决策与逻辑 ——探讨博弈论中的逻辑推理 博弈论是研究人们在各种战略情况下如何行事的理论，又被称为对策论或策略论，在近 来已成为经济学研究的一大热点。但是对于博弈论中的逻辑推理却很少有人加以注意。 先以一个为大家所熟知的例子来引出博弈，即田忌赛马的故事。齐王请田忌赛马，田忌 的马队不如齐王的马队，田忌用孙膑的计谋，用最差的马对齐王最好的马；用最好的马对齐 王中等的马，用中等 的马对齐王最差的马，结果以二比一胜了齐王。对于这个例子，我们采用逻辑推理过程 来得出最优的决策（假设事先知道齐王的出马顺序是先出好马，再出中马，最后出下马）。 我们先给出所有的可能性决策，由排列组合可知共有6种，罗列如下： a. 用好马对齐王的好马，中马对齐王的中马，下马对齐王的下马； b. 用好马对齐王的好马，下马对齐王的中马，中马对齐王的下马； c. 用中马对齐王的好马，下马对齐王的中马，好马对齐王的下马； d. 用中马对齐王的好马，好马对齐王的中马，下马对齐王的下马； e. 用下马对齐王的好马，好马对齐王的中马，中马对齐王的下马； f. 用下马对齐王的好马，中马对齐王的中马，好马对齐王的下马。 如果a，那么输(r)；不输，所以不a；(a→r)∧﹁ r→﹁a（→否定后件式） 如果b，也输；不输，所以不b； (b→r)∧﹁ r→﹁b（→否定后件式） 如果c，也输；不输，所以不c； (c→r)∧﹁ r→﹁c（→否定后件式） 如果d，也输；不输，所以不d； (d→r)∧﹁ r→﹁d（→否定后件式） 如果e，则赢； 如果f，则输；不输，所以不f。 (a→r)∧﹁ r→﹁a（→否定后件式） 在这里我们用了六次充分条件假言推理得出了最优决策e，由于这例较为简单，所以在 我们日常生活中一眼就能看出结论，而不必经过上述如此复杂的罗列，但是事实上，我们的 推理程序还是按上述过程进行的。 下面我们来分析一个著名的博弈问题“囚犯难题”： 两嫌疑犯A、B有非法携带枪支的轻罪，因此每人都要在监狱中度过一年。警察怀疑两 人又曾合伙抢劫过银行，但缺乏足够的证据证明他们犯有严重罪行。警察在分开 ．． 的屋子里审 问了两人。如果两人都不坦白了，则两人都只能关一年；如果其中一人坦白，另一人未坦白， 则坦白者可以自由，而未坦白者将关押20年；但如果两人都坦白了，则两人都得监禁8年。 那么结果会是怎样呢？ 我们来考虑A的决策。A的推理如下：“如果B保持沉默，那么最好的战略是坦白， 因为自己将得到自由而不是在狱中呆一年；如果B坦白，那么自己最好的战略仍然是坦白， 因为这样自己在狱中呆的是8年而不是20年。”所以无论B怎么做，A都会选择坦白。简 化一下即为如果P，那么R；如果Q，那么R；或者P或者Q，所以R（其中P代表B保持 沉默，Q代表B坦白，R代表A坦白），换成逻辑语言即：(p→r)∧((q→r)∧(p∨q) →r。 这是两难推理的其中一种：形式简单构成式。同样B也会有和A一样的考虑，所以结果是 两人都选择坦白，但是从表1我们可以清楚地看到这并不是最优的结果，这就是所谓的“囚 犯两难处境”。这是一个完全信息静态博弈的逻辑推理过程。 为了达到最优结果，A、B可以考虑合作，即在警察逮捕他们以前，双方作出不坦白的 1 承诺，但是维持合作却非常困难，一旦A、B被分开审理，利已的逻辑就会发生作用，如A 会这样推理，既然B不会坦白，那么如果自己坦白了，将得到自由，所以坦白是最优选择 方案，同样B也会这样推理，所以这并没给两者带来什么变化。 B的决策 坦白 保持沉默 每人8年 A自由； B20年 B自由； A20年 每人1年 坦白 A的决策 保持 沉默 表1 现在我们再来看一个必要条件假言联锁推理。给出的例子是一个完全信息动态博弈。设 甲、乙两人做游戏，每人每次可以取一张牌或是两张牌，共13张牌，谁拿到第13张牌谁就 赢，甲先拿，为了赢，甲第一次应该拿几张牌？为了解决这个问题，我们要进行逆向推理。 因为最后一次甲可以拿1张或2张牌，所以乙最后一次拿完后要剩1张或者2张牌，而乙最 后一次拿之前应该剩下3张牌，这样才能保证乙拿了1张或2张后还剩2张或1张，换句话 说，只有在最后一次乙拿之前还剩3张牌（p），才能保证甲拿到第10张牌(q)；同样，只 有在最后第二次乙拿之前还剩7张牌(r)，才能保证在最后一次乙拿之前还剩3张牌(p)，依 此类推，可得甲第一次应拿一张牌(u)才能赢(s)，即：(u←n)∧…∧(r←p) ∧ (p←q)←s(n为 第二次甲应拿牌数)。 由以上对三个简单博弈的逻辑推理的分析中，我们可以对博弈论中的逻辑推理的运用有 一个基本的了解，还有很多博弈论的例子可以通过逻辑推理的方法来得出决策结果，但并不 一定是最优结果，当然也有很多博弈尚且不能得到解答，所以本文只是我试着运用逻辑来分 析些博弈问题，希望能对大家有所帮助。 竺可桢学院文（一） 3013002028 王小萤 2