东南大学移动通信国家重点实验室 第二章 连续系统的时域分析(续1) § 2-4 奇异函数 一、 定义：函数或其微、积分在某处不连续（间断） 例如 ： )()2/( 2 tt ε )(ttε )(tε )(tδ )(tδ ′ 1 (1) )(∞ t t t t t .... O O O O )(∞ 求导 积分 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 )(tδ 的几种定义 1． 工程定义 ? ? ? ≠ =∞ =δ .0,0 ;0, )( t t t ，且 ∫ +∞ ∞? =1)( dttδ 2． 狄拉克定义： 设 )(t?? 在 t=0 处连续，则 ∫ +∞ ∞? ?=δ? )0()()( dttt （抽样、筛 选性） 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 微积分性质： ∫ ∞? = = t dt dt td t ττδε ε δ )() )( )( （或 4． 极限定义（赋值定义） 若有 )0()()(lim 0 ?=? ∫ +∞ ∞? → dttft c c ， 则 )()(lim 0 ttf c c δ= → 东南大学移动通信国家重点实验室 如 （ ?? 脉宽） 则 )(lim)( 0 tgt ? →? =δ 又如 则 )(lim)( 0 tkt ? →? =δ )(tg ? ?/1 t 2/?? 2/? )(tk ? ?/1 t ?? ? 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 )(tδ 的常用性质 1． 抽样性：设 ∫ +∞ ∞? ?=?δ?=? )()()()( 000 tdttttttt 处连续，则在 或 )()()()( 000 tttttt ?δ?=?δ? 2． 偶函数性： )()( tt δ=?δ 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 尺度变换： )0(),( 1 )( ≠δ=δ at a at 而 )0(),( 1 )( 0 0 ≠?δ=?δ a a t t a tat 4． )(tδ ′ 冲激偶： ∵ )(lim)( 0 tgt ? →? =δ ∴ )(lim)( 0 tgt ? →? ′ =δ ′ 东南大学移动通信国家重点实验室 §2-5 信号的时域分解 一、 简例 例：门函数 ) 2 () 2 ()( τ ?ε? τ +ε=τ tttG 单边周期性锯齿波 [ ] [ ]L+?ε??ε?+?ε?ε= )2()1()1()1()()( tttttttf ∑ ∞ = ??= 1 )()( i ittt εε )(tf 1 … t 0 1 2 3 )(tG τ 1 t 2/τ? 2/τ 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 信号分解成 )(tδ 的组合 设 )(tf 有始； ∑ = ? →? ???= n k t t tktGtkftf 0 0 )()(lim)( t t tktG tkf n k t t ? ? ?? ?= ∑ = ? →? 0 0 )( )(lim )(*)( )()( 0 ttf dtf t δ ττδτ 记 = ?= ∫ （卷积） （即：分解成无穷多个出现在 ),0( t∈τ 处，强度为 ττ df )( 的冲激的 迭加） )(tf … … 记 )(tG t? ： 1 t t 0 … t =n t? t? 东南大学移动通信国家重点实验室 * 对一般信号 f(t)： )()()()()( ttfdtftf t δττδτ ?=?= ∫ ∞? 记 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 信号分解为单位阶跃的组合 类似： [ ] [] ? ? ? ? ? ? +??????+ +????+ = →? L L )())1(()( )()0()()()0( lim)( 0 tkttkftkf ttftftf tf t ε εε ∑ = →? ???ε ? ???? +ε= n k t ttkt t tkftkf tf 1 0 )( ))1(()( lim)()0( ＝ ∫ ? ′ + t dtftf 0 )()()()0( ττετε （即： 分解成无穷多个出现在 ),0( t∈τ 处， 幅度为 ττ ′ df )( 的 阶跃的迭加） )(tf …… …… …… t 0 … t =n t? 东南大学移动通信国家重点实验室 * 对一般信号： )()()()()( ttfdtftf t εττετ ? ′ =? ′ = ∫ ∞? 记 东南大学移动通信国家重点实验室 §2-6 冲激响应和阶跃响应 一、 定义 零状态 )( tδ )( tε )( th )( tr ε 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 )(th 与 )(tr ε 的关系 ∫ ∞? == t dhtr dt tdr th ττ ε ε )()( )( )( 或 例： 若 0,)( ≥= ? ε tetr t 写成 ).()( tetr t ε ε ? = 则 )()()()()( 0 tteteteth t t tt δ+ε?=δ+ε?= ? = ?? 这样才能体现 0=t 处的冲激分量 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 )(th 的求法 1． 