第七章
二阶电路
? 内容提要
本章将在一阶电路的基础上,用经典法分
析二阶电路的过渡过程,通过简单的实例,
阐明二阶动态电路的零输入响应 `零状态
响应 `全响应 `阶跃响应 和冲击响应等基本
概念,
? 二阶电路的零输入响应
? 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
? 二阶电路的冲击响应
二阶电路的零输入响应
? 假设电 源已充电，
其电压为 u0,电感中的
初始电流为 i0。 t=0时，
开关 s闭和，此电路
的放电过程即是二阶
电路的零输入响应,
+
_
U0
+
_
uc
c
S(t=0)
i + _u
R
R
+
_
ul L
－ u c+u R+u L=0
i=-C(duc/d t)
u R =- RC (duc/d t)
u L=- LC (d2u c/d t2)
→ LC (d2u c/d t2) + RC + u c=0
? 这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。求解这类方
程时，仍然先设 u c=Aept,然后再确定其中的 p和 t
dtdu
Lcp2+Rcp+1=0
P=-R/2L ± √(R/2L)2- 1/Lc
∴ u c=A1e p1t+A2ep2t
初始条件 u c(0+)=u c(0-)=U0 i(0+)=i(0-)=I0
A1+A2=U0
p1A1+p2A2=-I0/c
得,A1＝ p2U0/(p2-p1)
A2＝ p1U0/(p2-p1)
由于电路中 RLC的参数不同，特征根可能是：
（ a） 两个不等的负实根
（ b） 一对实部为负的共轭复根
（ c） 一对相等的负实根
1.R>2√L/c,非振荡放电过程
? 电容上的电压为在这种情况下，特征根是两个
不等的负实数，
uc=U0 (p2ep1t-p1ep2t) /p2-p1
电流 i=- U0 (ep1t-ep2t) /L(p2-p1)
p1p2=1/ Lc
电感电压 uL＝ - U0 (p1ep1t-p2ep2t) /(p2-p1)
下图为 uc,ul,I随时间变化的曲线
uc,ul,i
ul
t
uc
i
tm 2tm
U0
0
例：图示电路中，已知 Us＝ 10V,C＝ 1μF，
R＝ 4K?,L＝ 1H，开关 S原来闭合在触点
1处，在 t＝ 0时，开关 S由触点 1接至触点 2。
处。 求, (1)uc,uR,i,uL ; (2)imax
? R>2(l/c)1/2
? uc(0+)=U0=Us
由公式解得,p1=-268
P2=-3732
(2)最大值发生在 tm时刻
tm=ln(p2/p1) / (p1-p2) =760 μs
Imax=2.19mA
S1 2 R
uL L
C
us u
c
uR
i
+
_
+ _ +
_
2.振荡放电过程
? R< 2√L/c
特征根 p1p2是一对共轭负数令 ?＝ R/2L ?=1/ Lc –(R/2 L)2
则 p1 ＝－ ? ＋ j ?,p2 =－ ? -j ?
令 ?0＝ √ ?2＋ ?2, ?＝ arctan(?/ ?)
所以 p1 ＝－ ?0 e-j? p2 = － ?0 ej?
uc=
i=
uL=
uc,ul,i
uc
i
ul
2?
?t?2 ??- ??
