第四章
电 路 定 理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-1 叠加定理
?叠加定理是线性电路的一个重要定理。
?图 4-1（ a）所示电路中有两个独立电源
（激励），现在求解电路中的电流 i 2 和
电压 u 1 （响应）。
?根据 KCL和 KVL可以列出
方程,us = R1(i2-is)+R2i2
解得 i2,再求得 u1,有：
i2= us/（ R1+R2 ） + R1is/（ R1+R2 ）
u1= R1 us/（ R1+R2 ） + R1R2 is/（ R1+R2 ）
+
_
us
+ _
R1
u 1
i si 2
R2
图 4-1(a)
§ 4-1 叠加定理
?上式可以改写为,i2 = i2(1) + i2(2) u1 = u1(1) + u1(2)
?其中, i2(1) = i2 | is =0 u1(1) = u1 | us =0
i2(2) = i2 | us =0 u1(2) = u1 | is =0
? 电流源置零时相当于开路，电压源置零时相当于短路。
故 us与 is分别单独作用如图 4-1（ b）和（ c）所示,
+ _
R1
u1(2) i si2(2)
R2
图 4-1(c)
+
_
us
+ _
R1
u1(1) i2(1)
R2
图 4-1(b)
§ 4-1 叠加定理
?叠加定理可表述为,线性电阻电路中，任
一点压或电流都是电路中各个独立电源单
独作用时，在该处产生的电压电流的叠加。
?当电路中存在受控源时，叠加定理仍然适
用。受控源的作用反映在回路电流或结点
电压方程中的自阻和互阻或自导和互导中，
所以对含有受控源的电路应用叠加定理，
进行各分电路计算时，仍应把受控源保留
在各分电路中。
§ 4-1 叠加定理
使用叠加定理注意：
（ 1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线
性电路。
（ 2）在叠加的各分路中，不作用的电压源置零
（用短路代替），不作用的电流源置零（用开
路代替）。电路中的电阻都不予更动。受控源
保留在各分电路中。
（ 3）叠加时，各分路中的电压和电流参考方向可
以取为与原电路中的相同。取和时，应注意
,+”“-”号。
（ 4）源电路的功率不等于按各分路计算所得的功
率叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积。
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-2 替代定理
?替代定理 具有广泛的应用，其内容可以叙
述为：, 给定一个线性电阻电路，其中第 k
支路的电压 u k和电流 i k为已知，那么此
支路就可以用一个电压等于 u k的电压源，
或一个电流 i k等于的电流源替代，替代后
电路中全部电压和电流均将保持原值。,
?上述提到的第 k支路可以是电阻、电压源和
电阻的串联组合或电流源和电阻的并联组
合。
§ 4-2 替代定理
?图（ a）线性电阻电路中,N表示第 k支路以
外的其余部分。图（ b）用电压源 u s替代第
k支路,u s= u k。图（ c）用电流源 i s替代
第 k支路,i s = i k 。
+
-
u s
u k
+
-
N
(b)
u k
+
+
- -u sk
R k
N
(a)
i s
N
(c)
i k
§ 4-2 替代定理
?注意：
如果是第 k支路中的电压或电流为 N中
受控源的控制量，而替代后该电压或电流
不存在,[例如上页图（ a）中的 R两端电
压为控制量时 ]，则该支路不能被替代。
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? 戴维宁定理 指出：, 一个含独立电源、线性电阻
和 受控源 的一端口，对外电路来说，可以用一个
电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源的
电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口的
全部独立电源置零后的输入电阻。, (如下图 )
+
-
u oc
R eq
外
电
路
(2)
1
1`
外
电
路
N
1
1`
(1)
§ 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? 注意：
上页图中，电压源和电阻的串联组合称为 戴
维宁等效电路,等效电路中的电阻成为 戴维宁等
效电阻 。当一端口用戴维宁等效短路置换后，端
口以外的电路（以后称为外电路）中的电压、电
流均保持不变。这种等效变换称为对外等效。
受控源,这些受控源只能受端口内某些电压、电流
的控制；同时，端口内的电压、电流也不能是端
口以外电路中受控源的控制量。
§ 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? 诺顿定理 指出：, 一个含独立电源、线性电阻和
受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电
流源和电导的并联组合等效置换，此电流源的电
流等于一端口的开路电流，电导等于一端口的全
部独立电源置零后的输入电导。, (如下图 )
+
-
uGeq
isc
i 1
1`
(c)
NS
i 1
1`
+
-
u
(a)
1
1`
uoc
Req
i
(b)
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-4 特勒根定理
? 特勒根定理 1:对于一个具有 n个结点和 b条支路
的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参
考方向，并令（ i1,i2,…,i b）、（ u1,u2,…,ub ）
分别为 b条支路的电流和电压，则对任何时间，
有：
0
1
??
