2003 3 7 概率与统计 1
§ 12-3
随机变量及分布
2003 3 7 概率与统计 2
§ 12-3 随机变量及分布
一、随机变量的概念
例 1：五台电冰箱中有 2台是优质品，从中任取 3台，考
察取到的 3台含有 优质品台数的各种可能性 。
方法 1,取到的优质品台数有三种情况，可以用三个事
件来表示。
A={3台中没有 1台优质品 }
B={3台中恰有 1台优质品 }
C={3台中恰有 2台优质品 }
1.0)( 3
5
2
3
0
2 ???
C
CCAP
6.0)( 3
5
2
3
1
2 ???
C
CCBP
3.0)( 3
5
1
3
2
2 ???
C
CCCP
2003 3 7 概率与统计 3
方法 2：用字母 表示取到的 优质品台数。则
{ =0}= {3台中没有 1台优质品 } P( =0)=0.1
{ =1}= {3台中恰有 1台优质品 } P( =1)=0.6
{ =2}= {3台中恰有 2台优质品 } P( =2)=0.3
?
?
?
?
?
?
?
例 2,某车间有 5台车床彼此独立地工作，由于工艺原
因，每台车床实际开动率为 0.8，求任一时刻,5台车床
中开动台数的各种可能结果的概率。并求
（ 1） 5台车床中恰有 4台开动的概率。
（ 2） 5台车床中至少有 1台开动的概率。
2003 3 7 概率与统计 4
解：设 为开动的车床台数。?
0 0 03 2.02.08.0)0( 5005 ????? CP ?
0064.02.08.0)1( 415 ????? CP ?
0 5 1 2.02.08.0)2( 3225 ????? CP ?
2048.02.08.0)3( 2335 ????? CP ?
4096.02.08.0)4( 445 ????? CP ?
32768.02.08.0)5( 0555 ????? CP ?
上述各式也可用一个表格来整体表示
2003 3 7 概率与统计 5
0 1 2 3 4 5
Pk 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32768
开动的车床台数 的分布?
?
还可更简洁地表示为
)5,2,1,0(2.08.0)( 55 ?????? ? kCKP kkK?
（ 1）
（ 2）
4 0 9 6.0)4( ???P
99 968.000 032.01)0(1
99 968.032 768.040 96.020 48.005 12.000 64.0
)5()4()3()2()1()1(
??????
?????
???????????
?
??????
P
PPPPPP
或
2003 3 7 概率与统计 6
定义：用其取值来表示随机事件的变量
叫做随机变量。通常用 等来表示。X,,??
二、离散型随机变量及其概率分布
1、离散型随机变量
随机变量 的一切可能取值为有限个或可列个，则称
之离散型随机变量。
?
定义：设离散型随机变量 的一切可能取值为
Xk(k=1,2,3…),其对应的概率
?
)3,2,1()( ???? kXPP kk ?
叫做 的概率分布。
上述分布也可列成表，叫做 的分布列。
?
?
2003 3 7 概率与统计 7
x1 x2 x3 … xk …
Pk P1 P2 P3 … Pk …
?
2、几种常见的离散型随机变量的概率分布
（ 1）两点分布
例 3：某批产品的正品率为 0.95,任取一件来检验，
求其取得的正品数的概率分布。
解：设 为取得的正品数,的分布列为? ?
0 1
Pk 0.05 0.95
?
分布列有性质,110 ??? ? kk PP
2003 3 7 概率与统计 8
一般地，如果 的分布列为?
0 1
Pk q p
?
其中 q,p>0,p+q=1.我们称 服从两点分布（或 0— 1分布）?
（ 2）二项分布
例 4,4枚反坦克导弹同时对一坦克射击，每枚导弹命
中坦克的概率为 0.9,求
（ 1）命中枚数的概率分布
（ 2）若命中两枚后坦克被摧毁，求摧毁坦克的概率。
2003 3 7 概率与统计 9
解 （ 1） 的概率分布为?
)4,3,2,1,0(1.09.0)( 44 ????? ? kCkP kkk?
经计算，其分布列为
0 1 2 3 4
Pk 0.0001 0.0036 0.0486 0.2961 0.6561
?
