Chapter 5 连续时间系统的复频域分析 东南大学移动通信国家重点实验室 §5-1 引言 拉普拉斯变换(L.T.)分析法是常用的分析技术。 本章重点:(1)正反L.T.及其性质(含双边); (2)用L.T.求响应; (3)系统函数H(s) -> 框图(流图) §5-2 由傅里叶变换到拉普拉斯变换 1. 正反拉氏变换的定义 傅里叶变换的不足:i)指数增长型信号不存在变换; ii)反变换不易求。 东南大学移动通信国家重点实验室 如 )()()( tetetf tt ?+= εε βα )0( >>αβ f 1 (t)=f(t)e - σt 东南大学移动通信国家重点实验室 令 t etftf σ? = )()( 1 )( β<σ<α 则 )( 1 tf 可积,即其傅里叶变换存在。 记 )()( 11 ωjFtf ? 即 ∫∫ +∞ ∞? +? +∞ ∞? ? == dtetfdtetfjF tjtj )( 11 )()()( ωσω ω 令 ω+σ= js 则 )( 1 ωjF =∫ +∞ ∞? ? dtetf st )( = )(sF d 东南大学移动通信国家重点实验室 由: ∫ +∞ ∞? ? == ω π ωσ desFetftf tj d t )( 2 1 )()( 1 ∴ ∫∫ ∞+ ∞? +∞ ∞? + == j j st d tj d dsesF j desFtf σ σ ωσ π ω π )( 2 1 )( 2 1 )( )( βσα << 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 由上有: )()( sFtf d ? 其中, ∫ +∞ ∞? ? = dtetfsF st d )()( , βσα << 称为 双边正变换 或 象函数, βσα << 称为 双边拉氏变换的收敛域(ROC)。 而 ∫ ∞+σ ∞?σ π = j j st d dsesF j tf )( 2 1 )( 称为 双边反变换 或 原函数。 注意:上述变换对中, ? s要在其收敛域(ROC)中, ? 若收敛域不包含虚轴,则信号x(t)的L.T. 存在,而F.T.不存在。 东南大学移动通信国家重点实验室 对有始信号 )()()( ttftf ε= , 变换对: )()( sFtf ? 有: ∫ +∞ ? ? = 0 )()( dtetfsF st , ROCs∈ ∫ ∞+σ ∞?σ π = j j st d dsesF j tf )( 2 1 )( , ? ≥0t 单边拉氏正、反变换 东南大学移动通信国家重点实验室 2.L.T的含义: 分解成无穷多个 复指数分量 的迭加。 3. 复频率 ω+σ= js 与单元信号 st e 的关系。 (见书P209页图5-2) 注:(1) σ 决定信号幅度的变化快慢, ω 决定信号振荡的频率; (2)一对共轭分量构成一个变幅(正弦)振荡。 东南大学移动通信国家重点实验室 § 5-3 拉氏变换的收敛域 若 )(tf 在任意一段区间上只含有有限个(取值为有限) 的极值点,且 ±∞→t 时, )(tf 是 0 σ 指数阶的, 即 ① 对有始信号,若 0)(lim → ? ∞→ t t etf σ , )( 0 + σ>σ ; ② 对左边信号,若 0)(lim → σ? ?∞→ t t etf , )( 0 ? σ<σ ; ③ 对双边信号, 0)(lim → σ? ±∞→ t t etf , )( 00 ?+ σ<σ<σ 则其拉氏变换在以上区域(收敛域ROC)中收敛, 称 0 σ=s 为收敛轴(边界),注意:收敛域不包含边界。 东南大学移动通信国家重点实验室 讨论: 1) 对有始信号 如: )()( tetf t ε= α 由: α? = s sF 1 )( ,得收敛域 ]Re[]Re[ α>s 。 东南大学移动通信国家重点实验室 再如: ∑ ε= α i t tetf i )()( 由: ∑ α? = i i s sF 1 )( ,得收敛域 ])max(Re[]Re[ i s α> 。 ? 有始信号收敛域的收敛轴由最右边极点决定,收敛域在收 敛轴右边; 2)同理,对左边信号,结论相反。 如: ∑∑ β? ???ε= β j j j t s tetf j 1 )()( 收敛域: ])min(Re[]Re[ j s β< 。 ? 左边信号收敛域的收敛轴由 最左边极点决定,收敛域在收敛轴左边。 东南大学移动通信国家重点实验室 3)双边信号,若存在收敛域,一般是带状区域。 若 +? σ≤σ 00 ,双边L.T.不存在。 如 ttf c ω= cos)( , +∞<<∞? t 0 00 == +? σσ ,不存在双边L.T.。 σ 0 -σ 0+ 东南大学移动通信国家重点实验室 4)双边变换一定要标收敛域,否则原信号不能判断。 例: s t 1 )( ?ε , 0]Re[: >sROC s t 1 )( ??ε? , 0]Re[: <sROC 5)收敛域内不存在极点。 6)工程上的信号一般是指数阶的有始信号 (时间起点t 0 可<0), 故:取 σ 足够大,则L.T.总存在,此时一般 不标出收敛区。 东南大学移动通信国家重点实验室 7)对有始信号: ① 若 0 0 <σ + ,收敛区包括虚轴,则 sj sFjF =ω =ω )()( , 经典傅里叶变换 )( ωjF 存在; ② 若 0 0 >σ + ,则 )(sF 存在,但收敛区不包括虚轴, )( ωjF 不存在; ③ 若 0 0 =σ + ,经典 )( ωjF 不存在,但广义 )( ωjF 存在, 此时注意:广义 ω= ≠ω js sFjF )()( 如 s t 1 )( ?ε , ω ωπδε j jt 1 )()( +? 东南大学移动通信国家重点实验室 § 5-4 常用信号的单边拉氏变换 一、 指数类 1. α? ?ε α s te t 1 )( , ]Re[ α>σ , α= 1 p s t 1 )( ?ε , 0>σ , 0 1 =p 2. () 22 )(cos c c s s tt ω εω + ? , 0>σ ,c jp ω±= 2,1 () 22 )(sin c c c s tt ω ω εω + ? , 0>σ ,c jp ω±= 2,1 东南大学移动通信国家重点实验室 3. () 22 )( )(cos c c t s s tte ωα α εω α +? ? ? , ]Re[α>σ , c jp ω±α= 2,1 ; () 22 )( )(sin c c c t s tte ωα ω εω α +? ? , ]Re[α>σ , c jp ω±α= 2,1 ; 4.22 2 )( β? ? + =εβ β?β s see ttch tt , )Re(βσ > , β±= 2,1 p ; 22 2 )( β? β ? ? =εβ β?β s ee ttsh tt , )Re(βσ > , β±= 2,1 p ; 东南大学移动通信国家重点实验室 二、t的正幂函数类 1. 1 ! )( + ?ε n n s n tt , 0>σ , 0=p (n+1阶); 常用 2 1 )( s tt ?ε , 0>σ , 0=p (2阶); 2. 1 )( ! )( + α α? ?ε n tn s n tet , ]Re[α>σ , α=p ( n+1重); 常用 2 )( 1 )( α? ?ε α s tte t , ]Re[α>σ , α=p (2重); 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 )(tδ 及其导数 1)( ?δ t 在s平面上皆收敛, nn st ?δ )( )( 极点在 ∞→s 处。 东南大学移动通信国家重点实验室