?
k
b
k
k iu 1
2 3
4
5 6
§ 4-4 特勒根定理
0
1
?
?
?
? k
b
k
k iu 0
1
??
?
?
k
b
k
k iu
).,,,,( ).,,,,(,21,21 bb uuuiii ??????
?特勒根定理 2:如果有两个具有 n个结点和 b条支路
的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路
构成。假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，
并分别用 表示两电路
中 b条支路的电流和电压，则对任何时间 t，有：
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-5 互易定理
? 互易定理第一种形式,即对一个仅含线性电阻的电
路，在单一电压源激励而响应为电流时，当激励
和响应互换位置时，将不改变同一激励产生的响
应。即：
-
+
1
1`
2
2`
SU?1?i
?N(b)
1
1`
2
2`
+
-
i1
us i2
(a) N 图 4-21 互易定理第一种形式
?
?
?
s
s u
i
u
i 12
§ 4-5 互易定理
si
?
1
?u
?在图 4－ 22（ a）中，接在 1－ 1`的支路 1为电流源 is,接在 2－
2`的支路 2为开路，它的电压为 u2。
?如把激励和响应互换位置，如图 4－ 22（ b）,此时接于 2－ 2`
的支路 2为电流源,接于 1－ 1`的支路为开路，其电压为 。
假设把电流源置为零，则图（ a）和图（ b）的两个电路完全
相同。即：
Si?1?u
2?i
2
2`
1
1`
-
+
?N(b)
2
2`
1
1`
1i
si 2u
-
+
(a) N 图 4-22 互易定理第二种形式
?
?
?
s
s i
u
i
u 12
§ 4-5 互易定理
su
?
1
?u
?在图 4－ 23（ a）中，接在 1－ 1`的支路 1为电流源 is,接在 2－
2`的支路 2为短路，它的电流为 i2。
?如把激励改为电压源,且接于 2－ 2`，接于 1－ 1`的为开
路，其电压为,见图 4-23（ b）。假设把电流源和电压源置
零，不难看出激励和相应互换位置后，电路保持不变。即：
图 4-23 互易定理第三种形式
1
1`
2
2`
i1
u2
(a) N
iS
+
-
-
+
1
1`
2
2`
Su?1?u
?N(b)
+
-
2?i
?
?
?
ss u
u
i
i 12
§ 4-5 互易定理
?图 4－ 21,4-22,4-23所示为互易定理的 3种不同形式，其中
激励和相应可能是电压或电流而有所不同，但它们互换位置
前后，如假设把电压源和电流源置零，则电路保持不变。
?在满足上述条件下，互易定理可以归纳如下：, 对于一个仅
含线性电阻的电路，在单一激励下产生的响应，当激励和响
应互换位置时，其比值保持不变。, 即如下公式成立：
?
?
?
s
s u
i
u
i 12
?
?
?
s
s i
u
i
u 12
?
?
?
