第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-1 引言
几个基本概念
1,时不变线性电路 （简称线性电路）：由时不
变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成
的电路。
2,线性电阻性电路 （简称电阻电路）：构成电
路的无源元件均为线性电阻。
3,直流电路,当电路中的独立电源都是直流电
源时,这类电路简称直流电路。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-2 电路的等效变换
★ 对电路进行分析和计算时，有时可以把电路
的某一部分简化，即用一个较为简单的电路替
代原电路。如下图：
us
+
-
R
R1
R2
R3 R5R
4
i 1
2
+
-
u
(a)
Requs
+
-
+
-
u
R 1
2
i
(b)
电路分析
电路的, 等效概念,
? 上页电路图，图 （ a） 中端子 1-2以右的
电路被图 （ b） Req替代后,1-2以左部
分电路的任何电压和电流都将维持与原
电路相同。这就是电路的, 等效概念, 。
? 用等效电路的方法求解电路时，电压和
电流保持不变的部分仅限于等效电路以
外，这就是, 对外等效, 的概念。
?, 对外等效, 也就是对外部特性等效。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-3 电阻的串联和并联
图 2-2（ a）所示电路为 n个电阻的串联组合。
（串联时，每个电阻的电流为同一电流。）
+
-
Rni 1
1`
+ -
u
(a)
R1 R2
u1 + -u2 + -un
Requ
+
-
1
1`
i
(b)图 2-2
§ 2-3 电阻的串联和并联
??????????? nk knkeq RRRRRRR iu 1321 ??( 2-1 )
nkuRRiR
eq
k
kku,,3,2,1,????
( 2-2 )
应用 KVL，有,
u = u1 + u2 + u3 + …… + u n 其中, un = Rn i
可见，串联的每个电阻，其电压与电阻值成正比，
上式称为 电压分配公式,或称 分压公式 。
代入上式得：
u = (R1 + R2 + R3 + …… + R n ) i = Req i
其中：
电阻串联时，各电阻上的电压为：
§ 2-3 电阻的串联和并联
图 2-3（ a）所示电路为 n个电阻的并联组合。
（并联时，每个电阻的电压为同一电压。）
Gequ
+
-
1
1`
i
(b)图 2-3
+
-
Gn
i 1
1`
u
(a)
G1 G2
i1 i2 in
§ 2-3 电阻的串联和并联
应用 KCL，有,
i = i1 + i2 + i3 + …… + i n 其中, in = Gn u
( 2-3 )
代入上式得：
i = (G1 + G2 + G3 + …… + Gn ) u= Geq u
其中, ?
?
????????
n
k
knkeq GGGGGu
iG
1
21 ??( 2-4 )
? ?nkiGGuGi
eq
k
kk,,2,1 ????
电阻并联时，各电阻上的电流为：
可见，并联的每个电阻，其电流与电导值成正比，上
式称为 电流分配公式,或称 分流公式 。
§ 2-3 电阻的串联和并联
图 2-6所示电路为混联电路。（当电阻的连接中
既有串联又有并联时，称为电阻的串、并联或
混联）
图 2-3
+
-
i 1
1`
u R1
R2 R4
R3 R5
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-4 电阻的 Y形连接 △ 形连接
的等效变换
图 2-7所示是一种具有桥形结构的电路，其中的
电阻既非串联又非并联。
? R1,R3,R5构成了一个 Y形连接
（星形连接），其中各个电阻都
有一端接在一个公共节点上；
? R1,R2,R5构成了一个△形连接
（三角形连接），其中各个电阻
分别接在 3个端子的每两个之间；
图 2-7
RS
us
+ -
R1
R2
R3
R4
R5
§ 2-4 电阻的 Y形连接和
△ 形连接的等效变换
公式：
? Y-△ 变换：
i 2
R1
R2R3
i 1
i 3
1
23
(a)
图 2 - 8
R31 R12
R23
i 31
i 12
i 23
i `1
i `2i `3
1
23
(b)
3
133221
12 R
RRRRRRR ???
( 2-7 )
1
133221
23 R
RRRRRRR ???
2
133221
31 R
RRRRRRR ???
§ 2-4 电阻的 Y形连接和
△ 形连接的等效变换
公式：
? △ -Y变换：
i 2
R1
R2R3
i 1
i 3
1
23
(a)
图 2 - 8
R31 R12
R23
i 31
i 12
i 23
i `1
i `2i `3
1
23
(b)
312312
3112
1 RRR
RRR
???
( 2-8 )
312312
2331
3 RRR
RRR
???
