东南大学移动通信国家重点实验室 Chapter 3 信号分析 §3-4 周期信号的频谱 由三角形式 ∑ ∞ = ??+= 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tf ? n n A ?相位谱 幅度谱 ~ L1,0, =? nn （半边谱） 或由指数形式 ∑ ∞ ?∞= ? ? = n tjn n e A tf 2 )( n n A ?相位谱 幅度谱2/ L2,1,0,~ ±±=? nn （双边谱） 东南大学移动通信国家重点实验室 1． 周期信号频谱的例子 ∵ f（t）为偶函数 ∴ nn aA = & 实函数，为 ) 2 ( 2 2 sin 4 cos 2 2/ 2/ τ?τ = τ? ? =?= ∫ τ τ? n Sa T An Tn A tdtnA T A n & 东南大学移动通信国家重点实验室 其中， x x xSa sin )( ? = ，称为抽样（Sample）函数，如图所示： 故： 东南大学移动通信国家重点实验室 ) 2 ( 2 τ?τ = n Sa T A A & 在 L2,1, 2 ±±= τ π =? k k n 处为过零点。 设 τ= 4T 则f(t)的幅度谱与相位谱分别如下： （图示于黑板上） 注：由于 nn aA = & 为实函数，两谱可合一。 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 周期信号频谱的特点 （1） 离散性：离散频率 （时域中周期→频域中离散）； （2） 谐波性：只在谐波频率 ?n 上； （3） 收敛性：n取足够大，其余高频分量可以忽略。 3． 有效频宽（占有频宽）B （1） n A最大值的1/10为限；(对单调递减型频谱) （2）第一个过零点，如本例中 ? τ π = 2 B * =τB 常数 （3）总功率90%为限。（可由后述Parseval定理求） 东南大学移动通信国家重点实验室 4． 波形变化时频谱的变化 （1） T 不变， τ 改变： ? 谱线间隔 ? 不变，过零点 τ π =ω 2 0 变： ① ↓ω↑?τ 0 ，有效频宽内谱线数 ↓ ?==→ τ π ωτ 2 , 0 T ，只剩下 0 A 项；即只有直流 0 A /2 ② ↑ω↓?τ 0 ，谱线数 ↑ 。特别是： ∞→ω→τ 0 ,0 ； 东南大学移动通信国家重点实验室 （2） τ 不变， T 改变 ? 0 ω 不变， ? 变 ① 直流 频带内谱线数 ??==?→? ↓↑?↓→ τ π ωτ 2 有效 0 T T ② 无穷小量特别是→→?∞→? ↓?↑→ n AdT T & ,, ω 但各分量有相对大小且： →)(tf 非周期 东南大学移动通信国家重点实验室 §3-5 非周期信号的频谱：傅立叶变换 一、 傅立叶正、反变换 由 ∑ ∞ ?∞= ?? =?= n tjn n T Te A tf /2, 2 )( π & ))(lim)(( )( 2 2/ 2/ 无穷小量时取→= = ∞→ ? ?? ∫ nT T T T tjn n Atftf dtetf T A & & 为使 n A & 不为无穷小量，则定义反映各分量相对大小的量 T jnF n A /2 )( & =? 东南大学移动通信国家重点实验室 令 )(lim)( ?= ? ? ? ? ? ? →? →? ∞→ jnFjF n d T ω ω ω ，称为非周期信号的频谱密度函数， 简称频谱。 ∴ ∫∫ ∞ ∞? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? →? →? ∞→ == dtetfdtetfjF tj T T tjn n d T ω ω ω ω )()(lim)( 2/ 2/ 东南大学移动通信国家重点实验室 又由： ∑ ∑ ∞ ?∞= ? ∞→ ∞ ?∞= ? ∞→∞→ ? = == n tjn T n tjn n T T T e T jnF e A tftf )( lim 2 lim)(lim)( & ∫ ∑ ∞ ∞? ∞ ?∞= ? ? ? ? ? ? ? →? →? ∞→ ? = = ??= ωω π π ω ω ω π dejF ejnF tj n tjn n d T T )( 2 1 )(lim 2 1 2 代入 东南大学移动通信国家重点实验室 小结： )()( ω? jFtf 其中， ==ω ∫ ∞ ∞? ω? dtetfjF tj )()( F[f（t）]傅立叶正变换； )]([)( 2 1 )( 1 ωωω π ω jFFdejFtf tj ? ∞ ∞? == ∫ 记 傅立叶反变换。 一般， )( |)(|)( ω? ωω j ejFjF ? = 为复数 称 |)(| ωjF ~ ω 幅谱 ωω? ~)( 相谱 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 关于频谱密度函数 )( ωjF 1． 密度函数的概念 ω ωππ ω ω ω d AA T A jnFjF nn n d T n TT )( lim /2 lim)(lim)( && & = ? = =?= ? ? ? ? ? ? →? →? ∞→ ∞→∞→ （分布函数?密度） 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 频谱密度函数的特点 例1：求矩形脉冲 )()( ωjFtf的 。（单个脉冲） 解：法一： ) 2 ( 2 τ?τ = n Sa T A A n & ∴ ) 2 ( /2 lim)( ωτ τ==ω ∞→ SaA T A jF n T & ，实偶 法二：直接用公式 ) 2 ()()( ωτ τ==ω ∫ +∞ ∞? ω? SaAdtetfjF tj 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 讨论：（1）时域非周期 → 频域连续谱； （ 时域周期 → 频域离散谱；） （2）收敛性（∵能量有限才存在傅里叶变换） 同样可定义有效带宽： 三种定义，参见前周期信号频谱中带宽的定义； a) 最大幅度的1/10为限； b) 第一个过零点； c) 总能量的90%为限。 东南大学移动通信国家重点实验室 （3）包络一致性： n AjF & 与)( ω 包络一致，∵两者可互换 ω=? =ω n n T A jF | /2 )( & ?=ω ω= nn jF T A |)( 2 & （4）共轭对称性： )()( * ω?=ω jFjF ， 即 通常只画半边 奇对称 偶对称 ∴ ? ? ? ωω? ωω ~)( |~)(| jF 东南大学移动通信国家重点实验室 （5） )(tf 实偶 )( ω? jF 实偶； )(tf 实奇 )( ω? jF 虚奇； （6）延时特性： 若 )(tf )( )()( ω ωω Φ? =? j ejFjF ， 则 )( 0 ttf ? [ ] 00 )( )()( tjtj ejFejF ωωω ωω +Φ?? =? 即信号f(t)时域延时不改变幅频，只是相频增加一个线性因子。 东南大学移动通信国家重点实验室 例2：单边指数 )0()()( >= ? αε α tetf t 由 α ω ωαωα ωα ωα εω 1 22 0 )( 11 )()( ? ? +∞ +? +∞ ∞? ?? + = + = == ∫∫ jtg tjtjt e j dtedtetejF ω 东南大学移动通信国家重点实验室 例3：三角脉冲 )(tf 的 )( ωjF 。 )]()(][ || 1[)( τ?ε?τ+ε τ ?= tt t Atf 东南大学移动通信国家重点实验室 由定义： ) 2 ()( 2 ωτ τ=ω SaAjF 正实偶， 无相频谱线（全为零）。 注： 对满足Dirichlet条件的能量信号，其傅里叶变换都可以 用公式求出 ? 称为“经典F.T.”? 此时：ω= =ω js sFjF |)()(