u0
0
振荡放电过程中 uc,ul,i的波形
3.R=2
在的条件下,这时特征方程具有重根
微分方程式的通解为
根据初始条件可得
所以
? 从以上诸式显然可以看出不作振荡变化,
即具有非振荡的性质,其波形与图 7-2所示
相似,然而,这种过程是振荡与非振荡过程
的分界线,所以,此时的过度过程称为临界
非振荡过程,这时的电阻称为临界电阻,并
称电阻大于临界电阻的电路为过阻尼电
路,小于的为欠阻尼电路,
? 临界状态下过渡过程的计算公式,可通过
前两种非临界情况下的公式取极限导出,
7-2 二阶电路的零状态响应和
阶跃响应
? 二阶电路的初始储能为零 (即电容两端的电压和
电感中的电流都为零 ),仅由外施激励引起的响
应称为二阶电路的零状态响应,
? 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶
电路的阶跃响应,其求解方法与零状态响应的求
解方法相同,
? 二阶电路具有初始储能,又接入外施激励,则电
路的响应为全响应,它是零输入和零状态响应的
叠加,可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全
响应,
如图 uc(0-)=0,il(0-)=0,t=0
时,开关 s打开,根据 kvl
有
? 以 il为代求变量,可得
? 这是二阶线性非齐次方
程,它的解答由特解和
对应的齐次方程的通解
组成,即
? i’为特解,i”为通解
is s(t=0) iG
G
ic
c
il
+
_ul
uc
例 7-4 图 7-7所示电路中,
uc(0-)=0,il(0-)=0,G=2× 10-3s,c=1uF,L =1H,is=1A,当
t=0时把开关 s打开,试求阶跃响应 iL,uc和 ic
解,开关 s的动作使外施激励相当于单位阶跃电流，
即。为了求出电路的零状态响应，列出电路的
微分方程
特征方程为
代入数据可求得特征根为
由于是重根，为临界阻尼情况，其解答为
其中
通解为
时初始值为
代入初始条件可得
解得
所以求得的阶跃响应为
iL,ic,uc随时间变化的波形如图 7-8所示
t/ms1 2 3 4
1
0
iL /A
1 2 3 4
1
0
ic /A
t/ms
1 2 3 4
1
0
t/ms
uc/V
7-3 二阶电路的冲击响应
零状态的二阶电路在冲击函数激励
下的响应就是二 阶电路的冲击响应
图 7-9是一个零状态的 RCL串联电路，在 t=0时与冲击电
压 δ(t)接通，若以 uc为变量，根据 KVL可得电路方程
由于 δ(t)在 t≠0时为零，
而在 t=0时电路受冲
击电压激励而获得了
一定能量，在 t>0+时
放电 t>0+时有+
_
δ(t)
R L
+ _uL
+
-
uc
二阶电路
? 内容提要
本章将在一阶电路的基础上,用经典法分
析二阶电路的过渡过程,通过简单的实例,
阐明二阶动态电路的零输入响应 `零状态
响应 `全响应 `阶跃响应 和冲击响应等基本
概念,
? 二阶电路的零输入响应
? 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
? 二阶电路的冲击响应
二阶电路的零输入响应
? 假设电 源已充电，
其电压为 u0,电感中的
初始电流为 i0。 t=0时，
开关 s闭和，此电路
的放电过程即是二阶
电路的零输入响应,
+
_
U0
+
_
uc
c
S(t=0)
i + _u
R
R
+
_
ul L
－ u c+u R+u L=0
i=-C(duc/d t)
u R =- RC (duc/d t)
u L=- LC (d2u c/d t2)
→ LC (d2u c/d t2) + RC + u c=0
? 这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。求解这类方
程时，仍然先设 u c=Aept,然后再确定其中的 p和 t
dtdu
Lcp2+Rcp+1=0
P=-R/2L ± √(R/2L)2- 1/Lc
∴ u c=A1e p1t+A2ep2t
初始条件 u c(0+)=u c(0-)=U0 i(0+)=i(0-)=I0
A1+A2=U0
p1A1+p2A2=-I0/c
得,A1＝ p2U0/(p2-p1)
A2＝ p1U0/(p2-p1)
由于电路中 RLC的参数不同，特征根可能是：
（ a） 两个不等的负实根
（ b） 一对实部为负的共轭复根
（ c） 一对相等的负实根
1.R>2√L/c,非振荡放电过程
? 电容上的电压为在这种情况下，特征根是两个
不等的负实数，
uc=U0 (p2ep1t-p1ep2t) /p2-p1
电流 i=- U0 (ep1t-ep2t) /L(p2-p1)
p1p2=1/ Lc
电感电压 uL＝ - U0 (p1ep1t-p2ep2t) /(p2-p1)
下图为 uc,ul,I随时间变化的曲线
uc,ul,i
ul
t
uc
i
tm 2tm
U0
0
例：图示电路中，已知 Us＝ 10V,C＝ 1μF，
R＝ 4K?,L＝ 1H，开关 S原来闭合在触点
1处，在 t＝ 0时，开关 S由触点 1接至触点 2。
处。 求, (1)uc,uR,i,uL ; (2)imax
? R>2(l/c)1/2
? uc(0+)=U0=Us
由公式解得,p1=-268
P2=-3732
(2)最大值发生在 tm时刻
tm=ln(p2/p1) / (p1-p2) =760 μs
Imax=2.19mA
S1 2 R
uL L
C
us u
c
uR
i
+
_
+ _ +
_
2.振荡放电过程
? R< 2√L/c
特征根 p1p2是一对共轭负数令 ?＝ R/2L ?=1/ Lc –(R/2 L)2
则 p1 ＝－ ? ＋ j ?,p2 =－ ? -j ?
