第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –1 非正弦周期信号
在一个线性电路中，有一个正弦电源作用或多个同
频电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流
都是同频的正弦量。
但在生产实践和科学实验中，通常还会遇到按非正
弦规律变化的电源和信号。
图 12-1所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子。
§ 12 –1 非正弦周期信号
图（ a） 脉冲波形 图（ b） 方波电压
图 12－ 1 非正弦周期电流、电压波形
§ 12 –1 非正弦周期信号
图（ c） 锯齿波 图（ d） 磁化电流
图 12－ 1 非正弦周期电流、电压波形
§ 12 –1 非正弦周期信号
图（ e） 半波整流波形
图 12－ 1 非正弦周期电流、电压波形
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
周期电流、电压、信号等都可以用一个周期
函数表示，即：
)()( kTtftf ??
式中,T为周期函数 f（ t） 的周期。
k＝ 0,1,2,…
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能
展开成一个收敛的傅立叶级数，即 ? ?
? ?
? ?
)s i n ()c o s (
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)s i n ()c o s ()(
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1
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（ 12－ 1）
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
式（ 12－ 1）还可以合并成另外一种形式
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)2c o s ()c o s ()(
1
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k
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（ 12－ 2）
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
不难看出上述两种形式系数之间有如下关系
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c os
22
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k
k
k
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kkmk
kkkm
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§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
傅立叶级数是一个无穷三角级数。
式（ 12－ 2）的第一项 A0称为周期函数 f(t)的恒定
分量 (或直流分量 )； 第二项 A1mcos(w1t+ψ 1 )称
为一次谐波（或基波分量 ）,其周期或频率与原
周期函数 f(t)相同，其他各项通称为高次谐波，即
2次,3次,4次,… 谐波。
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
这种将一个周期函数展开或分解为一系列谐波
之和的傅立叶级数称为 谐波分析 。
式（ 12－ 2）中的系数，可按下列公式计算。
? ? ? ???
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2
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T
T
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§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
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上述计算公式中
k=1,2,3,…
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0 1111
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(12-3)
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
由上述讨论可知，一个周期函数可以展开成傅立
叶级数，它是如式（ 12－ 1）和式（ 12－ 2）的三
角级数形式。
为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后，包
含哪些频率分量以及各分量所占的, 比重,,用
长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率
的高低顺序把它们依次排列起来，就得到图 12－ 2
所示的图形。这种图形称为 f(t)的 频谱（图） 。
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为 幅
度频谱。
如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列就可
以得到 相位频谱 。
由于各谐波的角频率是 w1的整数倍，所以这种频谱
是离散的，有时又称为 线频谱 。
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
kmA
1?k1
? 13?12? 14?o
图 12－ 2 幅度频率
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
前已指出，任一周期电流 i的 有效值 I已经定义
??
T
dti
T
I
0
21
?当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的
积分求有效值。这里主要是寻找有效值和各次谐
波有效值之间的关系。
假设一非正弦周期电流 i可以分解为傅立叶级数
?
?
?
???
1
10 )c o s (
k
kkm tkIIi ??
将 i代入有效值公式，则得此电流的有效值为
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k
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T
I
0
2
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§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
上式中的 i展开式平方后将含有下列各列：
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00
2
0
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T
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k
T
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§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
这样可以求得 i的 有效值 为
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2
3
2
2
2
1
2
0
k
kIIIIIII ?
即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方
与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论
可以推广用于其他非正弦周期量。
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
在实践中，还用到 平均值 的概念，以电流 i为例，
其定义由下式表示。
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
dti
T
I
T
av ?? 0
1
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的
平均值。
按上式可求出正弦电流的平均值为
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
?? ?? 400 t ) d tc o s (4 t)c o s ( 1
T
mT
mav T
IdtI
T
I ??
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 (见图
12－ 9),这里因为取电流的绝对值相当于把负半
周的值变为对应的正值。
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T
I
m
T
m 898.0637.0t)(s i n4 4
0 ??? ??
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
图 12－ 9 正弦电流的平均值
现在讨论非正弦周期电流电路的功率问题。
任一端口的瞬时功率（吸收）为
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
式中,u,i 取关联参考方向。它的平均功率（有
功功率）仍定义为
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T
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k
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§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
?不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零
（即不产生平均功率）；同频的正弦电压、电流
乘积的上述积分不为零。这样不难证明
?? ?????? kkk IUIUIUIUP ??? c o sc o sc o s 22211100
?,2,1,,
2
,
2
????? kIIUU ikukkmkkmk ???
