第一章
函 数
f (x)=?
分段
函数 !
声音在空气中的传播速度是 340米 /秒，
经过 t秒钟后，它传播的距离
s=340t（ 米）
这是公式，也是我们将要讨论的函数。如
果已知时间 t,就可算出传播的距离 s来。
圆的面积公式
A= r2（ 厘米 2）
这也是一个函数。如果已知半径 r的数
值，就可算出面积 A来。
?
在千变万化的自然界，在错综
复杂的人类社会，各种事物和现象之间
无不存在着千丝万缕的联系，而函数就
是描述量与量之间关系的有力工具。
本章我们将在中学数学的函数基础
之上进一步理解函数的概念，基本初
等函数的概念，复合函数的概念，初
等函数的概念。学会复合函数的分解。
了解数学建模，学会建立简单的函数
模型，为下一步学习微积分及其应用
打下基础 。
§ 1-1 函数概念与应用
及数学建模简介
一、函数的概念
观察声音传播的距离公式
s=340t
它有两个变量 s和 t.
每知 道一个时间 t,按
照公式 s=340t,都可算出
一个对应的距离 s来,
这样我们把距离 s叫做
时间 t的函数,
变量 S 变量 t
1．函数的定义
定义 设有两个变量 和,如果当变量
在实数的某一范围 D 内任意取定
一个数值时，变量 按照一定的
规律,可以得出惟一 确定的值
与之对应，那么 就叫做 的函
数, 记作
x y
x
f
y
y x
Dxxfy ?? )(
其中 叫做自变量,叫做函
数 （ 或因变量），自变量的取值范
围 D叫做函数的定义域,
当 取遍 D中的一切数值时，对
应 的所有值的集合叫做函数
的值域，记作 M.
函数的记号也可用 表示,
x y
x
y
)(),(),( xxgxF ?
2.函数的表示法
函数的表示法主要有三种：
表格法、图象法、公式法,
下例就是用表格法
表示的函数
例 1 据股市行情报导，个股, 深宝
安, 某月上旬两周的收盘价如下表
日期（日） 1 2 3 4 5
收盘价
（元）
5.34 4.97 4.44 4.21 3.85
日期（日） 8 9 10 11 12
收盘价
（元）
3.98 4.21 4.63 3.79 3.88
每一个日期都对应一个惟一的收盘
价, 若设日期为 t,收盘价为 R,对照
函数的概念,R就是 t的函数,
例 2,以下是 CQ643型城市公共汽车的耗油
量图,横坐标表示车速 (单位,公里 /小时 ),纵
坐标表示耗油量 (单位,升 /100公里 ).
0 20 40 60 80
200
250
300
350
400
450
Q(耗油量 )
V(车速 )20 40 60
295
210
285
当车速 V=20公里 /小时，对应的耗油量 Q=295升 /100公
里
当车速 V=40公里 /小时，对应的耗油量 Q=210升 /100公
里
当车速 V=60公里 /小时，对应的耗油量 Q=285升 /100公
里
按照这个耗油量曲线图，对每一个车速 V,都可以对应
一个惟一的耗油量 Q.因此耗油量 Q是车速 V的函数,
这里 V与 Q的对应是靠图象来完成的,我们把它
叫做函数的 图象法,
声音传播的距离 s=340t,圆的面积
A= r2都是用公式法表示的函数,用公
式法表示的函数也叫做函数的 解析式,
在往后的学习中,我们接触较多的
是用公式法表示的函数,
?
3．函数的定义域
在函数 中，自变量 的取值范围 D
叫做函数的定义域,
例 3 某化肥厂生产氮肥的成本函数为
(千元 )
其中 为产量,单位,吨, 求此函数的定义域,
由常识我们知道,的取值范围为 的一
切实数,
函数定义域 D=,写作区间即 D,,
)(xfy ?
32225.1)( xxxxC ????
x
x
x 0?x
? ?0?xx ? ),0 ??
生产和生活实际中
的函数,其定义域由问
题的具体意义来决定,
例 4 求函数 的定义域,
要使函数式有意义,应有,
解这个不等式组得
该函数的定义域为集合 或
区间,
xxxf ???? 3
45)(
?
?
