第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –1 网络函数的定义
? 网络函数的定义,电路在单一的独立激励下，
其零状态响应 r(t)的象函数 R(s)与激励 e(t)的象函
数 E(s)之比定义为该电路的网络函数 H(s),即
)(
)()(
sE
sRsH ?
（ 14-1 ）
?由于激励 E(s)可以是 独立的电压源或独立的电
流源，响应 R(s)可以是电路中任意两点之间的
电压或任意支路的电流，故网络函数可能是驱
动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳）,电压
转移函数或电流转移函数。
§ 14 –1 网络函数的定义
? 根据网络函数的定义，若 E(s)=1,则
R(s)=H(s),即网络函数就是该响应的象
函数，而当 E(s)=1时,e(t)=δ(t),所
以网络函数的原函数 h(t)是电路的单位
冲激响应，即
? ? ? ? )()()()( 11 trsRLsHLth ??? ?? （ 14-2 ）
§ 14 –1 网络函数的定义
例 14-2 图 14-2（ a）所示电路为一低通滤波电路，
激励是电压源 u1(t)。已知
L1=1.5H,C2=4/3F,L3=0.5H,R=1Ω 。求电压转移函
数 H1(s)=U2(s)/U1(s)和驱动点导纳函数
H2(s)=I1(s)/U1(s)。
图 14-2 例 14-2图
§ 14 –1 网络函数的定义
解,给定电路的运算电路如图（ b）。用回路电
流法列出回路电流 I1(s)和 I2(s)的方程，有：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 0
11
11
2
2
31
2
12
2
1
2
1
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sLsI
sC
sUsI
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sI
sC
sL
§ 14 –1 网络函数的定义
解得,? ? ? ?
? ? ? ?sU
sD
sI
sU
sD
sRCSCL
sI
12
1
2
2
23
1
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1
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1
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?
其中，
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而
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带入数据后得 ? ? 122
23 ???? ssssD
§ 14 –1 网络函数的定义
电压转移函数为
? ? ? ?? ? ? ?1)1( 1122 1 223
1
2
1 ????????? sssssssU
sUsH
? ? ? ?? ?
)122(3
342
23
2
1
1
2 ???
????
sss
ss
sU
sIsH
驱动点导纳函数为
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –2 网络函数的极点和零点
? 由于网络函数的 H(s)的分子和分母都是 s的多
项式，故其一般式可写为
)()())((
)()())((
21
21
0
nj
mi
pspspsps
zszszszsH
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0
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j
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ps
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?
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? （ 14-3 ）
§ 14 –2 网络函数的极点和零点
? 网络函数的零点和极点可能是实数、虚
数或复数。
? 如果以复数 s的实部 σ 为横轴，虚部 jw
为纵轴，就得到一个负频率平面简称负
平面或 s平面。
? 在复平面上把 H(s)的零点用, o,表示，
极点用, ╳, 表示，就得到网络函数
的零、极点分布图。
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 根据网络函数的定义可知，电路的零状态响
应的象函数
)(
)(
)(
)()()()(
sQ
sP
sD
sNsEsHsR ???
)(
)()(
sD
sNsH ?
)(
)()(
sQ
sPsE ?
式中
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 用部分分式法求相应的原函数时,D(s)Q(s)=0
的根将包含 D(s)=0和 Q(s)=0的根。
? 响应中包含 Q(s)=0的根的那些项属于强制分量，
而包含 D(s)=0的根（即网络函数的极点）的那
些项则是自由分量或瞬态分量。
? 由于一般情况下,h(t)的特性就是时域响应中
自由分量的特性，而 h(t)=L-1[H(s)],所以分析网
络函数的极点和冲激响应的关系就可以预见
时域响应的特点。
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网
络的冲激响应为
? ? ??
??
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?
?
?
?
?
?
