数学归纳法的逻辑意义 数学归纳法是我们所学过的关于数学论证的一种行之有效的有利论证工具。然而，一天 我却在网上看到这样的论证： 1、“饭永远吃不饱！” 证明如下： n=1时，1粒饭绝对吃不饱，n=1成立 设n=k时成立 n=k+1时，k粒饭吃不饱，多吃一粒也吃不饱的啦，n=k+1成立 所以，对所有自然数n，都有n粒饭吃不饱 2、“不用吃饭也会饱！” 证明如下： 有一天吃饱了，→n=k粒饭吃饱，k is limited n=k-1时，k粒饭吃饱，少吃一粒也吃得饱啦，n=k-1成立 由数学归纳法知，n=0时也吃得饱，保证不吃饭也会饱 3、“每个人都是秃头” 证明如下： n=1时，1根头发是秃头，n=1成立 设n=k时是秃头 n=k+1时，k根头发是秃头，多长一根头发也是秃头啦，n=k+1成立 由数学归纳法知：每个人都是秃头 4、“我永远不会胖” 证明如下： n=1时，我一公斤时不胖，n=1成立 设n=k时不胖 n=k+1时，我k公斤时不胖，多一公斤我还是不胖啦，n=k+1成立 由数学归纳法知：我不胖 5、“你永远都是那么胖！” 证明如下： n=1时，你一餐不吃是那么胖，n=1成立 设n=k时，你k餐不吃还是那么胖 n=k+1时，你k餐不吃时是那么胖，那在多一餐不吃还是很胖啦 由数学归纳法得知：你不用减肥了，因为没用。 实际上这根本就不能称之为数学归纳法的论证。 数学归纳法是一种完全归纳法。人们的思维过程有两个完全相反的过程，一个是从特殊 到一般的思维活动，另一个是从一般到特殊的思维活动，前一个称为归纳，后一个称为演绎。 所谓归纳法：是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的 方法。这种方法的主要步骤为：收集素材（观察、试验研究对象）一一归类整理一一分析概 括一一形成猜想。 归纳法可分为三种，一种是完全归纳法：在考察了某类中的每一个对象具有或不具有某 一性质的基础上，得出该类全部对象具有或不具有该属性的结论；一种是不完全归纳法：在 考察某类中的部分对象具有或不具有某一属性并在考察过程中未遇到反例的基础上，得出该 类全部对象具有或不具有该属性的结论；另一种是典型归纳推理：只考察某类中的极少数对 象，将它们作为典型，有典型事例是否具有某一属性，得出该类对象具有或不具有该属性的 结论。从前提与结论的联系程度来看：完全归纳法具有必然性，而后两者具有偶然性。 根据对某一事物中每一对象都具有的某种属性的考察，而推出这类事物全体都有这种属 性的结论，这种推理方法叫做完全归纳法。数学上经常使用完全归纳法来证明这样一类命题， 这种类型的命题按其条件可以分为若干种不同的情况，在每种情况下都要考察不同的因素或 采用不同的手法才能使命题获证，当且仅当在所有不同的情况下命题都成立，整个命题才成 立。尽管完全归纳法是一种严格的证明方法，但它要求对研究对象的所有情况都要逐一研究 到，因此，当研究对象包含的情况很多，甚至是无限时，对研究对象逐一进行考察将无法实 现，所以完全归纳法的使用有其局限性。而数学又是一门完全严格的学科，因而采用“搭梯 子、爬楼梯”式的条件来限制，以保证论证过程的严格有效。这就是自然数中的“皮阿诺公 设”。 一般的论证过程，往往依照着以下的「三部曲」來行事： 首先，考虑当n=1时，从等式左方计算出来的结果是否等于右方。如果相等，那么就 成该等式在n=1的情况下成立。 其次就是归纳步骤：先假设当n等于某一整数k时，等式成立；然后证明从上面的假设 可以推算出，当n=k+1时，该等式仍然成立。 第三步就是写一段声明：由于算式满足以上的两个验算,根据数学归纳法原理,命题就会 对一切的整数n成立。 由于数学归纳法的严格有效，一些人往往故意曲解数学归纳法的原意，用以狡辩。如本 文一开头提到的五个论证。 实际上，数学归纳法虽是一种数学的论证方法，仍然要遵循逻辑学的一般规律，不能出 现谬误。在逻辑上，从真假的角度考虑，把谬误理解为一种假语句，其中一个方面的情形是 “事实的假语句”：假如表达认识内容的语句不符合属于认识对象的事实，人们便断定它为 假语句。而上面的五个论证正是犯了违反事实的错误。 先看第一个论证，证明过程没有问题，在形式上数学归纳法的运用，但它要证明的结论 却是违反事实的，且论证中所涉及到的n是有范围限制的，从数学角度来看，仍然是不对， 因为犯了扩大定义域的错误。而实际上，后面的四个论证也属于犯了同一种错误，有的命题 要在特定的情况下才能成立，不能作为普遍性结论。 因而，我们在学习的过程中应该注意知识的有效运用范围，且注意不要犯逻辑错误。所 以，学习逻辑，并将逻辑与我们所学过的知识联系起来，才能保证知识的正确有效，特别要 注意不要违反逻辑的基本原理。 竺可桢学院文(一)班 宋倩 3013002017