?
??
??
03
05
x
x
?
?
?
?
??
3
5
x
x
? ?3,5 ??? xxx
),3()3,5[ ??? ?
这是一个没有赋予实际意义的
数学式子表示的函数,
由此可得,由数学式子表示的函数,
其定义域是使得函数式有意义的 x的
取值范围,
例 5 求函数 的定义域
解,要使函数式有意义,必须
这个不等式的解为 或
所以,该函数的定义域为集合
或区间
)9ln ()( 2 ?? xxf
092 ??x
3??x 3?x
? ?33 ??? xxx 或 ),3()3,( ????? ?
列出使函数式有
意义的不等式或
不等式组
解上面的不等
式或不等式组
用集合或
区间写出
定义域
求函数
定义域
的程序
如右,
4．函数值
某种商品的销售利润与销售数量之
间的函数关系式为
（元）
问卖出 10件商品时，所得利润是多
少元？即销售量 时，求利润 等
于多少？
1 6 0 02 4 0 2 ??? xxy
10?x y
将 代入上面函数式中 处，
如下图所示
10?x x
1 6 0 02 4 0 2 ??? xxy
10?x 10?x
70016001010240 2 ?????y
10?x 700?y
可以得出
（ 元）
即销售量 时，利润 （元）
10?x
700?y我们把 叫做函数
在点 处的函数值,
记作
1 6 0 02 4 0 2 ??? xxy
70010 ??xy
对于一般的函数,如果
当 (D为定义域 )时,对应
的函数值为,则 叫做函数
在点 处的 函数值,
记作 或
这时我们还说函数在点 处有定义,
)( xfy ?
Dxx ?? 0
0y 0y )( xfy ?
0xx ?
00 yy xx ?? 00 )( yxf ?
0x
5．分段函数
下面的函数是一个分段函数,
当自变量 x的取值范围为 x<0时,函数式
为 -x,当自变量 x的取值范围为 x≥ 0时,函数
式为 x2.因此,
分段函数就是当自变量 x在不同的范围
取值时,用不同的函数式来表示的函数,
?
?
?
?
??
?
0
0
)( 2
xx
xx
xf
例 6 设有分段函数
?
?
?
???
????
?
201
011
)(
xx
xx
xf
求函数 f(x)的定义域，并求 f(-0.5)和 f(1),
解 函数 f(x)的定义域即是自变量 x各
个不同取值范围的并集,
因此,此函数的定义域为区间 [-1,2].
f(-0.5)=-0.5+1=0.5 f(1)=1-1=0
分段函数的定义域就是自变量 x各个
不同取值范围的并集,
求函数值时,看自变量 x取值位于哪个
范围,就代入相应的函数式来计算,
例 7 作例 6所给分段函数的图象,
?
?
?
???
????
?
201
011
)(
xx
xx
xf
解, 先作 -1≤x<0时,
解析式 y = x +1的
图象
xO
y
-1 1
2
再作 0≤x≤2时,解
析式 y = 1- x的
图象,
二、应用函数描述简单实
际问题及数学建模简介
1.建立实际问题的函数关系式
例 8 甲船以 6千米 /
小时的速度向西
航行, 同时乙
船在甲船之北 16
千米, 以 8千米 /小
时的速度向南航
行, 求甲, 乙
两船的距离与时
间之间的函数关
系,
S
16
甲
乙
解 步骤 1：
设时间为 t,两船的距离为 S
步骤 2：
由勾股定理, t小时后两船的距离
步骤 3：
时间的取值范围为：
22 )816()6( tts ???
0?t
所以，甲、乙两船的距离与时
间之间的函数关系为：
22 )816()6( tts ???
0?t
建立实际问题函数式的步骤为：
步骤 1：设定自变量和因变量 （ 或叫
函数 ） 的字母,
步骤 2：根据题意建立自变量和因变
量的等式, 并表示成函数的标准形式,
步骤 3：写出自变量的取值范围,
)( xfy ?