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n
i
tp
i
n
i i
i ieK
ps
KLsHLth
11
11 )()(
（ 14-4 ）
式中,pi为 H(s)的极点。从上式中可以看出，当
pi为负实根时,epit为衰减的指数函数；当 pi为正
实根时,epit为增长的指数函数；而且 pi的绝对
值越大，衰减或增长的速度越快。
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 这说明了，若 H(s)的极点都位于负实轴上，则
h(t)将随 t的增大而衰减，这种电路是稳定的；
若有一个极点位于正实轴上，则 h(t)将随 t的
增大而增大，这种电路是不稳定的。
? 当极点 pi为共轭复数时，根据式（ 14-4）可知
h(t) 是以指数曲线为包络线的正弦函数，其实
部的正或负确定增长或衰减的正弦项。
? 当 pi为虚根时，则将是纯正弦项。
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
σ
t
╳
╳
O
t
t
jw
╳
╳
╳
╳
╳
t
tO
O
O
O
O
图 14-4 极点与冲激响应的关系
图 14-4 画出
了网络函数的
极点分别为负
实数、正实数、
虚数以及共轭
复数时，对应
的时域响应波
形。
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 如果用向量法求 图 14-2（ a） 所示电路在正弦
稳态情况下的电压转移函数，则改图（ b）中
的 sL1,1/sC2 和 sL3将分别是 jwL1,1/jwC2和
jwL3,,输入电压 U1(s)和 U2(s)将是向量 U1,U2，
而回路电流将是向量 I1,I2。
不难求得
12 )(
1 U
jDI
??
??
其中
? ? RjLLjCRLjCLLjD ????? ???? 312213231 )()()(
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
带入数据后，有
1)(2)(2)(
1
23
1
2
???
?
??? jjjU
U
?
?
可见，若把例 14-2的解 H1(s)中的 s用 jw代替，
则 H1(jw)= U2/ U1,就是说，再 s= jw处计算所
得网络函数 H1(s)即 H1(jw)，而 H1(jw)是角频
率为 w是正弦稳态情况下的输出向量与输入
向量之比。
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 同理，有
? ? ? ?
1
1
12 U
IsHjH
js ?
?
?? ? ??
上述结论在一般情况下也成立。所以如果令
网络函数 H(s)中复频率 s等于 jw,分析 H(jw)随
w变化的情况就可以预见相应的转移函数或驱
动点函数在正弦稳态情况下随 w变化的特性。
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 对于某一固定的角频率 w, H(jw)通常是一个
复数，既可以表示为
? ? ? ? ? ? ? ?????? ? jjHejHjH j ???
式中,│ H(jw)│ 为网络函数在频率出的
模值，而 ? ?? ??? jHa r g? 随 ? 变化的关
系称为相位频率响应，简称相频特性。
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 根据式（ 14-3）有
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
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n
j
j
m
i
i
pj
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1
1
0
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于是有，
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n
j
j
m
i
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1
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? （ 14-6）
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????
n
j
j
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i
i pjzjjH
11
a r ga r g)(a r g ???
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
所以，若已知网络函数的极点和零点，则按
式（ 14-6）便可以计算出对应的频率响应，
同时还可以通过在 s平面上作图的方法定性
描绘出频率响应。
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –5 卷积
? 卷积 是电路分析的一个重要概念。
? 设有两个时间函数 f1(t)和 f2(t)，他们在 t <0时为
零,f1(t)和 f2(t)的卷积（以符号 f1(t)*f2(t)表示），
用下列积分式定义
? ? ? ? ? ? ? ? ??? dftftftf t 2
0 121 ?
???
此时称为 卷积积分 。
§ 14 –5 卷积
? 拉氏变换的卷积定理
? 设 f1(t)和 f2(t)的拉氏变换象函数分别为 F1(s)和
F2(s),有
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ???? ? ??? dftfLtftfL t 2
0 121
? ? ? ?sFsF 21?
§ 14 –5 卷积
? 根据拉氏变换定义，有
? ? ? ?? ? ? ? ? ? dtdftfetftfL tst ?????? ??? ?? ? ? ??? 2
0 1021
根据延迟的单位阶越函数的定义
? ?
?
?
?
?
?
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t
t
t
?
?
??
0
1
§ 14 –5 卷积
? 故
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? dfttfdftft 20 120 1 ???? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? dtdfttfetftfL st ????? 20 1021 ???? ?? ?? ?
上式变为,则,令 ξ)s ( xst eeξtx ??? ???
§ 14 –5 卷积
? 则
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ????? 0 0 2121 dxdeefxxftftfL sxs ??? ?
? ? ? ? ? ? ??? ? defdxexxf ssx ?
???
??? 0 20 1
? ? ? ?sFsF 21?
同理可以证明，
? ? ? ?? ? ? ? ? ?sFsFtftfL 1212 ??
所以
? ? ? ? ? ? ? ?tftftftf 1221 ???
§ 14 –5 卷积
? 可以应用卷积定理求电路响应。设 E(s)表示外
施激励,H(s)表示网络函数，网络响应 R(s)为
R(s)= E(s) H(s)
? 求 R(s)的拉氏反变换，得到时域中的响应
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 7-14 )( 01 ??? dthesHsELtr t ??? ??
