东南大学移动通信国家重点实验室 Chapter 3 信号分析 §3-1 引言 信号特性： 1． 时域上 ? ? ? 波形 ，子响应单元信号函数);()(),( thttf δ 2． 频域上：频谱表示，即信号分解成正弦（虚指数）的组合?频谱分析。 本章重点：F.S.（傅里叶级数）?频谱； F.T.（傅里叶变换）?频谱（密度函数），性质； 调幅波。 东南大学移动通信国家重点实验室 §3-2 信号在正交函数集中的分解 设有一个函数集 )}(),(),({ 10 tgtgtg n L ，在 ),( 11 Ttt + 上正交，即满足： ? ? ? ? ? ? ? ≠ =≠== ∫ ∫∫ + + ? + 0|)(| .,1,0,,),0)()(,(0)()( 1 1 1 1 1 1 2 Tt t l Tt t kl Tt t kl dttg nlklkdttgtgdttgtg L或者对于复数 则信号 ),()( 11 Ttttf +在 上可分解为 )()()()()( 1100 ttgatgatgatf nn ? ε++++= L 东南大学移动通信国家重点实验室 方均误差 ∫ + ?? ε=ε Tt t dtt T 1 1 )( 1 22 ，为使其为最小，令 0 2 = ε? ? k a ，得： .10 |)(| )()( 1 1 1 1 2 nk dttg dttgtf a Tt t k Tt t k k L，，，== ∫ ∫ + + ? 称为“分量系数” 若 )}({,0)(,),( 2 tgtatf kk ?=? ? ε取上式时信号 称为正交完备集。 东南大学移动通信国家重点实验室 注：1. 函数集不一定非要正交，但是在正交集中分解； a） 分量系数 k a 可独立计算； b） 平均功率=各分量平均功率之和?Parseval定理； 2. 正交函数集有很多，如三角函数集，指数函数集，Walsh函数…… 例如，三角函数集： } Ttntt tntt π2 , sin,2sin,sin cos,2cos,cos,1 =? ? ? ? ??? ??? LL LL 其中：Ω基波频率，T基波周期。 东南大学移动通信国家重点实验室 §3-3 信号的傅立叶级数表示 一、 三角形式 若信号 )(tf 满足Dirichlet条件（仅充分条件）， 即： 1． 在一周期内有有限个间断点； 2． 在一周期内有有限个极值点； 3． 在一周期内能量有限，即 ∫ + +∞< Tt t dttf 1 1 2 )( 东南大学移动通信国家重点实验室 则可以展成傅氏级数（F.S）： T tnbtna a tf n nn π2 ,)sincos( 2 )( 1 0 =??+?+= ∑ ∞ = 其中： ? ? ? ? ? ? ? =?=??= ==??= ? + ? + ∫ ∫ L L 2,1,0,sin)( 2 2,1,0,cos)( 2 1 1 1 1 nbtdtntf T b natdtntf T a n Tt t n n Tt t n 即设 00 =b 东南大学移动通信国家重点实验室 或由 n n n n nnnn a b tg nAbaA ? ? ? ??==? ==+= 1 22 2,1,0, L ? ? ? ?= ?= ? nnn nnn Ab Aa sin cos ∑ ∞ = ???+=? 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tf 直流 + 各次谐波分量 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 指数形式 由欧拉公式 2 cos tjtj c cc ee t ω?ω + =ω 则 ∑ ∞ = ????? ++= 1 )()( 0 }{ 22 )( n tnjtnj n nn ee AA tf ?? ∑∑ ∞ = ????? ∞ = ++= 1 )( 0 )( 1 222 n tnj n tnj n n nn e AA e A ?? ∑∑ ∞ = ????+? ? ?∞= ? ++= ? 1 )()0( 0 )( 1 222 0 n tnj n tjtnj n n nn e A e A e A ??? 东南大学移动通信国家重点实验室 再利用 ?,A 的奇偶特性 ∑∑ ∞ ?∞= ? ? ∞ ?∞= ?? == n tjn n n jtjn n e A ee A n 22 ? 其中: L & 2,1,0,)( 2 1 1 ±±== ?== ∫ + ?? ? ndtetf T jbaeAA Tt t tjn nn j nn n ? 称作傅立叶复系数。 东南大学移动通信国家重点实验室 注：（1） 0000 0 aAeAA j === ?? & ； （2）由 nnn jbaA ?= & 得 n n AA ? ? = && 共轭对称； （3）指数形式是在虚指数函数集 },,1,,{ 22 LL tjtjtjtj eeee ?????? 中的分解，它正交完备， 设： n n tjn n cectf ,)( ∑ ∞ ?∞= ? = 是分量系数。 则： 2 )( 1 )( 1 1 1 1 1 1 2 n Tt t tjn Tt t tjn Tt t tjn n A dtetf T dte dtetf c & === ∫ ∫ ∫ + ?? + ? + ?? ； 东南大学移动通信国家重点实验室 （4）指数形式F.S.中负频率是数学处理的结果?一对正负频率的虚 指数分量构成实际的正弦分量： )cos( 22 nn tjn n tjn n tnAe A e A ???=+ ?? ? ? && 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 信号波形与傅立叶系数的关系 例：将下图方波展成傅里叶级数。 东南大学移动通信国家重点实验室 解：∫∫∫ ???=?= T T TT n tdtn T tdtn T tdtntf T a 2/ 2/ 00 cos 2 cos 2 cos)( 2 L2,1,0.,0]|sin|[sin 2 ]coscos[ 2 2 0 2 0 =≡θ?θ ? =θθ?θθ ? = π π π π π π ∫∫ n Tn dd Tn n n n n n n 东南大学移动通信国家重点实验室 同理， bn ]|cos|cos[ 1 ]sinsin[ 1 2 0 2 0 π π π π π π θ+θ? π =θθ?θθ π = ∫∫ n n n n n n n dd n ? ? ? =??= 为偶数 为奇数 n nn n n ,0 ,/4 ])1(1[ 2 π π ∴ Tttk k tttf k ≤≤?+ + =+?+?= ∑ ∞ = 0,)12sin( )12( 4 3sin 3 4 sin 4 )( 0 πππ L 东南大学移动通信国家重点实验室 结论： （以下结论有一般性） （1）收敛性： ↓↑? nn ban , （不一定单调衰减，但总体趋势是衰减）； （2）由叠加过程：参见教材P124 i） 叠加的项数 )(tf↑? 间断点处误差仍然较大——Gibbs现象； ii） 信号变化快的部分——高频分量； 信号变化慢的部分——低频分量； 东南大学移动通信国家重点实验室 （3）若f（t）为偶函数，则级数中只有 n a 项， 0= n b ； 若f（t）为奇函数，则级数中只有 n b 项， 0= n a ； （4）若f（t）偶半波对称（偶谐）， )() 2 ( tf T tf =± ，则f（t） 只有偶次谐波项。 （注： 实际周期为T/2，则 T π ?=?=? ′ 2 22 ） f（t）奇半波对称?f（t）奇谐， )() 2 ( tf T tf ?=± ； 东南大学移动通信国家重点实验室 （5）对一般信号，f（t）总可以分解 )()()( tftftf eo += ，其中： )]()([ 2 1 )( tftftf o ??= （奇分量） )]()([ 2 1 )( tftftf e ?+= （偶分量）； （6）若 nn AttfAtf ′ →?→ && )(,)( 0 ，则 0 tjn nn eAA ?? = ′ && cf: f(t-t 0 ) F(s)e -st 0