312312
1223
2 RRR
RRR
???
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
2
（ a）
+ -us1 + -us2 + -us2
1
（ b）
+ -us
1 2
图 2-11
?
?
n
k
sku
1
?图 2-11(a)为 n个电压源的串联，可以用一个电压源等效替
代如图（ b），这个等效电压源的电压为：
us = us1 + us2 + … + usn =
?如果 usk 的参考方向与图（ b）中 us的参考方向一致时，式
中 usk的前面去, +”号，不一致时取, -”号。
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
2
（ a）
1
（ b）图 2-12
i s1 i s2 i sn i s
2
1
?图 2-12(a)为 n个电流源的并联，可以用一个电流源等
效替代如图（ b），这个等效电流源的电流为：
i s = is1 + is2 + … + isn =
?如果 isk 的参考方向与图（ b）中的 i s参考方向一致时，
式中 isk的前面去, +”号，不一致时取, -”号。
?
?
n
k
ski
1
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
注 意
? 只有电压相等极性一致的电压源才允许并联，否则违
背了 KVL，其等效电路为其中任一电压源，但是这个组
合向外部提供的电流在各个电压源之间是如何分配的
无法确定。
? 只有电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则
违背了 KCL，其等效电路为其中任一电流源，但是这个
组合向外部提供的总电压在各个电流源之间是如何分
配的无法确定。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-6 实际电源的两种模型及等效变换
图 2-13（ a）所示为一实际直流电源，例如一个电池；图
（ b）是它的 伏安特性,可见，电压 u随电流 I增大而减
小，而且不成线性关系。不过在一段范围内电压电流
的关系为一条直线，如果把这一直线延长如图（ c）可
以看出,i=0时的电压为开路电压； u=0时的电流为短
路电流。据此特性，可以用电压源和电阻的串联组合
或电流源与电导的并联组合作为实际电源的电路模型。
实际
电源
i
u
-
+
( a )
u
i
U0
O
( b )
u
i
U0c
O
( c )
I sc
短路电流
开路电压
图 2-13
§ 2-6 实际电源的两种模型及等效变换
图 2-14(a)所示为电压源和电阻的串联电路，在端子 1-1`
处输出的电压电流关系为,u = us – Ri
图 2-14(C)所示为电流源和电阻的并联电路，在端子 1-1`
处输出的电压电流关系为,i = is - Gu
图 2-14
+
-
R
+
-
us
1
1`
( a )
u
i
Us
O
( b )
Us
R
Ri
+
-
G
is
1
1`
( c )
u
i u
i
Is
O
( d )
Gu
Is1G
§ 2-6 实际电源的两种模型及等效变换
? 如果令 G=1 / R,is=Gus, 则 u = us – Ri,i = is – Gu
两方程将完全相同，也就是在端子 1-1`处的 u和 i 的关
系将完全相同,式子 G=1 / R,is=Gus 就是这两种组合彼
此对外等效必须满足的条件（注意 us 和 is 的参考方向，
is 的参考方向由 us 的负极指向正极）,
? 这种等效变换仅保持端子 1-1`外部电路的电压、电流
和功率相同（即只是对外部等效），对内部并无等效
可言。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-7 输入电阻
? 图 2-17(a)所示是一个一端口的网络（或称为二端网
络） 。
? 如果一个一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并
联和 Y - △ 变换等方法，可以求得等效电阻。
1
1`
i
-
+
u
(a)
+
-
us u
+
-
i1
1`
(b)
i s
1
1`
u
+
-
RinRin (c)
图 2-17
§ 2-7 输入电阻
u
i
def
?如果一端口内部除了电阻以外还有受控源，但不含任何
独立电源，可以证明（见 § 4-3 ），不论内部如何复杂，
端口电压与端口电流成正比 [见图 2-17（ a） ]，因此，定
义此一端口的输入电阻为 Rin ===
?端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，但两者的含义
有区别。求等效电阻的方法一般为电压、电流法，即在端
口加一电压 u,然后求出端口电流 i ;或是加一电流 i,求电
压 u 。 测量一个电阻阻值的时候就是用的这种方法。
§ 2-7 输入电阻
? 图 2-17（ b） 中的输入电阻可通过电阻的串、并
联化简求得；图（ c）为桥形电路，应用 Y - △
变换才能简化，也可用电压、电流法求此两图的
输入电阻，如 图 2-17（ b）（ c） 所示。
