第 11 章 线 性 系统的状态变量分析 §1 1.1 引 言 前面：输入输出 法 本章： 多输入多 输出和内部状态 → 状态变量法： 数学方程矩阵形 式，规范、简洁 ， 且可以推广到非 线性、时变系统 。 重点： 状态/ 输出方程的建立 东南大学移动通信国家重点实验室 一、 状态与状态变量 1． 状态： 储 能状态。 2． 状态变 量 ：一组数量最少 的代表系统状态的 独立变 量， )( 1 tx 、 )( 2 tx 、…… )(tx n ， 或用 状态矢量 [] T n txtxtxtX )()(),()( 21 "= 。 初始状态： )( 0 tX K ， 状态空 间 ? 维数 = 独立储 能元件个数 = 系统阶数。 东南大学移动通信国家重点实验室 §11.2 系统的状 态变量描述法 二、 状态变量分析法 及其步骤 1． 把状态 变量作为求解变量 ，用状态变量描述 、 分析系 统的方法。 2． 两 大 步： （1 ） 选状态 变量，列写 状态方 程 和 输出方程 。 状态方 程 ： )()()( ' teBtXAtX K KK += （连 续系统） or )()()1( keBkXAkX K KK +=+ （离 散系统） 东南大学移动通信国家重点实验室 输出方 程 ： )()()( teDtXCtY K KK += （连 续 系 统） or )()()( keDkXCkY K KK += （离 散系统） )( 0 tX 是定解条件 （注意 ：若已知电路给出 了初始储能，在建 立 状态方 程 时不用考虑它， 初态只是用来定解 ） （ 2） 求解 状态变量 )(tX K ， 得 )(tY K 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 状 态 变量 的 选 取 z 对连续 系 统（电网络）选 全 部的 独立的 电 感电流和电容电 压 。 z 而对 I/O方 程， 系 统 函 数 ? 框图 ? 选 所有积分器，延 时 器的输出 。 东南大学移动通信国家重点实验室 §11.3 由输入- 输出方程求状态 方程 框图 ： 1． 直接型 ：规范、 相变 量 法 ； 2． 并联型 ： 对角线变量法 ； 3． 其它 ：没有一般性规律 。 东南大学移动通信国家重点实验室 一、 简单系 统的状态方程 例1 ： 4 2 3 1 1 1 12198 104 )( 23 + ? + + + = +++ + = ssssss s sH 列写状 态 方程、输出方程 。 解： （一）直接型 框图—— 相变量法 1．框图： 2． 选状态变量： 321 ,, xxx 如图。 东南大学移动通信国家重点实验室 3．列方程 ： ? ? ? ? ? ???= ′ = ′ = ′ 3213 32 21 81912 xxxex xx xx 21 410 xxy += 4．写成标 准形式： e x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ 1 0 0 81912 100 010 3 2 1 3 2 1 []e x x x ty ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 00401)( 3 2 1 东南大学移动通信国家重点实验室 4． 规律 ： （可推广到 m < n 的一般情况） [A]：最后一行：特征多项 式系数 倒排且取负 值 ， 对角线 右上行全为 1，其余 为 0 [B]：最后一个元素为 1，其 余 为 0 [C]：前（ m+1）个元素是 分子多项式系数倒 排，其余为 0 [D]：=0 东南大学移动通信国家重点实验室 （ 二 ） 并联型 框图 ——对 角 线 变 量法 1． 框图 ： 2．选 状态 变量： 321 ,, xxx 3．列 方程 ： ? ? ? ? ? ?= ′ ?= ′ ?= ′ 33 22 11 4 3 xex xex xex 321 2xxxy ?+= 东南大学移动通信国家重点实验室 4． 写 成 标准 形式 ： e x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ 1 1 1 400 030 001 3 2 1 3 2 1 []e x x x ty ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 0211)( 3 2 1 东南大学移动通信国家重点实验室 5． 规 律 ： （可 推广到 m < n 的 一般 情况 且 H(s)极 点均 为单根） [A]：对角 线矩 阵 ，各 元素 = 极 点 ，其 余为 0 [B]：全为1 [C]： 各 极点 对应 的 留 数 [D]：=0 东南大学移动通信国家重点实验室 二、一 般 连续系统的状态 方 程与输出方程 对 n 阶系统 )()( 01 1 1 01 1 1 nm asasas bsbsbsb sH n n n m m m m ≤ ++++ ++++ = ? ? ? ? " " 设 m=n 东南大学移动通信国家重点实验室 1． 相变 量法 21 xx = ′ 32 xx = ′ …… ∑ = ? ?= ′ n i iin xaex 1 1 ebxabbxbxbty n n i iininn n i ii +?