s
s u
u
i
i 12
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-6 对偶原理
?电阻 R的电压电流关系为,u=Ri，电导 G的电压电流关系为：
i=Gu；对于 CCVS有 u2=ri1,i1为控制电流，对于 VCCS有 i2=gu1,u1
为控制电压。
?在以上这些关系式中，如果把电压 u和电流 i互换，电阻 R和
电导 G互换,r和 g互换，则对应关系可以彼此转换。这些互换
元素成为对偶元素。
?所以, 电压, 和, 电流,,, 电阻, 和, 电导,,, CCVS”
和, VCCS”,”, r”和, g”等，都是对偶元素。
电 路 定 理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-1 叠加定理
?叠加定理是线性电路的一个重要定理。
?图 4-1（ a）所示电路中有两个独立电源
（激励），现在求解电路中的电流 i 2 和
电压 u 1 （响应）。
?根据 KCL和 KVL可以列出
方程,us = R1(i2-is)+R2i2
解得 i2,再求得 u1,有：
i2= us/（ R1+R2 ） + R1is/（ R1+R2 ）
u1= R1 us/（ R1+R2 ） + R1R2 is/（ R1+R2 ）
+
_
us
+ _
R1
u 1
i si 2
R2
图 4-1(a)
§ 4-1 叠加定理
?上式可以改写为,i2 = i2(1) + i2(2) u1 = u1(1) + u1(2)
?其中, i2(1) = i2 | is =0 u1(1) = u1 | us =0
i2(2) = i2 | us =0 u1(2) = u1 | is =0
? 电流源置零时相当于开路，电压源置零时相当于短路。
故 us与 is分别单独作用如图 4-1（ b）和（ c）所示,
+ _
R1
u1(2) i si2(2)
R2
图 4-1(c)
+
_
us
+ _
R1
u1(1) i2(1)
R2
图 4-1(b)
§ 4-1 叠加定理
?叠加定理可表述为,线性电阻电路中，任
一点压或电流都是电路中各个独立电源单
独作用时，在该处产生的电压电流的叠加。
?当电路中存在受控源时，叠加定理仍然适
用。受控源的作用反映在回路电流或结点
电压方程中的自阻和互阻或自导和互导中，
所以对含有受控源的电路应用叠加定理，
进行各分电路计算时，仍应把受控源保留
在各分电路中。
§ 4-1 叠加定理
使用叠加定理注意：
（ 1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线
性电路。
（ 2）在叠加的各分路中，不作用的电压源置零
（用短路代替），不作用的电流源置零（用开
路代替）。电路中的电阻都不予更动。受控源
保留在各分电路中。
（ 3）叠加时，各分路中的电压和电流参考方向可
以取为与原电路中的相同。取和时，应注意
,+”“-”号。
（ 4）源电路的功率不等于按各分路计算所得的功
率叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积。
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-2 替代定理
?替代定理 具有广泛的应用，其内容可以叙
述为：, 给定一个线性电阻电路，其中第 k
支路的电压 u k和电流 i k为已知，那么此
支路就可以用一个电压等于 u k的电压源，
或一个电流 i k等于的电流源替代，替代后
电路中全部电压和电流均将保持原值。,
?上述提到的第 k支路可以是电阻、电压源和
电阻的串联组合或电流源和电阻的并联组
合。
§ 4-2 替代定理
?图（ a）线性电阻电路中,N表示第 k支路以
外的其余部分。图（ b）用电压源 u s替代第
k支路,u s= u k。图（ c）用电流源 i s替代
第 k支路,i s = i k 。
+
-
u s
u k
+
-
N
(b)
u k
+
+
- -u sk
R k
N
(a)
i s
N
(c)
i k
§ 4-2 替代定理
?注意：
如果是第 k支路中的电压或电流为 N中
受控源的控制量，而替代后该电压或电流
不存在,[例如上页图（ a）中的 R两端电
压为控制量时 ]，则该支路不能被替代。
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? 戴维宁定理 指出：, 一个含独立电源、线性电阻
和 受控源 的一端口，对外电路来说，可以用一个
电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源的
电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口的
全部独立电源置零后的输入电阻。, (如下图 )
+
-
u oc
R eq
外
电
路
(2)
1
1`
外
电
路
N
1
1`
(1)
§ 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? 注意：
上页图中，电压源和电阻的串联组合称为 戴
维宁等效电路,等效电路中的电阻成为 戴维宁等
效电阻 。当一端口用戴维宁等效短路置换后，端
口以外的电路（以后称为外电路）中的电压、电
流均保持不变。这种等效变换称为对外等效。
受控源,这些受控源只能受端口内某些电压、电流
的控制；同时，端口内的电压、电流也不能是端
口以外电路中受控源的控制量。
§ 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? 诺顿定理 指出：, 一个含独立电源、线性电阻和
受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电
流源和电导的并联组合等效置换，此电流源的电
流等于一端口的开路电流，电导等于一端口的全
部独立电源置零后的输入电导。, (如下图 )
+
-
uGeq
isc
i 1
1`
(c)
NS
i 1
1`
+
-
u
(a)
1
1`
uoc
Req
i
(b)
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-4 特勒根定理
? 特勒根定理 1:对于一个具有 n个结点和 b条支路
的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参
考方向，并令（ i1,i2,…,i b）、（ u1,u2,…,ub ）
分别为 b条支路的电流和电压，则对任何时间，
有：
0
1
??
