( 21 xfxf ? )(xf
2、函数单调性的判断,
定理：
设函数 f(x)在 [ a,b]上连续,在 (a,b)内可导
①若 x∈ (a,b) 时,则 f(x)在 (a,b)内单调增加
②若 x∈ (a,b) 时,则 f(x)在 (a,b)内单调减少
②若 x∈ (a,b) 时,则 f(x)在 (a,b)内为常数
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
例 1 判定函数 f(x)=sinx在 (0,2π )上的单调性．
定义,使导数为零的点（即
的实根 )叫函数的驻点．
0)( ?? xf
从图上可以看出，点 和 正好是
函数单调增减的分界点,曲线在该点处的
切线平行于 X轴，即函数在该点处的导数
等于零．这就是说函数的导数等于零的点
可能是函数单调增减的分界点．
2
?
2
3?
(1) 定理中的闭区间 [a,b]可改为其它各种区间结论也成立。
(2) 定理的条件是充分而非必要。
(3) 有些函数在整个定义域内都是单调的,而有些函数
在它的整个定义域内并不是单调的,因此在判别函
数的单调性时,要先划分出函数单调区间的分界点,
一般对于可导函数来说,就是找 的根。0)( ?? xf
3、求函数单调区间的一般步骤是：
（ 1）确定函数的定义域
（ 2）求出函数的全部驻点和导数不存在的点，
并用这些点把定义域分成若干个区间
（ 3）列表讨论函数在各个区间的单调增减性
1、定义：函数 y=f (X)在点 及其左右近旁有定义,
若对于点 附近任意一点 X(X≠ )均有
0x
0x0x
① 若,则称
为 f(x)的极大值,
点 为 f(x)的极大值点
)()( 0xfxf ?
)( 0xf
0x
② 若,则称
为 f(x)的极小值,
点 为 f(x)的极小值点
)()( 0xfxf ?
)( 0xf
0x
函数的极大值与极小值统称为极值
极大值点与极小值点统称为极值点
关于函数极值的定义,我们要注意以下几
点
(1)函数极值是局部性概念,最值是函数的整体性质。
(2)如果 是极值,则,即,函数极值不可能在区
间端点处取得。
(3)在一个给定区间上,极值不一定是唯一 ;且极大值不一
定大于极小值,而在给定的区间上,最值是唯一的,且最大
值一定不小于最小值。
),(0 bax ?)( 0xf
2、极值存在的必要条件
定理 2 ① 如果函数 f(x)在点 处可导
② 为 f(x)的极值点
则,
如右图
0x
0x
0)( 0 ?? xf
XO
Y
(1)可导函数 f(x)的极值点必定是它的驻点,但驻点不一定全是极值点
(2)导数不存在的点也可能是极值点
可能成为 极值点 的点
导数等于零的点
导数不存在的点
定理 3 （ 第一充分条件）,设函数 在 连续，
在 可导
)(xf )( 0x?
)( 00 xU
（ 1） 若 x∈ (Ｘ 0－ δ,Ｘ 0),有,而 x∈ (Ｘ 0,Ｘ 0 +δ),
有,则 f(x)在 Ｘ 0处取得极大值。
（ 2） 若 x∈ (Ｘ 0－ δ,Ｘ 0),有,而 x∈ (Ｘ 0,Ｘ 0 +δ),
有,则 f(x)在 Ｘ 0处取得极小值。
（ 3） 若 x∈ (Ｘ 0－ δ,Ｘ 0) 及 x∈ (Ｘ 0,Ｘ 0 +δ) 时,符号相
同,则 f(x)在 Ｘ 0处无极值。
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
)(xf?
定理 4,第二充分条件
设函数 在点 处有一、二阶导数，且，,
(1)如果,则 在 处有极小值 ；
（ 2）如果,则 在 处有极大值 。
0)( 0 ?? xf
0)( 0 ＞ xf ?? )(xf 0x
)(xf 0x 0)(
0 ??? xf
)( 0xf
0)( 0 ＜ xf ?? )(xf 0x )( 0xf
注意：
利用第二充分条件来判别函数的极值时，
此法失效,这时 可能是极值也可能不是。此时,
用第一充分条件判断
0)()( 00 ????? xfxf
)( 0xf
学习与讨论
下列图形 粗略地给出了某种商品 1997－ 2004年期间
价格的增长率，试结合图形，讨论商品的价格：
（ 1） 什么时候上升最快？
（ 2） 什么时候达到最大值？
（ 3） 什么时候下跌最快？
（ 4） 什么时候价格最低？
