第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 动态元件（储能元件）,电容元件和电感元件的
电压和电流的约束关系是通过导数或积分表达的。
? 对于含有一个电容和一个电阻，或一个电感和一
个电阻的电路，当电路的无源元件都是线性和时
不变时，电路将是一阶线性常微分方程，相应的
电路称为 一阶电阻电容电路（简称 RC电路） 或 电
阻电感电路（简称 RL电路） 。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 如果电路仅含有一个动态元件，则可以把该动态
元件以外的电阻用戴维宁定理或诺顿定理置换为
电压源和电阻的串联组合，或电流源和电阻的并
联组合，从而把它变换为 RC电路或 RL电路。这种
电路称为 一阶动态电路 。
? 动态电路结构或参数变化引起的电路变化通称为
,换路,,并认为换路是在 t=0时刻进行的。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 分析动态电路的过渡过程的方法之一是：根据
KCL,KVL和支路的 VCR建立描述电路的方程，建
立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，
然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量
（电压或电流）。此方法称为 经典法 。
? 用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初
始条件确定解答中的积分常数。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 设描述电路动态过程的微分方程为 n阶，所谓
初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）
及其（ n-1）阶导数在 t=0＋时的值，也称 初始
值 。
? 电容电压 uc和电感电流 i L的初始值，即 uc(0＋ )
和 i L(0＋ )称为 独立的初始条件,其余的称为
非独立的初始条件 。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 对于线性电容，在任意时刻 t时，它的电荷、
电压与电流的关系为：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 1
0
0
0
0
??
??
di
C
tutu
ditqtq
t
t
ccc
t
t
c
?
?
??
??
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1b-6 100
1a-6 00
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
dti
C
uu
dtiqq
CCC
C
? 式中 q,uc和 i c分别为电荷、电压和电流。令
t0=0-,t=0+ 则得：
第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 零输入响应 就是动态电路在没有外施激励时，
由电路中的动态元件初始储能引起的响应。
? 首先讨论 RC电路的零输入响应。在图 6－ 2所示
RC电路中，开关 S闭合前，电容 C已充电，其电
压 uc ＝ U0,如图所示。
S (t=0)
i
R
+
_u R
＋
_u cU0
图 6－ 2 RC电路的零输入响应
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 开关闭合后，电容存储的能量将通过电阻以热
能形式释放出来。
? 现把开关动作时刻取为计时起点（ t＝ 0）。开
关闭合后，即 t≥0 ＋ 时，根据 KVL可得
0?? cR uu?
而,将 代入上述方程，
有 iR
Ru ?
dt
duCi c??
0?? cc udtduRC
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 这是一阶齐次微分方程，初始条件
? ? ? ? 000 Uuu cc ?? ???
令此方程的通解为,代入上式后有ptc Aeu ?
? ? 01 ?? ptAeR C p
? 相应的特征方程为 01 ??R C p
? 特征根为
RCp
1??
? 根据,以此代入
可以求得积分常数
? ? ? ? 000 Uuu cc ?? ?? ptc Aeu ?
? ? 00 UuA c ?? ?
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 这样，求得满足初始值的微分方程的解为
t
RC
t
RC
t
RCc
e
R
U
eU
RC
C
eU
dt
d
C
dt
du
Ci
1
0
1
0
1
0
1
??
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
? 电阻上的电压 tRCcR eUuu 10 ???
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 当电阻的单位为 Ω,电容的单位为 F时，乘积
RC的单位为 s，它称为 RC电路的时间常数，用
τ 表示：
?
t
c eUu
??
0
?
t
eRUi ?? 0
? τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，
它是反映过渡过程特性的一个重要的量。
第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? 零状态响应 就是电路在零初始状态下（动态元
件初始储能为零）由外施激励引起的响应。
? 图 6－ 9所示的 RC串联电路
_
图 6－ 9 RC电路的零状态响应
S (t=0)
i
R
_u R
＋
Us C
＋ ＋ ＋
Cu
－
开关 s闭合前电路处于
零初始状态，即
uc（ 0-） =0.在 t＝ 0时
刻，开关 s闭合，电路
接入直流电压源 Us。
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? 图 6－ 9所示的 RC串联电路，开关 s闭合前电路
处于零初始状态，即 uc（ 0-） =0.在 t＝ 0时刻，
开关 s闭合，电路接入直流电压源 Us。根据
KVL,有
sCR Uuu ???
把, 代入，得电路的微分
方程
Riu R ?
dt
duCi C?
sC
C Uu
dt
duRC ??
? 此方程就是 一阶线性非齐次方程 。
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? 方程的解由两个分量组成，即非齐次方程的特
解 uc’ 和对应的齐次方程的通解 uc’’，即
CCC uuu ??????
经计算得
)1( ??
t
S
t
SSC eUeUUu
?? ????
?
t
SC e
R
U
dt
duCi ???