= ′ += ∑∑ = ?? = ? 1 11 1 1 )()( 东南大学移动通信国家重点实验室 )( 1 0 0 0 1 0 0 0010 2 1 110 2 1 te x x x aaa x x x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ ? # # "" %%%# %%%# #%%% " # A， B 矩 阵规 律不变 。 [])(][)( 2 1 111100 teb x x x abbabbabbty n n nnnnn + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???= ?? # " 矩阵 C变 化 ， 且 D= n b ① I/O 方 程 ； ②系统 函数 ；③ 框图 ；④ 标 准 ABCD。 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 对角线变量法 设 i λ 无重根， ∑ = λ? += n i i i n s K bsH 1 )( ? ? ? ? ? ? ? λ+= ′ λ+= ′ λ+= ′ nnn xex xex xex " 222 111 ∑ = += n i nii ebxKy 1 东南大学移动通信国家重点实验室 )( 1 1 1 1 00 0 0 0 000 2 1 2 1 2 1 te x x x x x x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? λ λ λ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ # # "" %%%# %%%# #%% " # A，B 矩阵规 律不变 。 [])(][)( 2 1 21 teb x x x KKKty n n n + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = # " 矩阵 C规 律不 变 ， D= n b 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 离 散 系 统 的状 态方 程与输 出方 程 形 式 和 规律与 连续 系统类 似， 只需 ：积 分 器 →延 时 器； )1()( +→ ′ kxtx ； )()( kxtx → ； )()( kyty → ； )()( kete → 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： 已 知 ： 01 2 01 2 2 )( azaz bzbzb zH ++ ++ = ，求相变量 的 A， B， C， D。 解： ? ? ? ? ? ? ?? = 10 10 aa A ? ? ? ? ? ? = 1 0 B [] 121020 abbabbC ??= 2 bD = 东南大学移动通信国家重点实验室 例2 ： 已 知 ? ? ? ? ? ? ? ? = 30 02 A ? ? ? ? ? ? = 1 1 B []32=C 1=D ， 求 )(sH 解： 由 A，B ? 对角线变量 法 因 1=D ， ∴分子分母次数相 等。 65 1810 3 3 2 2 1 )( 2 2 2 1 ++ ++ = + + + += ? += ∑ = ss ss ss s K bsH i i i n λ 东南大学移动通信国家重点实验室 §11 .4 电 系 统 状 态方 程的建 立 一、 简单连续系统的 状态方程与输出 方程 例 1：两 个激励三阶系统 ： )( 1 te 、 )( 2 te 激励 ， )(ty 响应。 + - e 1 R 1 L 1 L 2 R 2 + - C Y(t) + - + - X 1 (t) X 2 (t) X 3 (t) e 2 东南大学移动通信国家重点实验室 解： 1．选状态变 量： )( 1 tx 、 )( 2 tx 、 )( 3 tx 如图 2．列基本方 程： 对 包 含电感的回路，列 写 KVL方 程 ； 对 包 含电容的节点，列 写 KCL方 程 （ 对 KVL时 ， 尽 量只包含 一 个电感，对 KCL时，尽 量 只包含 一 个电容） 东南大学移动通信国家重点实验室 KVL： ? ? ? ?=?+ ′ =++ ′ 232222 111311 eXXRXL eXRXXL KCL： 213 xxXC ?= ′ 222 eXRy += 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 整 理 /写成标 准形 式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ 2 1 2 1 3 2 1 22 2 1 11 3 2 1 1 0 0 1 0 11 1 0 1 0/ e e L L x x x CC LL R L LR x x x [][] ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 1 3 2 1 2 1000)( e e x x x Rty 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2：一 个 滤 波 电 路 ， 列状 态方 程 （ 图 见 书 P206 图 11-10） 解： 1． 