例 9,某地一段时期内个人所得税的征收标准是,
月收入不超过 929元免税 ;
月收入超出 929元到 1429元的部分按 5%的税率征税 ;
月收入超出 1429元到 2929元的部分按 10%的税
率征税 ;
月收入超出 2929元到 5000元的部分按 15%的税
率征税 ;
求税金与月收入 (假定月收入不超过 5000元 )的函数
式,
解, 设月收入为 x元，税金为 y元,
(1)当 0≤x≤929时
y=0
(2)当 929<x≤1429时
(3)当 1429<x≤2929时
45.4605.0%5)929( ????? xxy
9.1 1 71.0
%5)9 2 91 4 2 9(%10)1 4 2 9(
??
??????
x
xy
(4)当 2929<x≤5000时
综上所述，税金与月收入的函数式为：
35.26415.0
%5)9291429(%10)14292929(%15)2929(
??
?????????
x
xy
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
?
5000292935.26415.0
292914299.1171.0
142992945.4605.0
92900
xx
xx
xx
x
y
*2.数学建模简介
例 10 甲船以 m千米 /
小时的速度向西航行,
同时乙船在甲船之北
l千米, 以 n千米 /小时
的速度向南航行,什么
时候甲, 乙两船的距
离最小？ 建立该问题
的数学模型,
S
l
甲
乙
解, 由例 8可以得到甲, 乙两船的距离
s与时间 t之间的函数关系为：
22 )()( ntlmts ???
min
这就是一个最简单的数学建模的示例,
更具体地说,它是一个函数形式的数学
模型,或叫 函数模型,
0?t
一般地,数学模型 是针对某种实际问
题,为了一个特定的目的,根据问题提供
的条件和内在规律,运用数学工具把问题
表示出来的一种数学形式,
它可以是若干数学公式，也可以是各
种方程与不等式，或其它数学结构,
在建立这一数学结构的时候,为了问
题能够求解,还需抓住主要因素,抛弃次
要因素,作出必要的理想化假设,
数学建模 不仅仅是建立实际问题的
数学模型,它还包括 模型的求解,模型的
验证及模型的应用 等程序,
数学建模包括以下四个主要程序,
模型的建立
模型的求解
模型的验证
模型的应用
2003年全国大学生数学建
模竞赛题
D题 抢渡长江
“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年 9月 9日，武汉警备旅官
兵与体育界人士联手，在武汉第一
次举办横渡长江游泳竞赛活动,张学
良将军还特意向冠 军获得者赠送了
一块银 盾，上书“力挽狂澜”。
力
挽
狂
澜
2001年,,武汉抢渡长江
挑战赛, 重现江城。
2002年，正式命名为, 武
汉国际抢渡长江挑战赛,,
2002年 5月 1日，抢渡的起点设在武
昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，
江面宽约 1160米 。 据报载，当日的平
均水温 16.8℃,江水的平均流速为 1.89米 /
秒 。 参赛的国内外选手共 186人（其中
专业人员将近一半），仅 34人到达终点，
第一名的成绩为 14分 8秒 。除了气象条件
外，大部分选手由于路线选择错误，被
滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达
终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之
间的垂直距离为 1160 米,从武昌汉阳门的正对
岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。
11
60
m
1000m
长江水流方向
终点, 汉阳南岸咀
起点, 武昌汉阳门
请你们通过数学建模来分析上
述情况,并通过讨论回答以下问题,
假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和
方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89
米 /秒,
试说明 2002年第一名是沿着怎样的路线
前进的，求她游泳速度的大小和方向,
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方
向，试为一个速度能保持在 1.5米 /秒的人选
择游泳方向，并估计他的成绩,(后面问题略 )
1） 建立数学模型
设游泳者到达终点的时间为
T,因 u, ?和 v 均 为常数,因此 游泳者 是沿从
起点指向终点的直线前进的, 他任意时刻 t 的
坐标 (x,y) 满足
tuy
tvux
??
??
?
?
s in
)co s(
即
TuH
TvuL
??
??
?
?
s in
)c o s(
2） 模型求解
在上面模型中代入 H =1160，
L=1000,T=848 得
01 1 6 08 4 8s in
01 0 0 08 4 8)89.1c o s(
???
????
?