这里 e(t)为外施激励的时间函数形式,h(t)为
网络的冲激响应，给定任何激励函数后，既可
以求该网络的零状态响应。
§ 14 –5 卷积
? 上式的 r(t)还可以写成
? ? ? ? ) 8-14 ( )(
0
??? dhtetr t? ??
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –1 网络函数的定义
? 网络函数的定义,电路在单一的独立激励下，
其零状态响应 r(t)的象函数 R(s)与激励 e(t)的象函
数 E(s)之比定义为该电路的网络函数 H(s),即
)(
)()(
sE
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（ 14-1 ）
?由于激励 E(s)可以是 独立的电压源或独立的电
流源，响应 R(s)可以是电路中任意两点之间的
电压或任意支路的电流，故网络函数可能是驱
动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳）,电压
转移函数或电流转移函数。
§ 14 –1 网络函数的定义
? 根据网络函数的定义，若 E(s)=1,则
R(s)=H(s),即网络函数就是该响应的象
函数，而当 E(s)=1时,e(t)=δ(t),所
以网络函数的原函数 h(t)是电路的单位
冲激响应，即
? ? ? ? )()()()( 11 trsRLsHLth ??? ?? （ 14-2 ）
§ 14 –1 网络函数的定义
例 14-2 图 14-2（ a）所示电路为一低通滤波电路，
激励是电压源 u1(t)。已知
L1=1.5H,C2=4/3F,L3=0.5H,R=1Ω 。求电压转移函
数 H1(s)=U2(s)/U1(s)和驱动点导纳函数
H2(s)=I1(s)/U1(s)。
图 14-2 例 14-2图
§ 14 –1 网络函数的定义
解,给定电路的运算电路如图（ b）。用回路电
流法列出回路电流 I1(s)和 I2(s)的方程，有：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 0
11
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§ 14 –1 网络函数的定义
解得,? ? ? ?
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带入数据后得 ? ? 122
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§ 14 –1 网络函数的定义
电压转移函数为
? ? ? ?? ? ? ?1)1( 1122 1 223
1
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342
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驱动点导纳函数为
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –2 网络函数的极点和零点
? 由于网络函数的 H(s)的分子和分母都是 s的多
项式，故其一般式可写为
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? （ 14-3 ）
§ 14 –2 网络函数的极点和零点
? 网络函数的零点和极点可能是实数、虚
数或复数。
? 如果以复数 s的实部 σ 为横轴，虚部 jw
为纵轴，就得到一个负频率平面简称负
平面或 s平面。
? 在复平面上把 H(s)的零点用, o,表示，
极点用, ╳, 表示，就得到网络函数
的零、极点分布图。
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 根据网络函数的定义可知，电路的零状态响
应的象函数
)(
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式中
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 用部分分式法求相应的原函数时,D(s)Q(s)=0
的根将包含 D(s)=0和 Q(s)=0的根。
? 响应中包含 Q(s)=0的根的那些项属于强制分量，
而包含 D(s)=0的根（即网络函数的极点）的那
些项则是自由分量或瞬态分量。
? 由于一般情况下,h(t)的特性就是时域响应中
自由分量的特性，而 h(t)=L-1[H(s)],所以分析网
络函数的极点和冲激响应的关系就可以预见
时域响应的特点。
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网
络的冲激响应为
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（ 14-4 ）
式中,pi为 H(s)的极点。从上式中可以看出，当
pi为负实根时,epit为衰减的指数函数；当 pi为正
实根时,epit为增长的指数函数；而且 pi的绝对
值越大，衰减或增长的速度越快。
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
? 这说明了，若 H(s)的极点都位于负实轴上，则
h(t)将随 t的增大而衰减，这种电路是稳定的；
若有一个极点位于正实轴上，则 h(t)将随 t的
增大而增大，这种电路是不稳定的。
? 当极点 pi为共轭复数时，根据式（ 14-4）可知
h(t) 是以指数曲线为包络线的正弦函数，其实
部的正或负确定增长或衰减的正弦项。
? 当 pi为虚根时，则将是纯正弦项。
§ 14 –3 极点、零点和冲激响应
σ
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╳
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图 14-4 极点与冲激响应的关系
图 14-4 画出
了网络函数的
极点分别为负
实数、正实数、
虚数以及共轭
复数时，对应
的时域响应波
形。
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 如果用向量法求 图 14-2（ a） 所示电路在正弦
稳态情况下的电压转移函数，则改图（ b）中
的 sL1,1/sC2 和 sL3将分别是 jwL1,1/jwC2和
jwL3,,输入电压 U1(s)和 U2(s)将是向量 U1,U2，
而回路电流将是向量 I1,I2。
不难求得
12 )(
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jDI
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其中
? ? RjLLjCRLjCLLjD ????? ???? 312213231 )()()(
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
带入数据后，有
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1
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U
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可见，若把例 14-2的解 H1(s)中的 s用 jw代替，
则 H1(jw)= U2/ U1,就是说，再 s= jw处计算所
得网络函数 H1(s)即 H1(jw)，而 H1(jw)是角频
率为 w是正弦稳态情况下的输出向量与输入
向量之比。
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 同理，有
? ? ? ?