(2)
9 9 6 3.00 0 3 6.00 0 0 1.01
)1()0(1)2(1
9 9 6 3.0
6 5 6 1.02 9 1 6.00 4 8 6.0
)4()3()2()2(
????
????????
?
???
???????
???
????
PPP
PPPP
或
2003 3 7 概率与统计 10
一般地，如果随机变量的分布为
为正整数其中 nqpp
nkqpCkP knkkn
,1,10
)2,1,0()(
????
????? ? ??
则称 服从二项分布，记作 ～ B(n,p)?
(3)泊松分布
如果随机变量 的概率分布为?
)02,1,0(!)( ???? ? ??? ? ?kekKP
k
则称 服从参数为 的泊松分布，记作 ～ P（ ）? ? ??
2003 3 7 概率与统计 11
例 5：一电话交换台每分钟接到呼唤次数
服从参数为 的泊松分布，求每分钟有 8
次呼唤的概率。
解：
?
?
? ～ )4()( PP ??
029 8.0!84)8( 4
8
??? ?eP ?
实际计算时可查泊松分布表。
2003 3 7 概率与统计 12
3、随机变量的分布函数
例 6：设随机变量 的分布列为?
1 2 3
Pk 0.3 0.6 0.1
?
求 P( <x) 记作 F(x) 其中 x∈ R?
11.06.03.0
)3()2()1()()(,3)4(
9.06.03.0
)2()1()()(,32)3(
3.0)1()()(,21)2(
0)()(,1)1(
????
?????????
???
????????
???????
????
????
???
??
?
PPPxPxFx
PPxPxFx
PxPxFx
xPxFx
时当
时当
时当
时当
2003 3 7 概率与统计 13
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
31
329.0
213.0
10
)(
x
x
x
x
xF
定义：设 是一个随机变量，对于任
意实数 x,称函数 F(x)=P( <x) x∈ R
是 的分布函数。
可以看出分布函数是 取值小于 x的
所有概率的累加。
?
?
?
?
2003 3 7 概率与统计 14
连续型随机变量的取值不能象离散型随机变量取值
那样一一列举出来。
三、连续型随机变量及其分布
例如，设车床加工某种零件的尺寸为,加
工出来的零件尺寸是一个随机变量，它的取值充满了区
间 [19.5,20.5]，不能一一列举出来。它是一个连续型随
机变量，无法列出它的分布列，因此我们只能考虑其位
于某一区间的概率。
人们发现，连续型随机变量位于任一区间 [a,b]上的
概率可用某一函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积分来计算。
并且把函数 f(x)叫做随机变量的 概率分布密度 。
5.020??
2003 3 7 概率与统计 15
定义：对于随机变量,如果存在非负函
数 f(x),使 在任意区间 [a,b]上的概率为
?
?
???? ba dxxfbaP )()( ?
则称 为 连续型随机变量,称 f(x)为 的 概率分布密度? ?
y=f(x)
o a b
密度函数有性质, ? ???? ?? 1)()2(0)()1( dxxfxf
连续型随机变量的
分布函数为：
? ???
??
x dxxf
xPxF
)(
)()( ?
2003 3 7 概率与统计 16
例 7：设公共汽车每隔 15分钟一班，乘客
到站时间是随机的，而等车时间 的概率
分布密度为
?
??
?
?
? ??
?
其它0
150
15
1
)( xxf
求乘客等车时间不超过 5分钟的概率。
解：
3
1
15
1)()5( 5
0
5 ???? ??
?? dxdxxfP ?
2003 3 7 概率与统计 17
一般地，如果随机变量 的分布密度为?
??
?
?
?
?
?
??
],[0
],[1)(
bax
bax
abxf
则称 服从区间 [a,b]上的 均匀分布 。?
例 8：某种晶体管的寿命 的分布密度为?
1 0 00 0
1
)0(
00
0
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
这里
x
xe
xf
x
求晶体管寿命大于 10000小时的概率。
2003 3 7 概率与统计 18
解：
3679.0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1
)()1 0 0 0 0(
110 00 0
1
10 00 0
1
10 00 0 10 00 0
??
??
??
???
?
?
??? ??
? ?
ee
dxedxxfP
x
x
?
一般地，上例中的随机变量 称为服从参数为
的 指数分布 。
? ?