?
u
u
用科学计算软件 MATLAB 中非
线性方程组的符号解法求解,
在文件编辑窗口中编辑如下函数文件
function y=fu(x)
y(1)=(x(1)*cos(x(2))+1.89)*848-1000;
y(2)=x(1)*sin(x(2))*848-1160;
y=[y(1) y(2)];
再在命令窗口中输入如下命令
>> x0=[1.5 2.0];
>> fsolve(‘fu’,x0) 得
ans =1.5416 2.0500
即第一名的速度
u=1.54米 /秒
所取的角度
=2.05
=117.46o
?
TuH
TvuL
??
??
?
?
s in
)c o s(
将 H =1600,L=1000，
u=1.5代入模型
01 1 6 0s in5.1
01 0 0 0)89.1c o s5.1(
???
????
T
T
?
?
用科学计算软件 MATLAB 中非
线性方程组的符号解法求解,
在文件编辑窗口中编辑如下函数文件
function y=ft(x)
y(1)=(1.5*cos(x(1))+1.89)*x(2)-1000;
y(2)=1.5*sin(x(1))*x(2)-1160;
y=[y(1) y(2)];
再在命令窗口中输入如下命令
>> x0=[2.0 1000];
>> fsolve('ft',x0) 得
ans =2.1268 910.4595
即该游泳者成绩
T=910.46秒
=15分 10秒
所取的角度
=2.13
=122.1o
?
应用与推广 (略 ),
小结
1.在函数的概念中,函数的定义域和对应
关系是函数的两大要素, 求函数的定义域和
函数值是常规的作业,
2.函数的表示法主要有三种：表格法、
图象法、解析式法,分段函数是实际中相当
常见的函数,要能熟练地应用它,
3.建立实际问题的函数式,首先要设定自
变量和函数的字母,然后据题意建立等式,最
后写出定义域,
4.数学模型 是运用数学工具把实际问题
表示出来的一种数学形式, 函数模型 是其中
的一种,
数学建模 包括 模型的建立,模型的求解,模
型的验证 及 模型的应用 等程序,
模型的建立
理论的价值在于应用,让我们
努力掌握数学建模这一有力的武
器,提高理论联系实际的能力,
习题 1-1
1,2,3(3)(4),6、
7,9,10
函 数
f (x)=?
分段
函数 !
声音在空气中的传播速度是 340米 /秒，
经过 t秒钟后，它传播的距离
s=340t（ 米）
这是公式，也是我们将要讨论的函数。如
果已知时间 t,就可算出传播的距离 s来。
圆的面积公式
A= r2（ 厘米 2）
这也是一个函数。如果已知半径 r的数
值，就可算出面积 A来。
?
在千变万化的自然界，在错综
复杂的人类社会，各种事物和现象之间
无不存在着千丝万缕的联系，而函数就
是描述量与量之间关系的有力工具。
本章我们将在中学数学的函数基础
之上进一步理解函数的概念，基本初
等函数的概念，复合函数的概念，初
等函数的概念。学会复合函数的分解。
了解数学建模，学会建立简单的函数
模型，为下一步学习微积分及其应用
打下基础 。
§ 1-1 函数概念与应用
及数学建模简介
一、函数的概念
观察声音传播的距离公式
s=340t
它有两个变量 s和 t.
每知 道一个时间 t,按
照公式 s=340t,都可算出
一个对应的距离 s来,
这样我们把距离 s叫做
时间 t的函数,
变量 S 变量 t
1．函数的定义
定义 设有两个变量 和,如果当变量
在实数的某一范围 D 内任意取定
一个数值时，变量 按照一定的
规律,可以得出惟一 确定的值
与之对应，那么 就叫做 的函
数, 记作
x y
x
f
y
y x
Dxxfy ?? )(
其中 叫做自变量,叫做函
数 （ 或因变量），自变量的取值范
围 D叫做函数的定义域,
当 取遍 D中的一切数值时，对
应 的所有值的集合叫做函数
的值域，记作 M.
函数的记号也可用 表示,
x y
x
y
)(),(),( xxgxF ?
