Chapter 5 连续时间系统的复频域分析 东南大学移动通信国家重点实验室 §5-1 引言 拉普拉斯变换（L.T.）分析法是常用的分析技术。 本章重点：（1）正反L.T.及其性质（含双边）； （2）用L.T.求响应； （3）系统函数H(s) -> 框图（流图） §5-2 由傅里叶变换到拉普拉斯变换 1． 正反拉氏变换的定义 傅里叶变换的不足：i）指数增长型信号不存在变换； ii）反变换不易求。 东南大学移动通信国家重点实验室 如 )()()( tetetf tt ?+= εε βα )0( >>αβ f 1 (t)=f(t)e - σt 东南大学移动通信国家重点实验室 令 t etftf σ? = )()( 1 )( β<σ<α 则 )( 1 tf 可积，即其傅里叶变换存在。 记 )()( 11 ωjFtf ? 即 ∫∫ +∞ ∞? +? +∞ ∞? ? == dtetfdtetfjF tjtj )( 11 )()()( ωσω ω 令 ω+σ= js 则 )( 1 ωjF =∫ +∞ ∞? ? dtetf st )( = )(sF d 东南大学移动通信国家重点实验室 由： ∫ +∞ ∞? ? == ω π ωσ desFetftf tj d t )( 2 1 )()( 1 ∴ ∫∫ ∞+ ∞? +∞ ∞? + == j j st d tj d dsesF j desFtf σ σ ωσ π ω π )( 2 1 )( 2 1 )( )( βσα << 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 由上有： )()( sFtf d ? 其中， ∫ +∞ ∞? ? = dtetfsF st d )()( , βσα << 称为 双边正变换 或 象函数， βσα << 称为 双边拉氏变换的收敛域(ROC)。 而 ∫ ∞+σ ∞?σ π = j j st d dsesF j tf )( 2 1 )( 称为 双边反变换 或 原函数。 注意：上述变换对中， ? s要在其收敛域（ROC）中， ? 若收敛域不包含虚轴，则信号x(t)的L.T. 存在，而F.T.不存在。 东南大学移动通信国家重点实验室 对有始信号 )()()( ttftf ε= ， 变换对： )()( sFtf ? 有： ∫ +∞ ? ? = 0 )()( dtetfsF st ， ROCs∈ ∫ ∞+σ ∞?σ π = j j st d dsesF j tf )( 2 1 )( ， ? ≥0t 单边拉氏正、反变换 东南大学移动通信国家重点实验室 2．L.T的含义： 分解成无穷多个 复指数分量 的迭加。 3． 复频率 ω+σ= js 与单元信号 st e 的关系。 （见书P209页图5-2） 注：（1） σ 决定信号幅度的变化快慢， ω 决定信号振荡的频率； （2）一对共轭分量构成一个变幅（正弦）振荡。 东南大学移动通信国家重点实验室 § 5-3 拉氏变换的收敛域 若 )(tf 在任意一段区间上只含有有限个（取值为有限） 的极值点，且 ±∞→t 时， )(tf 是 0 σ 指数阶的, 即 ① 对有始信号，若 0)(lim → ? ∞→ t t etf σ ， )( 0 + σ>σ ； ② 对左边信号，若 0)(lim → σ? ?∞→ t t etf ， )( 0 ? σ<σ ； ③ 对双边信号， 0)(lim → σ? ±∞→ t t etf ， )( 00 ?+ σ<σ<σ 则其拉氏变换在以上区域（收敛域ROC）中收敛， 称 0 σ=s 为收敛轴（边界），注意：收敛域不包含边界。 东南大学移动通信国家重点实验室 讨论： 1） 对有始信号 如： )()( tetf t ε= α 由： α? = s sF 1 )( ，得收敛域 ]Re[]Re[ α>s 。 东南大学移动通信国家重点实验室 再如： ∑ ε= α i t tetf i )()( 由： ∑ α? = i i s sF 1 )( ，得收敛域 ])max(Re[]Re[ i s α> 。 ? 有始信号收敛域的收敛轴由最右边极点决定，收敛域在收 敛轴右边； 2）同理，对左边信号，结论相反。 如： ∑∑ β? ???ε= β j j j t s tetf j 1 )()( 收敛域： ])min(Re[]Re[ j s β< 。 ? 左边信号收敛域的收敛轴由 最左边极点决定，收敛域在收敛轴左边。 东南大学移动通信国家重点实验室 3）双边信号，若存在收敛域，一般是带状区域。 若 +? σ≤σ 00 ，双边L.T.不存在。 如 ttf c ω= cos)( ， +∞<<∞? t 0 00 == +? σσ ，不存在双边L.T.。 σ 0 -σ 0+ 东南大学移动通信国家重点实验室 4）双边变换一定要标收敛域，否则原信号不能判断。 例： s t 1 )( ?ε ， 0]Re[: >sROC s t 1 )( ??ε? ， 0]Re[: <sROC 5）收敛域内不存在极点。 6）工程上的信号一般是指数阶的有始信号 (时间起点t 0 可<0)， 故:取 σ 足够大，则L.T.总存在，此时一般 不标出收敛区。 东南大学移动通信国家重点实验室 7）对有始信号： ① 若 0 0 <σ + ，收敛区包括虚轴，则 sj sFjF =ω =ω )()( ， 经典傅里叶变换 )( ωjF 存在； ② 若 0 0 >σ + ，则 )(sF 存在，但收敛区不包括虚轴， )( ωjF 不存在； ③ 若 0 0 =σ + ，经典 )( ωjF 不存在，但广义 )( ωjF 存在， 此时注意：广义 ω= ≠ω js sFjF )()( 如 s t 1 )( ?ε ， ω ωπδε j jt 1 )()( +? 东南大学移动通信国家重点实验室 § 5-4 常用信号的单边拉氏变换 一、 指数类 1． α? ?ε α s te t 1 )( ， ]Re[ α>σ ， α= 1 p s t 1 )( ?ε ， 0>σ ， 0 1 =p 2． () 22 )(cos c c s s tt ω εω + ? ， 0>σ ，c jp ω±= 2,1 () 22 )(sin c c c s tt ω ω εω + ? ， 0>σ ，c jp ω±= 2,1 东南大学移动通信国家重点实验室 3． () 22 )( )(cos c c t s s tte ωα α εω α +? ? ? ， ]Re[α>σ ， c jp ω±α= 2,1 ； () 22 )( )(sin c c c t s tte ωα ω εω α +? ? ， ]Re[α>σ ， c jp ω±α= 2,1 ； 4．22 2 )( β? ? + =εβ β?β s see ttch tt ， )Re(βσ > ， β±= 2,1 p ； 22 2 )( β? β ? ? =εβ β?β s ee ttsh tt ， )Re(βσ > ， β±= 2,1 p ； 东南大学移动通信国家重点实验室 二、t的正幂函数类 1． 1 ! )( + ?ε n n s n tt ， 0>σ ， 0=p （n+1阶）； 常用 2 1 )( s tt ?ε ， 0>σ ， 0=p （2阶）； 2． 1 )( ! )( + α α? ?ε n tn s n tet ， ]Re[α>σ ， α=p （ n+1重）； 常用 2 )( 1 )( α? ?ε α s tte t ， ]Re[α>σ ， α=p （2重）； 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 )(tδ 及其导数 1)( ?δ t 在s平面上皆收敛， nn st ?δ )( )( 极点在 ∞→s 处。 东南大学移动通信国家重点实验室