?
k
b
k
k iu 1
2 3
4
5 6
§ 4-4 特勒根定理
0
1
?
?
?
? k
b
k
k iu 0
1
??
?
?
k
b
k
k iu
).,,,,( ).,,,,(,21,21 bb uuuiii ??????
?特勒根定理 2:如果有两个具有 n个结点和 b条支路
的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路
构成。假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，
并分别用 表示两电路
中 b条支路的电流和电压，则对任何时间 t，有：
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-5 互易定理
? 互易定理第一种形式,即对一个仅含线性电阻的电
路，在单一电压源激励而响应为电流时，当激励
和响应互换位置时，将不改变同一激励产生的响
应。即：
-
+
1
1`
2
2`
SU?1?i
?N(b)
1
1`
2
2`
+
-
i1
us i2
(a) N 图 4-21 互易定理第一种形式
?
?
?
s
s u
i
u
i 12
§ 4-5 互易定理
si
?
1
?u
?在图 4－ 22（ a）中，接在 1－ 1`的支路 1为电流源 is,接在 2－
2`的支路 2为开路，它的电压为 u2。
?如把激励和响应互换位置，如图 4－ 22（ b）,此时接于 2－ 2`
的支路 2为电流源,接于 1－ 1`的支路为开路，其电压为 。
假设把电流源置为零，则图（ a）和图（ b）的两个电路完全
相同。即：
Si?1?u
2?i
2
2`
1
1`
-
+
?N(b)
2
2`
1
1`
1i
si 2u
-
+
(a) N 图 4-22 互易定理第二种形式
?
?
?
s
s i
u
i
u 12
§ 4-5 互易定理
su
?
1
?u
?在图 4－ 23（ a）中，接在 1－ 1`的支路 1为电流源 is,接在 2－
2`的支路 2为短路，它的电流为 i2。
?如把激励改为电压源,且接于 2－ 2`，接于 1－ 1`的为开
路，其电压为,见图 4-23（ b）。假设把电流源和电压源置
零，不难看出激励和相应互换位置后，电路保持不变。即：
图 4-23 互易定理第三种形式
1
1`
2
2`
i1
u2
(a) N
iS
+
-
-
+
1
1`
2
2`
Su?1?u
?N(b)
+
-
2?i
?
?
?
ss u
u
i
i 12
§ 4-5 互易定理
?图 4－ 21,4-22,4-23所示为互易定理的 3种不同形式，其中
激励和相应可能是电压或电流而有所不同，但它们互换位置
前后，如假设把电压源和电流源置零，则电路保持不变。
?在满足上述条件下，互易定理可以归纳如下：, 对于一个仅
含线性电阻的电路，在单一激励下产生的响应，当激励和响
应互换位置时，其比值保持不变。, 即如下公式成立：
?
?
?
s
s u
i
u
i 12
?
?
?
s
s i
u
i
u 12
?
?
?
s
s u
u
i
i 12
第四章
电路定理
? § 4-1 叠加定理
? § 4-2 替代定理
? § 4-3 戴维宁定理和诺顿定理
? § 4-4 特勒根定理
? § 4-5 互易定理
? § 4-6 对偶原理
§ 4-6 对偶原理
?电阻 R的电压电流关系为,u=Ri，电导 G的电压电流关系为：
i=Gu；对于 CCVS有 u2=ri1,i1为控制电流，对于 VCCS有 i2=gu1,u1
为控制电压。
?在以上这些关系式中，如果把电压 u和电流 i互换，电阻 R和
电导 G互换,r和 g互换，则对应关系可以彼此转换。这些互换
元素成为对偶元素。
?所以, 电压, 和, 电流,,, 电阻, 和, 电导,,, CCVS”
和, VCCS”,”, r”和, g”等，都是对偶元素。