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-1 引言
几个基本概念
1,时不变线性电路 （简称线性电路）：由时不
变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成
的电路。
2,线性电阻性电路 （简称电阻电路）：构成电
路的无源元件均为线性电阻。
3,直流电路,当电路中的独立电源都是直流电
源时,这类电路简称直流电路。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-2 电路的等效变换
★ 对电路进行分析和计算时，有时可以把电路
的某一部分简化，即用一个较为简单的电路替
代原电路。如下图：
us
+
-
R
R1
R2
R3 R5R
4
i 1
2
+
-
u
(a)
Requs
+
-
+
-
u
R 1
2
i
(b)
电路分析
电路的, 等效概念,
? 上页电路图，图 （ a） 中端子 1-2以右的
电路被图 （ b） Req替代后,1-2以左部
分电路的任何电压和电流都将维持与原
电路相同。这就是电路的, 等效概念, 。
? 用等效电路的方法求解电路时，电压和
电流保持不变的部分仅限于等效电路以
外，这就是, 对外等效, 的概念。
?, 对外等效, 也就是对外部特性等效。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-3 电阻的串联和并联
图 2-2（ a）所示电路为 n个电阻的串联组合。
（串联时，每个电阻的电流为同一电流。）
+
-
Rni 1
1`
+ -
u
(a)
R1 R2
u1 + -u2 + -un
Requ
+
-
1
1`
i
(b)图 2-2
§ 2-3 电阻的串联和并联
??????????? nk knkeq RRRRRRR iu 1321 ??( 2-1 )
nkuRRiR
eq
k
kku,,3,2,1,????
( 2-2 )
应用 KVL，有,
u = u1 + u2 + u3 + …… + u n 其中, un = Rn i
可见，串联的每个电阻，其电压与电阻值成正比，
上式称为 电压分配公式,或称 分压公式 。
代入上式得：
u = (R1 + R2 + R3 + …… + R n ) i = Req i
其中：
电阻串联时，各电阻上的电压为：
§ 2-3 电阻的串联和并联
图 2-3（ a）所示电路为 n个电阻的并联组合。
（并联时，每个电阻的电压为同一电压。）
Gequ
+
-
1
1`
i
(b)图 2-3
+
-
Gn
i 1
1`
u
(a)
G1 G2
i1 i2 in
§ 2-3 电阻的串联和并联
应用 KCL，有,
i = i1 + i2 + i3 + …… + i n 其中, in = Gn u
( 2-3 )
代入上式得：
i = (G1 + G2 + G3 + …… + Gn ) u= Geq u
其中, ?
?
????????
n
k
knkeq GGGGGu
iG
1
21 ??( 2-4 )
? ?nkiGGuGi
eq
k
kk,,2,1 ????
电阻并联时，各电阻上的电流为：
可见，并联的每个电阻，其电流与电导值成正比，上
式称为 电流分配公式,或称 分流公式 。
§ 2-3 电阻的串联和并联
图 2-6所示电路为混联电路。（当电阻的连接中
既有串联又有并联时，称为电阻的串、并联或
混联）
图 2-3
+
-
i 1
1`
u R1
R2 R4
R3 R5
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-4 电阻的 Y形连接 △ 形连接
的等效变换
图 2-7所示是一种具有桥形结构的电路，其中的
电阻既非串联又非并联。
? R1,R3,R5构成了一个 Y形连接
（星形连接），其中各个电阻都
有一端接在一个公共节点上；
? R1,R2,R5构成了一个△形连接
（三角形连接），其中各个电阻
分别接在 3个端子的每两个之间；
图 2-7
RS
us
+ -
R1
R2
R3
R4
R5
§ 2-4 电阻的 Y形连接和
△ 形连接的等效变换
公式：
? Y-△ 变换：
i 2
R1
R2R3
i 1
i 3
1
23
(a)
图 2 - 8
R31 R12
R23
i 31
i 12
i 23
i `1
i `2i `3
1
23
(b)
3
133221
12 R
RRRRRRR ???
( 2-7 )
1
133221
23 R
RRRRRRR ???
2
133221
31 R
RRRRRRR ???
§ 2-4 电阻的 Y形连接和
△ 形连接的等效变换
公式：
? △ -Y变换：
i 2
R1
R2R3
i 1
i 3
1
23
(a)
图 2 - 8
R31 R12
R23
i 31
i 12
i 23
i `1
i `2i `3
1
23
(b)
312312
3112
1 RRR
RRR
???
( 2-8 )
312312
2331
3 RRR
RRR
???
312312
1223
2 RRR
RRR
???
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
2
（ a）
+ -us1 + -us2 + -us2
1
（ b）
+ -us
1 2
图 2-11
?