即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波
平均功率的代数和。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
在§ 12 –4中以指出非正弦周期电流电路的计算原则，
具体步骤如下：
1,把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数，
高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高
低而定。
2,分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分
量单独作用时的响应。对恒定分量（ w=0）,求解时
把电容看作开路，把电感看作短路。对各次谐波分
量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗、与频
率的关系，并把计算结果转换为时域形式。
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
3,应用叠加定理，把步骤 2计算出的结果进行叠加，从
而求得所需响应。注意，把表示不同频率正弦电流
相量或电压相量直接相加是没有意义的。
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –1 非正弦周期信号
在一个线性电路中，有一个正弦电源作用或多个同
频电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流
都是同频的正弦量。
但在生产实践和科学实验中，通常还会遇到按非正
弦规律变化的电源和信号。
图 12-1所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子。
§ 12 –1 非正弦周期信号
图（ a） 脉冲波形 图（ b） 方波电压
图 12－ 1 非正弦周期电流、电压波形
§ 12 –1 非正弦周期信号
图（ c） 锯齿波 图（ d） 磁化电流
图 12－ 1 非正弦周期电流、电压波形
§ 12 –1 非正弦周期信号
图（ e） 半波整流波形
图 12－ 1 非正弦周期电流、电压波形
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
周期电流、电压、信号等都可以用一个周期
函数表示，即：
)()( kTtftf ??
式中,T为周期函数 f（ t） 的周期。
k＝ 0,1,2,…
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能
展开成一个收敛的傅立叶级数，即 ? ?
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§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
式（ 12－ 1）还可以合并成另外一种形式
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（ 12－ 2）
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
不难看出上述两种形式系数之间有如下关系
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§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
傅立叶级数是一个无穷三角级数。
式（ 12－ 2）的第一项 A0称为周期函数 f(t)的恒定
分量 (或直流分量 )； 第二项 A1mcos(w1t+ψ 1 )称
为一次谐波（或基波分量 ）,其周期或频率与原
周期函数 f(t)相同，其他各项通称为高次谐波，即
2次,3次,4次,… 谐波。
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
这种将一个周期函数展开或分解为一系列谐波
之和的傅立叶级数称为 谐波分析 。
式（ 12－ 2）中的系数，可按下列公式计算。
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§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
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(12-3)
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
由上述讨论可知，一个周期函数可以展开成傅立
叶级数，它是如式（ 12－ 1）和式（ 12－ 2）的三
角级数形式。
为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后，包
含哪些频率分量以及各分量所占的, 比重,,用
长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率
的高低顺序把它们依次排列起来，就得到图 12－ 2
所示的图形。这种图形称为 f(t)的 频谱（图） 。
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为 幅
度频谱。
如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列就可
以得到 相位频谱 。
由于各谐波的角频率是 w1的整数倍，所以这种频谱
是离散的，有时又称为 线频谱 。
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
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图 12－ 2 幅度频率
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
前已指出，任一周期电流 i的 有效值 I已经定义
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?当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的
积分求有效值。这里主要是寻找有效值和各次谐
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即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方
与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论
可以推广用于其他非正弦周期量。
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
在实践中，还用到 平均值 的概念，以电流 i为例，
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§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
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即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的
平均值。
按上式可求出正弦电流的平均值为
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
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它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 (见图
12－ 9),这里因为取电流的绝对值相当于把负半
周的值变为对应的正值。
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图 12－ 9 正弦电流的平均值
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任一端口的瞬时功率（吸收）为
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
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功功率）仍定义为
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§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
?不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零
（即不产生平均功率）；同频的正弦电压、电流
乘积的上述积分不为零。这样不难证明
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即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波
平均功率的代数和。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的
频谱
§ 12 –1 非正弦周期信号
§ 12 –2 周期函数分解为傅利叶级数
§ 12 –3 有效值、平均值和平均功率
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
在§ 12 –4中以指出非正弦周期电流电路的计算原则，
具体步骤如下：
1,把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数，
高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高
低而定。
2,分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分
量单独作用时的响应。对恒定分量（ w=0）,求解时
把电容看作开路，把电感看作短路。对各次谐波分
量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗、与频
率的关系，并把计算结果转换为时域形式。
§ 12 –4 非正弦周期电流电路的计算
3,应用叠加定理，把步骤 2计算出的结果进行叠加，从
而求得所需响应。注意，把表示不同频率正弦电流
相量或电压相量直接相加是没有意义的。