选 状态变 量 )( 1 tx )( 2 tx )( 3 tx 2． 列 基本方 程 ? ? ? ? ? ?+= ′ ??= ′ ?= ′ L Rc cs iixxc xiixc xxxL 1133 1122 321 东南大学移动通信国家重点实验室 3．消去中间变量 ： s s s R xe i 2 ? = 31213211 )( 11 xcxcxxcuci cc ′ ? ′ = ′ ?= ′ = L R R x i L 3 = 东南大学移动通信国家重点实验室 4．整理成标准形 式： )( || || 0 |||||| |||||| 11 0 1 1 3 2 1 112 1313 3 2 1 te CR C CR C x x x CR C CR C C C CR C CR CC C C LL x x x s s ss ss ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? + ?? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ 其 中 133221 ccccccc ++= 注：整 理 过程中若出现某 输入激励的导数项 ? 作 为 新 激励 。 东南大学移动通信国家重点实验室 小结（四步） 1．选状态变量； 2．列基本方程； 3．消去中间变量； 4. 整理成标准（矩阵）形 式。 东南大学移动通信国家重点实验室 §11 .5 连 续 系统状 态方程 的复频 域求解 一、 复频域求解 对 )()()()()()( teDtxCtyteBtxAtx KKKKKK +=+= ′ 取 L.T有： )()()0()( sEBsXAxsXs KK K K +=? ? 即 )()0()()( sEBxsXAIs K K KK +=? ， ∴ )()()()0()()( 11 txsEBAIsxAIssX K KK K KK ??+?= ?? 东南大学移动通信国家重点实验室 而 )(])([)0()()()()( 11 sEDBAIsCxAIsCsEDsXCsY KK K KKKK +?+?=+= ?? 零输入 响应 )(sY zi 零状态 响 应 )(sY zs 从而： )()()( tytyty zszi KKK += 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 系统函数矩阵与自然频率 由 )()()(])([)( 1 sHsEsEDBAIsCsY zs KKKKK =+?= ? 得 DBAIsC sHsH sHsH sH mr mrr m +?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? × 1 1 111 )( )()( )()( )( K " #%# " K r个响应 ，m 个激 励 东南大学移动通信国家重点实验室 其中， 单独 作用下)( )( )( )( t j e sE sY s ij H j i = 由于 || )( )( 1 AsI AsIadj AIs ? ? =? ? 伴随矩阵 K 伴随矩 阵 求法： T AIs )( ? K 的代数余 子式。 ∴ || AsI ? 特征多项 式。 令 ?=? 0|| AsI 特 征 根 （A 的 特 征根 ） 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 状态过 渡 矩阵 （基本矩阵 ） )(tφ 令 )()()( 1 tAIss φ??=Φ ? K 设零输入 0)( =sE K 则 )0()()0()()( 1 xsxAIssX KK KK Φ=?= ? ∴ ))((0)0()()( tA ettxttx K K KK =φ≥φ= 东南大学移动通信国家重点实验室 例 3：对例 2，求 H（S） 解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + = ? ? ? ? ? ? + + ++ = ? ? ? ? ? ? + + =?=Φ ? ? 3 1 0 0 2 1 30 02 )3)(2( 1 30 02 )()( 1 1 s s s s ss s s AIss K 东南大学移动通信国家重点实验室 [] 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 3 1 0 0 2 1 32 )()( + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++ = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + = +Φ= ss s s DBsCsH K 1 3 3 2 2 + + + + = ss 东南大学移动通信国家重点实验室 ~End of Chapter 11~ 东南大学移动通信国家重点实验室