? 内容提要
本章介绍线性电阻电路方程的建立方法,
内容包括,电路图论的初步概念,支路电流
法,网孔法,回路法和结点法
§ 3－ 1电路的图
? 我们以右图 3-1(a)为
例来说明电路的图
_
R1
us1+
R4 R5
R3
R2
is2
R6
(a)
? 一个图是结点和支路
的一个集合,每条支
路的两端都连到相应
的结点上,图 3-1(b)就
是电路的图,
(b)
? 如果将电压源 us1和电阻 R1的串联组合作为一条支路,这
个电路的图将如图 3-1(c)所示,此图未赋予支路方向,为
无向图,
? 将 is2和 R2的并联组合作为一条支路,如图 3-1(d),此图为
有向图。
(c) (d)
§ 3-2kcL和 kvL的独立方程数
一, kcL的独立方程
? 如图 3-2，对结点①
②③④分别列出 kcL
方程，有：
i1－ i4－ i6=0
－ i1－ i2＋ i3=0
i2＋ i5＋ i6=0
－ i3＋ i4－ i5=0
2
②
1
54 3
6
① ③
④
图 3-2kcl独立方程
? 可看出,在所有 kcl方
程中,每个支路电流
必然出现两次,一次
为正,一次为负,若将 4
个方程相加,则等号
两边为零,所以这四
个方程不是独立的,
但其中任意三个是独
立的,
? 可以证明,
对于具有 n个结
点的电路,在任意
(n－ 1)个结点上
可以得出 (n－ 1)
个独立方程,相应
的 (n－ 1)个结点
称为独立结点,
KvL独立方程数
? 一个电路的 独立方程数 ＝
独立回路数
? 欧拉公式,多面体的面数 (L＋
1)与顶点数 n之和等于边数
(b ＋ 2).
L＋ 1＋ n＝ b＋ 2 →
? 对于一个结点数为 n,支路数
为 b的连通图,其独立回路数
为
L＝ b－ n＋ 1
用网孔法求
? 对于平面图,可引入网孔,
网孔数 =独立 回路数
? 如左图,支路 (1,3,5)
(2,3,7) (4,5,6) (4,7,8)
(6,8,9)都是网孔,独立
回路数为 5
? 图中有 5个结点,9条支
路,由公式 L= b－ n＋ 1
可求得 L=5
①
②
③④
⑤
1 2
3
4
5 7
6 8
9
求解电路的几种方法
? 支路电流法
? 网孔电流法
? 回路电流法
? 结点电压法
§ 3－ 3支路电流法
? 列出支路电流法的电路方程的步骤如下,
⑴选定支路电流的参考方向 ;
⑵ 根据对 n－ 1个独立结点列出方程 ;
⑶选取 b－ n＋ 1个独立回路,指定回路的绕行
方向,按照式 ∑rkik＝ ∑usk列出 kvL方程
注意,支路电流法要求个支路电压均能以支路电流
表示,当一条支路仅含电流源而不存在与之并联
的电阻时,就无法将支路电压以支路电流表示,
网孔电流法
? 图中有 2个网孔,
? 自阻 R11=R1+R2
R22=R2+R3,
? 互阻 R12=R21 =-R2
? 可列出方程
R11im1+R12im2=us11
R21im1+R22im2=us22
i1
i2
i3
us1 u
s2
us3
R1 R3
R2
+
_
+
_
+
_
对具有 m个网孔的平面电路,网孔电流方程
的一般形式可写为,
R11im1+R12im2+R13im3+﹍ +R1mimm=us11
R21im1+R22im2+R23im3+﹍ +R2mimm=us22
…,﹍﹍ ……………………………………………………,
Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3++Rmmimm=us22
具有相同下标的电阻为网孔的自阻,不同下
标的电阻为互阻,互阻的正负视
§ 3－ 5 回路电流法
? 对于 b个支路 n个结点,回路电流数 l=(b－ n+1)回路
电流方程的一般形式
R11i11+R12i12+R13i13+……+R 1li1l=us11
R21i11+R22i12+R23i13+……+R 2li1l=us22
R31i11+R32i12+R33i13+……+R 3li1l=us33
﹍ …………………………………………………………………… ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
Rl1i11+Rl2i12+Rl3i13+……+R lli1l=us33
其中相同下标的电阻是各自回路的自阻,不同下标的
电阻为互阻,若两回路共有支路上两回路电流方向
相同,互阻取正,若两回路无共有电阻,互阻为
零,us11us22﹍ 分别为回路 1 2﹍ 等中的电压源代数和,