?
n
k
sku
1
?图 2-11(a)为 n个电压源的串联，可以用一个电压源等效替
代如图（ b），这个等效电压源的电压为：
us = us1 + us2 + … + usn =
?如果 usk 的参考方向与图（ b）中 us的参考方向一致时，式
中 usk的前面去, +”号，不一致时取, -”号。
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
2
（ a）
1
（ b）图 2-12
i s1 i s2 i sn i s
2
1
?图 2-12(a)为 n个电流源的并联，可以用一个电流源等
效替代如图（ b），这个等效电流源的电流为：
i s = is1 + is2 + … + isn =
?如果 isk 的参考方向与图（ b）中的 i s参考方向一致时，
式中 isk的前面去, +”号，不一致时取, -”号。
?
?
n
k
ski
1
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
注 意
? 只有电压相等极性一致的电压源才允许并联，否则违
背了 KVL，其等效电路为其中任一电压源，但是这个组
合向外部提供的电流在各个电压源之间是如何分配的
无法确定。
? 只有电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则
违背了 KCL，其等效电路为其中任一电流源，但是这个
组合向外部提供的总电压在各个电流源之间是如何分
配的无法确定。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-6 实际电源的两种模型及等效变换
图 2-13（ a）所示为一实际直流电源，例如一个电池；图
（ b）是它的 伏安特性,可见，电压 u随电流 I增大而减
小，而且不成线性关系。不过在一段范围内电压电流
的关系为一条直线，如果把这一直线延长如图（ c）可
以看出,i=0时的电压为开路电压； u=0时的电流为短
路电流。据此特性，可以用电压源和电阻的串联组合
或电流源与电导的并联组合作为实际电源的电路模型。
实际
电源
i
u
-
+
( a )
u
i
U0
O
( b )
u
i
U0c
O
( c )
I sc
短路电流
开路电压
图 2-13
§ 2-6 实际电源的两种模型及等效变换
图 2-14(a)所示为电压源和电阻的串联电路，在端子 1-1`
处输出的电压电流关系为,u = us – Ri
图 2-14(C)所示为电流源和电阻的并联电路，在端子 1-1`
处输出的电压电流关系为,i = is - Gu
图 2-14
+
-
R
+
-
us
1
1`
( a )
u
i
Us
O
( b )
Us
R
Ri
+
-
G
is
1
1`
( c )
u
i u
i
Is
O
( d )
Gu
Is1G
§ 2-6 实际电源的两种模型及等效变换
? 如果令 G=1 / R,is=Gus, 则 u = us – Ri,i = is – Gu
两方程将完全相同，也就是在端子 1-1`处的 u和 i 的关
系将完全相同,式子 G=1 / R,is=Gus 就是这两种组合彼
此对外等效必须满足的条件（注意 us 和 is 的参考方向，
is 的参考方向由 us 的负极指向正极）,
? 这种等效变换仅保持端子 1-1`外部电路的电压、电流
和功率相同（即只是对外部等效），对内部并无等效
可言。
第二章
电阻电路的等效变换
? § 2-1 引言
? § 2-2 电路的等效变换
? § 2-3 电阻的串联和并联
? § 2-4 电阻的 Y形连接和△形连接的等效变换
? § 2-5 电压源、电流源的串联和并联
? § 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
? § 2-7 输入电阻
§ 2-7 输入电阻
? 图 2-17(a)所示是一个一端口的网络（或称为二端网
络） 。
? 如果一个一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并
联和 Y - △ 变换等方法，可以求得等效电阻。
1
1`
i
-
+
u
(a)
+
-
us u
+
-
i1
1`
(b)
i s
1
1`
u
+
-
RinRin (c)
图 2-17
§ 2-7 输入电阻
u
i
def
?如果一端口内部除了电阻以外还有受控源，但不含任何
独立电源，可以证明（见 § 4-3 ），不论内部如何复杂，
端口电压与端口电流成正比 [见图 2-17（ a） ]，因此，定
义此一端口的输入电阻为 Rin ===
?端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，但两者的含义
有区别。求等效电阻的方法一般为电压、电流法，即在端
口加一电压 u,然后求出端口电流 i ;或是加一电流 i,求电
压 u 。 测量一个电阻阻值的时候就是用的这种方法。
§ 2-7 输入电阻
? 图 2-17（ b） 中的输入电阻可通过电阻的串、并
联化简求得；图（ c）为桥形电路，应用 Y - △
变换才能简化，也可用电压、电流法求此两图的
输入电阻，如 图 2-17（ b）（ c） 所示。