2.函数的表示法
函数的表示法主要有三种：
表格法、图象法、公式法,
下例就是用表格法
表示的函数
例 1 据股市行情报导，个股, 深宝
安, 某月上旬两周的收盘价如下表
日期（日） 1 2 3 4 5
收盘价
（元）
5.34 4.97 4.44 4.21 3.85
日期（日） 8 9 10 11 12
收盘价
（元）
3.98 4.21 4.63 3.79 3.88
每一个日期都对应一个惟一的收盘
价, 若设日期为 t,收盘价为 R,对照
函数的概念,R就是 t的函数,
例 2,以下是 CQ643型城市公共汽车的耗油
量图,横坐标表示车速 (单位,公里 /小时 ),纵
坐标表示耗油量 (单位,升 /100公里 ).
0 20 40 60 80
200
250
300
350
400
450
Q(耗油量 )
V(车速 )20 40 60
295
210
285
当车速 V=20公里 /小时，对应的耗油量 Q=295升 /100公
里
当车速 V=40公里 /小时，对应的耗油量 Q=210升 /100公
里
当车速 V=60公里 /小时，对应的耗油量 Q=285升 /100公
里
按照这个耗油量曲线图，对每一个车速 V,都可以对应
一个惟一的耗油量 Q.因此耗油量 Q是车速 V的函数,
这里 V与 Q的对应是靠图象来完成的,我们把它
叫做函数的 图象法,
声音传播的距离 s=340t,圆的面积
A= r2都是用公式法表示的函数,用公
式法表示的函数也叫做函数的 解析式,
在往后的学习中,我们接触较多的
是用公式法表示的函数,
?
3．函数的定义域
在函数 中，自变量 的取值范围 D
叫做函数的定义域,
例 3 某化肥厂生产氮肥的成本函数为
(千元 )
其中 为产量,单位,吨, 求此函数的定义域,
由常识我们知道,的取值范围为 的一
切实数,
函数定义域 D=,写作区间即 D,,
)(xfy ?
32225.1)( xxxxC ????
x
x
x 0?x
? ?0?xx ? ),0 ??
生产和生活实际中
的函数,其定义域由问
题的具体意义来决定,
例 4 求函数 的定义域,
要使函数式有意义,应有,
解这个不等式组得
该函数的定义域为集合 或
区间,
xxxf ???? 3
45)(
?
?
?
??
??
03
05
x
x
?
?
?
?
??
3
5
x
x
? ?3,5 ??? xxx
),3()3,5[ ??? ?
这是一个没有赋予实际意义的
数学式子表示的函数,
由此可得,由数学式子表示的函数,
其定义域是使得函数式有意义的 x的
取值范围,
例 5 求函数 的定义域
解,要使函数式有意义,必须
这个不等式的解为 或
所以,该函数的定义域为集合
或区间
)9ln ()( 2 ?? xxf
092 ??x
3??x 3?x
? ?33 ??? xxx 或 ),3()3,( ????? ?
列出使函数式有
意义的不等式或
不等式组
解上面的不等
式或不等式组
用集合或
区间写出
定义域
求函数
定义域
的程序
如右,
4．函数值
某种商品的销售利润与销售数量之
间的函数关系式为
（元）
问卖出 10件商品时，所得利润是多
少元？即销售量 时，求利润 等
于多少？
1 6 0 02 4 0 2 ??? xxy
10?x y
将 代入上面函数式中 处，
如下图所示
10?x x
1 6 0 02 4 0 2 ??? xxy
10?x 10?x
70016001010240 2 ?????y
10?x 700?y
可以得出
（ 元）
即销售量 时，利润 （元）
10?x
700?y我们把 叫做函数
在点 处的函数值,
记作
1 6 0 02 4 0 2 ??? xxy
70010 ??xy
对于一般的函数,如果
当 (D为定义域 )时,对应
的函数值为,则 叫做函数
在点 处的 函数值,
记作 或
这时我们还说函数在点 处有定义,
)( xfy ?
Dxx ?? 0
0y 0y )( xfy ?
0xx ?
00 yy xx ?? 00 )( yxf ?
0x
5．分段函数
下面的函数是一个分段函数,
当自变量 x的取值范围为 x<0时,函数式
为 -x,当自变量 x的取值范围为 x≥ 0时,函数
式为 x2.因此,
分段函数就是当自变量 x在不同的范围
取值时,用不同的函数式来表示的函数,
?
?
?
?
??
?