令 ?0＝ √ ?2＋ ?2, ?＝ arctan(?/ ?)
所以 p1 ＝－ ?0 e-j? p2 = － ?0 ej?
uc=
i=
uL=
uc,ul,i
uc
i
ul
2?
?t?2 ??- ??
u0
0
振荡放电过程中 uc,ul,i的波形
3.R=2
在的条件下,这时特征方程具有重根
微分方程式的通解为
根据初始条件可得
所以
? 从以上诸式显然可以看出不作振荡变化,
即具有非振荡的性质,其波形与图 7-2所示
相似,然而,这种过程是振荡与非振荡过程
的分界线,所以,此时的过度过程称为临界
非振荡过程,这时的电阻称为临界电阻,并
称电阻大于临界电阻的电路为过阻尼电
路,小于的为欠阻尼电路,
? 临界状态下过渡过程的计算公式,可通过
前两种非临界情况下的公式取极限导出,
7-2 二阶电路的零状态响应和
阶跃响应
? 二阶电路的初始储能为零 (即电容两端的电压和
电感中的电流都为零 ),仅由外施激励引起的响
应称为二阶电路的零状态响应,
? 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶
电路的阶跃响应,其求解方法与零状态响应的求
解方法相同,
? 二阶电路具有初始储能,又接入外施激励,则电
路的响应为全响应,它是零输入和零状态响应的
叠加,可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全
响应,
如图 uc(0-)=0,il(0-)=0,t=0
时,开关 s打开,根据 kvl
有
? 以 il为代求变量,可得
? 这是二阶线性非齐次方
程,它的解答由特解和
对应的齐次方程的通解
组成,即
? i’为特解,i”为通解
is s(t=0) iG
G
ic
c
il
+
_ul
uc
例 7-4 图 7-7所示电路中,
uc(0-)=0,il(0-)=0,G=2× 10-3s,c=1uF,L =1H,is=1A,当
t=0时把开关 s打开,试求阶跃响应 iL,uc和 ic
解,开关 s的动作使外施激励相当于单位阶跃电流，
即。为了求出电路的零状态响应，列出电路的
微分方程
特征方程为
代入数据可求得特征根为
由于是重根，为临界阻尼情况，其解答为
其中
通解为
时初始值为
代入初始条件可得
解得
所以求得的阶跃响应为
iL,ic,uc随时间变化的波形如图 7-8所示
t/ms1 2 3 4
1
0
iL /A
1 2 3 4
1
0
ic /A
t/ms
1 2 3 4
1
0
t/ms
uc/V
7-3 二阶电路的冲击响应
零状态的二阶电路在冲击函数激励
下的响应就是二 阶电路的冲击响应
图 7-9是一个零状态的 RCL串联电路，在 t=0时与冲击电
压 δ(t)接通，若以 uc为变量，根据 KVL可得电路方程
由于 δ(t)在 t≠0时为零，
而在 t=0时电路受冲
击电压激励而获得了
一定能量，在 t>0+时
放电 t>0+时有+
_
δ(t)
R L
+ _uL
+
-
uc