1
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12 U
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js ?
?
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上述结论在一般情况下也成立。所以如果令
网络函数 H(s)中复频率 s等于 jw,分析 H(jw)随
w变化的情况就可以预见相应的转移函数或驱
动点函数在正弦稳态情况下随 w变化的特性。
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 对于某一固定的角频率 w, H(jw)通常是一个
复数，既可以表示为
? ? ? ? ? ? ? ?????? ? jjHejHjH j ???
式中,│ H(jw)│ 为网络函数在频率出的
模值，而 ? ?? ??? jHa r g? 随 ? 变化的关
系称为相位频率响应，简称相频特性。
§ 14 –4 极点、零点和频率响应
? 根据式（ 14-3）有
? ?
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§ 14 –4 极点、零点和频率响应
所以，若已知网络函数的极点和零点，则按
式（ 14-6）便可以计算出对应的频率响应，
同时还可以通过在 s平面上作图的方法定性
描绘出频率响应。
第十四章 网络函数
? § 14 –1 网络函数的定义
? § 14 –2 网络函数的极点和零点
? § 14 –3 极点、零点和冲激响应
? § 14 –4 极点、零点和频率响应
? § 14 –5 卷积
§ 14 –5 卷积
? 卷积 是电路分析的一个重要概念。
? 设有两个时间函数 f1(t)和 f2(t)，他们在 t <0时为
零,f1(t)和 f2(t)的卷积（以符号 f1(t)*f2(t)表示），
用下列积分式定义
? ? ? ? ? ? ? ? ??? dftftftf t 2
0 121 ?
???
此时称为 卷积积分 。
§ 14 –5 卷积
? 拉氏变换的卷积定理
? 设 f1(t)和 f2(t)的拉氏变换象函数分别为 F1(s)和
F2(s),有
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ???? ? ??? dftfLtftfL t 2
0 121
? ? ? ?sFsF 21?
§ 14 –5 卷积
? 根据拉氏变换定义，有
? ? ? ?? ? ? ? ? ? dtdftfetftfL tst ?????? ??? ?? ? ? ??? 2
0 1021
根据延迟的单位阶越函数的定义
? ?
?
?
?
?
?
??
t
t
t
?
?
??
0
1
§ 14 –5 卷积
? 故
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? dfttfdftft 20 120 1 ???? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? dtdfttfetftfL st ????? 20 1021 ???? ?? ?? ?
上式变为,则,令 ξ)s ( xst eeξtx ??? ???
§ 14 –5 卷积
? 则
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ????? 0 0 2121 dxdeefxxftftfL sxs ??? ?
? ? ? ? ? ? ??? ? defdxexxf ssx ?
???
??? 0 20 1
? ? ? ?sFsF 21?
同理可以证明，
? ? ? ?? ? ? ? ? ?sFsFtftfL 1212 ??
所以
? ? ? ? ? ? ? ?tftftftf 1221 ???
§ 14 –5 卷积
? 可以应用卷积定理求电路响应。设 E(s)表示外
施激励,H(s)表示网络函数，网络响应 R(s)为
R(s)= E(s) H(s)
? 求 R(s)的拉氏反变换，得到时域中的响应
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 7-14 )( 01 ??? dthesHsELtr t ??? ??
这里 e(t)为外施激励的时间函数形式,h(t)为
网络的冲激响应，给定任何激励函数后，既可
以求该网络的零状态响应。
§ 14 –5 卷积
? 上式的 r(t)还可以写成
? ? ? ? ) 8-14 ( )(
0
??? dhtetr t? ??