例,给定直流电路如图 3-12,其中 R1=R2=R3=1Ω
R4=R5=R6=2Ω,us1=4V,us5=2V试选择一组独立
回路,并列出回路电流方程
R1 + _us1
R2
R3R4 R5
R6
us5_
+
选择支路 4`5`6 为树,3个独立回路,连支电流
I1I2I3即为回路电流 I11I12I13..有,
R11=R1+R6+R5+R4=7 Ω
R22=R2+R4+R5=5 Ω
R33=R3+R5+R6=5 Ω
R12=R21=R4+R5=4 Ω
R13=R31=-(R5+R6)=-4 Ω
R23=R32=-R5=-2 Ω
Us11=-us1+us5=-2V
Us22=us5=2V
Us33=-us5=-2V
∵ 回路电流方程为, 7I11+4I12－ 4I13=-2
4I11+5I12－ 2I13=2
-4I11－ 2I12+5I13=-2
解出后,可根据以下各式计算支路电流,
I1=I11
I2=I12
I3=I13
I4=I11－ I12
I5=I11+I12－ I13
I6=-I11+I13
§ 3－ 6 结点电压法
? 在电路中任意选择一结点为参考结点，其它结点
与此参考结点之间的电压为节电电压。参考结点
的参考极性是以参考结点为负，其余结点为正。
结点电压法以结点电压为求解变量，并对独立结
点用 kcl列出用节电电压表达的有关支路电流方程。
由于任一支路都连接在两个结点上，根据 kvL，
不难断定支路电压是两个结点电压之差。举例说
明。
例,对图 3－ 16所示电路及其图，电路的结点数
为 4支路数为 6。以结点 0为参考并令结点①②③
的结点电压分别用 un1un2un3表示。
is6
R6
R1 R2
R3
R4 R5
i1 i
2
i3i4
i5i6① ② ③
◎
us3+_
is1
6
1 2 3
4 5
◎
① ② ③
? 根据 kvL,不难得出
u4+u2-u1=0
∵ un1=u1,un2=u2
∴ u4=u1-u2=un1-un2
可见，支路电压 u4等于它连接的两结点
电压之差。同理，有：
u5=un2-un3
u6=un1-un3
u3=un3
全部支路电压可以通过结点电压表示。
? 对结点①②③，应用 kcl有 i1+i4+i6=0
i2-i4+i5=0,i3-i5-i6=0 (3-14)
将式（ 3－ 14）代入（ 3－ 13）得：
3
3
65356
55424
64641
63
111
2
1
1
1
3
1
2
111
1
1
613
1
2
1
1
111
)(
0)(
)(
R
u
snRRRnRnR
nRnRRRnR
ssnRnRnRRR
s
iuuu
uuu
iiuuu
???????
??????
??????
3个独立结点的结点电压方程：
G11un1+G12un2+G13un3=is11
G21un1+G22un2+G23un3=is22
G31un1+G32un2+G33un3=is33
本章介绍线性电阻电路方程的建立方法,
内容包括,电路图论的初步概念,支路电流
法,网孔法,回路法和结点法
§ 3－ 1电路的图
? 我们以右图 3-1(a)为
例来说明电路的图
_
R1
us1+
R4 R5
R3
R2
is2
R6
(a)
? 一个图是结点和支路
的一个集合,每条支
路的两端都连到相应
的结点上,图 3-1(b)就
是电路的图,
(b)
? 如果将电压源 us1和电阻 R1的串联组合作为一条支路,这
个电路的图将如图 3-1(c)所示,此图未赋予支路方向,为
无向图,
? 将 is2和 R2的并联组合作为一条支路,如图 3-1(d),此图为
有向图。
(c) (d)
§ 3-2kcL和 kvL的独立方程数
一, kcL的独立方程
? 如图 3-2，对结点①
②③④分别列出 kcL
方程，有：
i1－ i4－ i6=0
－ i1－ i2＋ i3=0
i2＋ i5＋ i6=0
－ i3＋ i4－ i5=0
2
②
1
54 3
6
① ③
④
图 3-2kcl独立方程
? 可看出,在所有 kcl方
程中,每个支路电流
必然出现两次,一次
为正,一次为负,若将 4
个方程相加,则等号
两边为零,所以这四
个方程不是独立的,
但其中任意三个是独
立的,
? 可以证明,
对于具有 n个结
点的电路,在任意
(n－ 1)个结点上
可以得出 (n－ 1)
个独立方程,相应
的 (n－ 1)个结点
称为独立结点,
KvL独立方程数
? 一个电路的 独立方程数 ＝
独立回路数
? 欧拉公式,多面体的面数 (L＋
1)与顶点数 n之和等于边数
(b ＋ 2).