拉氏反变换 1 ( ) [ ( )], , ( ) ( ) p s ht L Hs Hs Hp ? = ==其中 注意：一对共轭根要配方 2． )(pH 分解法 例： )()( 1 1 )( 1 1 )( teth s sH p pH t ε=? + =? + = ? 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 系数平衡法 4． 将 )(tδ 的作用转化为 + = 0t 时的初态，于是， 求 )(th 即转化为求相应初态作用下的零输入响应 )(tr zi 5． 状态方程法（将在第 9 章中介绍） 东南大学移动通信国家重点实验室 例：求图示 RC 电路的冲激响应电流 )(ti 。 C + - )(ti R )(tδ 解： 1) 建模： )()() 1 ( teti pC R =+ 即 )( 1 )() 1 ()()() 1 ( tpe R ti RC ptpeti C pR =+=+ 或 ∴ )( 1 1 )( te RC p p R ti + = C 东南大学移动通信国家重点实验室 2) 求解： 法一：拉氏变换法 由 RC s CRR RC s s R sH 1 111 1 1 )( 2 + ?= + = 得 )( 1 )( 1 )( 2 te CR t R th RC t εδ ? ?= 东南大学移动通信国家重点实验室 法二： + →δ 0 初态 0 1 ),00(0 →=→= +? Cj Xt C ω 因时瞬间 ，即短路 ∴ )( R 1 )( tti δ= ， t=0 ∴ RC di C u C 1 )( 1 )0( 0 0 == ∫ + ? + ττ （ V） ∴ CRR u ccetit C t RC 2 1 1)0( ,)(,0 －而常数时 =?==≥ + ? + ∴ )( 1 )( 2 te CR ti RC t ε ? ?= ∴ )( 1 )( 1 )( 2 te CR t R ti RC t εδ ? ?= 东南大学移动通信国家重点实验室 §2-7 叠加积分 零状态 )(tε )( tδ )(tr ε )(th )( τδ ?t )( τ?th )()( τδτ ?te )()( ττ ?the ∫ ∞? ? t dte ττδτ )()( ∫ ∞? ? t dthe τττ )()( )(*)( tte δ= )(*)( thte= )(te= )(tr zs = 即： ∫ ∞? ?== t zs dthethtetr τττ )()()(*)()( 东南大学移动通信国家重点实验室 说明： (参见 P53 图 2－ 20) （ 1） τ ：冲激分量（及其响应）出现的时刻； （ 2） t ：观察时刻，选定后是常数； （ 3） τ?t ：记忆时间。对稳定系统， ↓?↑?? )( ττ tht ； （ 4） 对一般激励 +∞<<?∞ tthte ),()( 和 ，（因为系统可能非因果， t 后的激励对 t 及以前仍有贡献）则： +∞<<∞??= ∫ +∞ ∞? tdthetr zs ,)()()( τττ 东南大学移动通信国家重点实验室 积分限讨论如下： a) 若 )(te 有始，则 ∫ +∞ ? ?= 0 )()()( τττ dthetr zs b) 若 )(th 因果，则 ∫ ∞? ?= t zs dthetr τττ )()()( c) 若 因果有始， )()( thte ，则 ∫ ? ?= t zs dthetr 0 )()()( τττ 东南大学移动通信国家重点实验室 例 1： RC 电路， e(t)如图，求其零状态响应电流 i(t)。 C=2F + - )(ti )(te ?= 2 1 R 5 X-Axis Y- Ax i s 1 2 3 4 0 1 2 3 4 K=1 K=1/2 t e(t) 东南大学移动通信国家重点实验室 解：由前例， )(2)(2)( 1 )( 1 )( 2 tette CR t R th t RC t εδεδ ? ? ?=?= 而 )2()1()]2()()[1 2 ()( ?++??+= tttt t te εεε )2()1 2 2 ()()1 2 ( ?+ ? ++= t t t t εε )2()( 11 ?+= tete 设 )2()()(*)( 1111 ?+== tititiheti zszszs ，则 东南大学移动通信国家重点实验室 由 == )(*)()( 11 thteti zs )](2)(2[*)()1 2 ( tett t t εδε ? ?+ ∫ ? ?+?+= ?? t t dtett 0 )( )](2)()1 2 [(2)()2( ττετε τ ε τ )(])1[()()2( tettt t εε ? ?+?+= )()1( te t ε ? += ∴ )2()1()()1()2()()( )2( 11 ?+++=?+= ??? tetetititi tt zszs εε 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2： h(t) st e 求 r(t)=? 无时限 + ∞<<∞? t 由 ∫ ∫ ∞+ ∞? ? +∞ ∞? == ?== ττ ττ τ τ deheth dthethetr tsst sst )( )(*)( )()(*)( +∞<<?∞== ∫ +∞ ∞? ? tesHdtethe ststst ,)()( 其中： H(s)=￡ [h(t)] 参考： e j ω t H(jω t) e j ω t 正弦稳态响应