0
0
)( 2
xx
xx
xf
例 6 设有分段函数
?
?
?
???
????
?
201
011
)(
xx
xx
xf
求函数 f(x)的定义域，并求 f(-0.5)和 f(1),
解 函数 f(x)的定义域即是自变量 x各
个不同取值范围的并集,
因此,此函数的定义域为区间 [-1,2].
f(-0.5)=-0.5+1=0.5 f(1)=1-1=0
分段函数的定义域就是自变量 x各个
不同取值范围的并集,
求函数值时,看自变量 x取值位于哪个
范围,就代入相应的函数式来计算,
例 7 作例 6所给分段函数的图象,
?
?
?
???
????
?
201
011
)(
xx
xx
xf
解, 先作 -1≤x<0时,
解析式 y = x +1的
图象
xO
y
-1 1
2
再作 0≤x≤2时,解
析式 y = 1- x的
图象,
二、应用函数描述简单实
际问题及数学建模简介
1.建立实际问题的函数关系式
例 8 甲船以 6千米 /
小时的速度向西
航行, 同时乙
船在甲船之北 16
千米, 以 8千米 /小
时的速度向南航
行, 求甲, 乙
两船的距离与时
间之间的函数关
系,
S
16
甲
乙
解 步骤 1：
设时间为 t,两船的距离为 S
步骤 2：
由勾股定理, t小时后两船的距离
步骤 3：
时间的取值范围为：
22 )816()6( tts ???
0?t
所以，甲、乙两船的距离与时
间之间的函数关系为：
22 )816()6( tts ???
0?t
建立实际问题函数式的步骤为：
步骤 1：设定自变量和因变量 （ 或叫
函数 ） 的字母,
步骤 2：根据题意建立自变量和因变
量的等式, 并表示成函数的标准形式,
步骤 3：写出自变量的取值范围,
)( xfy ?
例 9,某地一段时期内个人所得税的征收标准是,
月收入不超过 929元免税 ;
月收入超出 929元到 1429元的部分按 5%的税率征税 ;
月收入超出 1429元到 2929元的部分按 10%的税
率征税 ;
月收入超出 2929元到 5000元的部分按 15%的税
率征税 ;
求税金与月收入 (假定月收入不超过 5000元 )的函数
式,
解, 设月收入为 x元，税金为 y元,
(1)当 0≤x≤929时
y=0
(2)当 929<x≤1429时
(3)当 1429<x≤2929时
45.4605.0%5)929( ????? xxy
9.1 1 71.0
%5)9 2 91 4 2 9(%10)1 4 2 9(
??
??????
x
xy
(4)当 2929<x≤5000时
综上所述，税金与月收入的函数式为：
35.26415.0
%5)9291429(%10)14292929(%15)2929(
??
?????????
x
xy
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
?
5000292935.26415.0
292914299.1171.0
142992945.4605.0
92900
xx
xx
xx
x
y
*2.数学建模简介
例 10 甲船以 m千米 /
小时的速度向西航行,
同时乙船在甲船之北
l千米, 以 n千米 /小时
的速度向南航行,什么
时候甲, 乙两船的距
离最小？ 建立该问题
的数学模型,
S
l
甲
乙
解, 由例 8可以得到甲, 乙两船的距离
s与时间 t之间的函数关系为：
22 )()( ntlmts ???