? 和 的波形如图 6－ 10。Cu i
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
_
图 6－ 9 RC电路的零状态响应
S (t=0)
i
R
_u R
＋
Us C
＋ ＋ ＋
Cu
－
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 动态元件（储能元件）,电容元件和电感元件的
电压和电流的约束关系是通过导数或积分表达的。
? 对于含有一个电容和一个电阻，或一个电感和一
个电阻的电路，当电路的无源元件都是线性和时
不变时，电路将是一阶线性常微分方程，相应的
电路称为 一阶电阻电容电路（简称 RC电路） 或 电
阻电感电路（简称 RL电路） 。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 如果电路仅含有一个动态元件，则可以把该动态
元件以外的电阻用戴维宁定理或诺顿定理置换为
电压源和电阻的串联组合，或电流源和电阻的并
联组合，从而把它变换为 RC电路或 RL电路。这种
电路称为 一阶动态电路 。
? 动态电路结构或参数变化引起的电路变化通称为
,换路,,并认为换路是在 t=0时刻进行的。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 分析动态电路的过渡过程的方法之一是：根据
KCL,KVL和支路的 VCR建立描述电路的方程，建
立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，
然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量
（电压或电流）。此方法称为 经典法 。
? 用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初
始条件确定解答中的积分常数。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 设描述电路动态过程的微分方程为 n阶，所谓
初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）
及其（ n-1）阶导数在 t=0＋时的值，也称 初始
值 。
? 电容电压 uc和电感电流 i L的初始值，即 uc(0＋ )
和 i L(0＋ )称为 独立的初始条件,其余的称为
非独立的初始条件 。
§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? 对于线性电容，在任意时刻 t时，它的电荷、
电压与电流的关系为：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 1
0
0
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§ 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? ? ? ? ? ?
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C
? 式中 q,uc和 i c分别为电荷、电压和电流。令
t0=0-,t=0+ 则得：
第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 零输入响应 就是动态电路在没有外施激励时，
由电路中的动态元件初始储能引起的响应。
? 首先讨论 RC电路的零输入响应。在图 6－ 2所示
RC电路中，开关 S闭合前，电容 C已充电，其电
压 uc ＝ U0,如图所示。
S (t=0)
i
R
+
_u R
＋
_u cU0
图 6－ 2 RC电路的零输入响应
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 开关闭合后，电容存储的能量将通过电阻以热
能形式释放出来。
? 现把开关动作时刻取为计时起点（ t＝ 0）。开
关闭合后，即 t≥0 ＋ 时，根据 KVL可得
0?? cR uu?
而,将 代入上述方程，
有 iR
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0?? cc udtduRC
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 这是一阶齐次微分方程，初始条件
? ? ? ? 000 Uuu cc ?? ???
令此方程的通解为,代入上式后有ptc Aeu ?
? ? 01 ?? ptAeR C p
? 相应的特征方程为 01 ??R C p
? 特征根为
RCp
1??
? 根据,以此代入
可以求得积分常数
? ? ? ? 000 Uuu cc ?? ?? ptc Aeu ?
? ? 00 UuA c ?? ?
§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 这样，求得满足初始值的微分方程的解为
t
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§ 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? 当电阻的单位为 Ω,电容的单位为 F时，乘积
RC的单位为 s，它称为 RC电路的时间常数，用
τ 表示：
?
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? τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，
它是反映过渡过程特性的一个重要的量。
第六章 一阶电路
? § 6－ 1 动态电路的方程及其初始条件
? § 6－ 2 一阶电路的零输入响应
? § 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? § 6－ 4 一阶电路的全响应
? § 6－ 5 一阶电路的阶跃响应
? § 6－ 6 一阶电路的冲激响应
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? 零状态响应 就是电路在零初始状态下（动态元
件初始储能为零）由外施激励引起的响应。
? 图 6－ 9所示的 RC串联电路
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图 6－ 9 RC电路的零状态响应
S (t=0)
i
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开关 s闭合前电路处于
零初始状态，即
uc（ 0-） =0.在 t＝ 0时
刻，开关 s闭合，电路
接入直流电压源 Us。
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? 图 6－ 9所示的 RC串联电路，开关 s闭合前电路
处于零初始状态，即 uc（ 0-） =0.在 t＝ 0时刻，
开关 s闭合，电路接入直流电压源 Us。根据
KVL,有
sCR Uuu ???
把, 代入，得电路的微分
方程
Riu R ?
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duCi C?
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? 此方程就是 一阶线性非齐次方程 。
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
? 方程的解由两个分量组成，即非齐次方程的特
解 uc’ 和对应的齐次方程的通解 uc’’，即
CCC uuu ??????
经计算得
)1( ??
t
S
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? 和 的波形如图 6－ 10。Cu i
§ 6－ 3 一阶电路的零状态响应
_
图 6－ 9 RC电路的零状态响应
S (t=0)
i
R
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