2003 3 7 概率与统计 19
正态分布
定义：如果随机变量 的密度函数为：
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf
则称 服从正态分布，其中参数
记着 ～
?
? 为常数??,0?
? ),( 2??N
? x
y
0
2003 3 7 概率与统计 20
其中 是对称轴,的大小决定着曲
线的平缓还是陡峭。
??x ?
1,0 2 ?? ?? ?特别地，当 时，正态分布
为 ～
称为 标准正态分布 。其密度函数为
)1,0(N
2
2
2
1)( xexf ??
?
一般来说，求概率
但这个积分不能用一般的方法求得，需要查正态分布
表，而标准正态分布表是利用标准正态分布的分布函
数来编制的。
dxebaP
x
b
a
2
2
2
1)( ?????
??
2003 3 7 概率与统计 21
标准正态分布的分布函数用 来表示。)(x?
dxexPx
x
x 2
2
2
1)()( ?
??????? ??
xx
y
0x?
2003 3 7 概率与统计 22
由上图可以看出
)()()(
)(1)(1)(
)(1)(
abbaP
xxPxP
xx
??????
???????
?????
?
??
例 9：设 ～,求? )1,0(N
)96.1()3()12()2()5.15.0()1( ?????? ??? PPP
2417.0
6915.09332.0)5.0()5.1()5.15.0()1(:
?
???????? ?P解
81 85.0197 72.084 13.0
1)2()1()2()1()12()2(
????
????????????? ?P
2003 3 7 概率与统计 23
05.09750.022
]1)96.1(2[1
)]96.1()96.1([1
)96.196.1(1
)96.1(1)96.1()3(
????
????
??????
?????
????
?
??
P
PP
定理：设 ～,则? ),( 2??N
)()()(
)()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
???
ab
baP
x
xP
证明略。
2003 3 7 概率与统计 24
例 10：某炮弹的射程 ～
试求射出的炮弹落入 1260至 1280之间的概率。
? )40,1 2 0 0( 2N
044.09332.09772.0)5.1()2(
)
40
12001260
()
40
12001280
()12801260(
???????
?
??
?
???? ?P
2003 3 7 概率与统计 25
例 11：某产品的质量指标 ～ N（ 10,22）
求 x的值，使
?
9.0)10( ??? xP ?
解：
3.365.1
2
95.0)
2
(
9.01)
2
(2)
2
()
2
(
)
2
1010
()
2
1010
()1010(
)10()10(
?????
?????????
???
??
??
???????
???????
x
xx
xxx
xx
xxP
xxPxP
?
??
2003 3 7 概率与统计 26
§ 12-3 随机变量及分布 小结
一、随机变量：用其取值来表示随机事件的
变量叫做随机变量。通常用 等来表
示。
X,,??
二,离散型随机变量的概率分布：设离散型随机变
量 的一切可能取值为 Xk(k=1,2,3…),其对应的
概率
?
)3,2,1()( ???? kXPP kk ?
叫做 的概率分布。?
三,几种常见的离散型随机变量的概率分布
（ 1） 两点分布 （ 2） 二项分布 B(n,p)（ 3） 泊松分布 P( )?
2003 3 7 概率与统计 27
四,连续型随机变量及概率分布密度
定义：对于随机变量,如果存在非负函
数 f(x),使 在任意区间 [a,b]上的概率为
???? ba dxxfbaP )()( ?
则称 为 连续型随机变量,称 f(x)为 的 概率分布密度
?
?
? ?
五,几种常见的连续型随机变量的概率分布
（ 1）均匀分布 （ 2）指数分布
（ 3）正态分布
2003 3 7 概率与统计 28
定义：如果随机变量 的密度函数为：
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf
则称 服从正态分布，其中参数
记着 ～
?
? 为常数??,0?
? ),( 2??N
1,0 2 ?? ?? ?特别地，当 时，正态分布
为 ～
称为 标准正态分布 。其密度函数为
)1,0(N
2
2
2
1)( xexf ??
?
2003 3 7 概率与统计 29
)()()(
)(1)(1)(
)(1)(
abbaP
xxPxP
xx
??????
???????
?????
?
??
定理：设 ～,则? ),( 2??N
)()()(
)()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
???
ab
baP
x
xP
2003 3 7 概率与统计 30
课后作业
习题 12— 3
2,3,8,9.