L＋ 1＋ n＝ b＋ 2 →
? 对于一个结点数为 n,支路数
为 b的连通图,其独立回路数
为
L＝ b－ n＋ 1
用网孔法求
? 对于平面图,可引入网孔,
网孔数 =独立 回路数
? 如左图,支路 (1,3,5)
(2,3,7) (4,5,6) (4,7,8)
(6,8,9)都是网孔,独立
回路数为 5
? 图中有 5个结点,9条支
路,由公式 L= b－ n＋ 1
可求得 L=5
①
②
③④
⑤
1 2
3
4
5 7
6 8
9
求解电路的几种方法
? 支路电流法
? 网孔电流法
? 回路电流法
? 结点电压法
§ 3－ 3支路电流法
? 列出支路电流法的电路方程的步骤如下,
⑴选定支路电流的参考方向 ;
⑵ 根据对 n－ 1个独立结点列出方程 ;
⑶选取 b－ n＋ 1个独立回路,指定回路的绕行
方向,按照式 ∑rkik＝ ∑usk列出 kvL方程
注意,支路电流法要求个支路电压均能以支路电流
表示,当一条支路仅含电流源而不存在与之并联
的电阻时,就无法将支路电压以支路电流表示,
网孔电流法
? 图中有 2个网孔,
? 自阻 R11=R1+R2
R22=R2+R3,
? 互阻 R12=R21 =-R2
? 可列出方程
R11im1+R12im2=us11
R21im1+R22im2=us22
i1
i2
i3
us1 u
s2
us3
R1 R3
R2
+
_
+
_
+
_
对具有 m个网孔的平面电路,网孔电流方程
的一般形式可写为,
R11im1+R12im2+R13im3+﹍ +R1mimm=us11
R21im1+R22im2+R23im3+﹍ +R2mimm=us22
…,﹍﹍ ……………………………………………………,
Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3++Rmmimm=us22
具有相同下标的电阻为网孔的自阻,不同下
标的电阻为互阻,互阻的正负视
§ 3－ 5 回路电流法
? 对于 b个支路 n个结点,回路电流数 l=(b－ n+1)回路
电流方程的一般形式
R11i11+R12i12+R13i13+……+R 1li1l=us11
R21i11+R22i12+R23i13+……+R 2li1l=us22
R31i11+R32i12+R33i13+……+R 3li1l=us33
﹍ …………………………………………………………………… ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
Rl1i11+Rl2i12+Rl3i13+……+R lli1l=us33
其中相同下标的电阻是各自回路的自阻,不同下标的
电阻为互阻,若两回路共有支路上两回路电流方向
相同,互阻取正,若两回路无共有电阻,互阻为
零,us11us22﹍ 分别为回路 1 2﹍ 等中的电压源代数和,
例,给定直流电路如图 3-12,其中 R1=R2=R3=1Ω
R4=R5=R6=2Ω,us1=4V,us5=2V试选择一组独立
回路,并列出回路电流方程
R1 + _us1
R2
R3R4 R5
R6
us5_
+
选择支路 4`5`6 为树,3个独立回路,连支电流
I1I2I3即为回路电流 I11I12I13..有,
R11=R1+R6+R5+R4=7 Ω
R22=R2+R4+R5=5 Ω
R33=R3+R5+R6=5 Ω
R12=R21=R4+R5=4 Ω
R13=R31=-(R5+R6)=-4 Ω
R23=R32=-R5=-2 Ω
Us11=-us1+us5=-2V
Us22=us5=2V
Us33=-us5=-2V
∵ 回路电流方程为, 7I11+4I12－ 4I13=-2
4I11+5I12－ 2I13=2
-4I11－ 2I12+5I13=-2
解出后,可根据以下各式计算支路电流,
I1=I11
I2=I12
I3=I13
I4=I11－ I12
I5=I11+I12－ I13
I6=-I11+I13
§ 3－ 6 结点电压法
? 在电路中任意选择一结点为参考结点，其它结点
与此参考结点之间的电压为节电电压。参考结点
的参考极性是以参考结点为负，其余结点为正。
结点电压法以结点电压为求解变量，并对独立结
点用 kcl列出用节电电压表达的有关支路电流方程。
由于任一支路都连接在两个结点上，根据 kvL，
不难断定支路电压是两个结点电压之差。举例说
明。
例,对图 3－ 16所示电路及其图，电路的结点数
为 4支路数为 6。以结点 0为参考并令结点①②③
的结点电压分别用 un1un2un3表示。
is6
R6
R1 R2
R3
R4 R5
i1 i
2
i3i4
i5i6① ② ③
◎
us3+_
is1
6
1 2 3
4 5
◎
① ② ③
? 根据 kvL,不难得出
u4+u2-u1=0
∵ un1=u1,un2=u2
∴ u4=u1-u2=un1-un2
可见，支路电压 u4等于它连接的两结点
电压之差。同理，有：
u5=un2-un3
u6=un1-un3
u3=un3
全部支路电压可以通过结点电压表示。
? 对结点①②③，应用 kcl有 i1+i4+i6=0
i2-i4+i5=0,i3-i5-i6=0 (3-14)
将式（ 3－ 14）代入（ 3－ 13）得：
3
3
65356
55424
64641
63
111
2
1
1
1
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R
u
snRRRnRnR
nRnRRRnR
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s
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uuu
iiuuu
???????
??????
??????
3个独立结点的结点电压方程：
G11un1+G12un2+G13un3=is11
G21un1+G22un2+G23un3=is22
G31un1+G32un2+G33un3=is33