min
这就是一个最简单的数学建模的示例,
更具体地说,它是一个函数形式的数学
模型,或叫 函数模型,
0?t
一般地,数学模型 是针对某种实际问
题,为了一个特定的目的,根据问题提供
的条件和内在规律,运用数学工具把问题
表示出来的一种数学形式,
它可以是若干数学公式，也可以是各
种方程与不等式，或其它数学结构,
在建立这一数学结构的时候,为了问
题能够求解,还需抓住主要因素,抛弃次
要因素,作出必要的理想化假设,
数学建模 不仅仅是建立实际问题的
数学模型,它还包括 模型的求解,模型的
验证及模型的应用 等程序,
数学建模包括以下四个主要程序,
模型的建立
模型的求解
模型的验证
模型的应用
2003年全国大学生数学建
模竞赛题
D题 抢渡长江
“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年 9月 9日，武汉警备旅官
兵与体育界人士联手，在武汉第一
次举办横渡长江游泳竞赛活动,张学
良将军还特意向冠 军获得者赠送了
一块银 盾，上书“力挽狂澜”。
力
挽
狂
澜
2001年,,武汉抢渡长江
挑战赛, 重现江城。
2002年，正式命名为, 武
汉国际抢渡长江挑战赛,,
2002年 5月 1日，抢渡的起点设在武
昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，
江面宽约 1160米 。 据报载，当日的平
均水温 16.8℃,江水的平均流速为 1.89米 /
秒 。 参赛的国内外选手共 186人（其中
专业人员将近一半），仅 34人到达终点，
第一名的成绩为 14分 8秒 。除了气象条件
外，大部分选手由于路线选择错误，被
滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达
终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之
间的垂直距离为 1160 米,从武昌汉阳门的正对
岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。
11
60
m
1000m
长江水流方向
终点, 汉阳南岸咀
起点, 武昌汉阳门
请你们通过数学建模来分析上
述情况,并通过讨论回答以下问题,
假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和
方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89
米 /秒,
试说明 2002年第一名是沿着怎样的路线
前进的，求她游泳速度的大小和方向,
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方
向，试为一个速度能保持在 1.5米 /秒的人选
择游泳方向，并估计他的成绩,(后面问题略 )
1） 建立数学模型
设游泳者到达终点的时间为
T,因 u, ?和 v 均 为常数,因此 游泳者 是沿从
起点指向终点的直线前进的, 他任意时刻 t 的
坐标 (x,y) 满足
tuy
tvux
??
??
?
?
s in
)co s(
即
TuH
TvuL
??
??
?
?
s in
)c o s(
2） 模型求解
在上面模型中代入 H =1160，
L=1000,T=848 得
01 1 6 08 4 8s in
01 0 0 08 4 8)89.1c o s(
???
????
?
?
u
u
用科学计算软件 MATLAB 中非
线性方程组的符号解法求解,
在文件编辑窗口中编辑如下函数文件
function y=fu(x)
y(1)=(x(1)*cos(x(2))+1.89)*848-1000;
y(2)=x(1)*sin(x(2))*848-1160;
y=[y(1) y(2)];
再在命令窗口中输入如下命令
>> x0=[1.5 2.0];
>> fsolve(‘fu’,x0) 得
ans =1.5416 2.0500
即第一名的速度
u=1.54米 /秒
所取的角度
=2.05
=117.46o
?
TuH
TvuL
??
??
?
?
s in
)c o s(
将 H =1600,L=1000，
u=1.5代入模型
01 1 6 0s in5.1
01 0 0 0)89.1c o s5.1(
???
????
T
T
?
?
用科学计算软件 MATLAB 中非
线性方程组的符号解法求解,
在文件编辑窗口中编辑如下函数文件
function y=ft(x)
y(1)=(1.5*cos(x(1))+1.89)*x(2)-1000;
y(2)=1.5*sin(x(1))*x(2)-1160;
y=[y(1) y(2)];
再在命令窗口中输入如下命令
>> x0=[2.0 1000];
>> fsolve('ft',x0) 得
ans =2.1268 910.4595
即该游泳者成绩
T=910.46秒
=15分 10秒
所取的角度
=2.13
=122.1o
?
应用与推广 (略 ),
小结
1.在函数的概念中,函数的定义域和对应
关系是函数的两大要素, 求函数的定义域和
函数值是常规的作业,
2.函数的表示法主要有三种：表格法、
图象法、解析式法,分段函数是实际中相当
常见的函数,要能熟练地应用它,
3.建立实际问题的函数式,首先要设定自
变量和函数的字母,然后据题意建立等式,最
后写出定义域,
4.数学模型 是运用数学工具把实际问题
表示出来的一种数学形式, 函数模型 是其中
的一种,
数学建模 包括 模型的建立,模型的求解,模
型的验证 及 模型的应用 等程序,
模型的建立
理论的价值在于应用,让我们
努力掌握数学建模这一有力的武
器,提高理论联系实际的能力,
习题 1-1
1,2,3(3)(4),6、
7,9,10
