第六章 连续时间系统的系统函数 § 6.1 引言 本章重点 ： 系统函数的表示法及与响应的关系 稳定性判据（含反馈系统） 频响的矢量图解 东南大学移动通信国家重点实验室 由第五章：系统函数的定义与求取方法有 1． zs sE sY sH )( )( )( = 2． )}({ thL 3．st st e e sH 作用下响应 =)( 东南大学移动通信国家重点实验室 §6.2系统函数的表示法 系统函数可以用数学表达式表达，也可以 用图示的方法表达。前者比较简单，但是无法 直接看出系统的特性。后者可以直接表示出系 统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。 常用图示法有三种：频率特性， 复轨迹， 极零图。 东南大学移动通信国家重点实验室 一 一 、 、 系 系 统 统 频 频 率 率 响 响 应 应 特 特 性 性 （ （ 曲 曲 线 线 ） ） )( )()( ω? ? ω=ω j ejHjH 注意： ）前无负号，与前有别（中ω? ω? )(j e 特点：1． )(*)( ωω jHjH ?= 共轭对称； 即 幅频： ω 偶函数； 相频： ω 奇函数 2． 对 对 因 因 果 果 系 系 统 统 ， ， 幅 幅 /相 相 频 频 或 或 实 实 /虚 虚 部 部 非 非 独 独 立 立 东南大学移动通信国家重点实验室 ∵ 因果 ∴ )()()( tthth ε= 设 )()()( ω+ω=ω jXRjH 则 [] ? ? ? ? ? ? +++= ? ? ? ? ? ? += ω ω ω ω π ωω ω ωπδω π ω 1 *)( 1 *)( 2 1 )()( 2 1 1 )(*)( 2 1 )( X j RjXR j jHjH 即： ω ω π + ω ω π =ω+ω 1 *)( 11 *)( 1 )()( X j RjXR 东南大学移动通信国家重点实验室 变换对希尔 )(11 *)( 1 )( )(11 *)( 1 )( 伯特 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?= ? == ∫ ∫ ∞+ ∞? ∞+ ∞? λ λω λ πω ω π ω λ λω λ πω ω π ω d R RX d X XR 东南大学移动通信国家重点实验室 举例：二阶RLC并联谐振电路 )( ωjI Ljω 1 Cjω )( ωjU 东南大学移动通信国家重点实验室 易得： G B jtg BG jBG Lj CjG jH e 1 22 11 1 1 )( ? ? + = + = ++ = ω ω ω 其中： L CB ω ω 1 ?= 记 )( )()( ω? ? ω=ω j ejHjH 则： G B tg BG jH 1 22 )( 1 )( ? ?=Φ + = ω ω 如图所示 东南大学移动通信国家重点实验室 0 ω LC 1 0 =ω 0 ω? G 1 )( ωjH 2 π 2 π ? G 1 2 π ? 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 幅 幅 相 相 特 特 性 性 曲 曲 线 线 （ （ 复 复 轨 轨 迹 迹 ） ） )()()( ωωω jXRjH += 用途：用于反馈系统稳定性判据（奈氏图） 特点: 1. 可用复轨迹表示，如上例谐振电路 ? ? ω cos 1 1 111 )( 222 G tg G BG jH = + = + = 在极坐标系中 ?ρ cosr= 为一个圆。 当 圈。变化时，从原点绕圆两到从∞+∞-ω 东南大学移动通信国家重点实验室 0=ω ±∞=ω G 1 LC 1± =ω R（ω） X（ω） 东南大学移动通信国家重点实验室 2．复轨迹曲线对实轴上下对称 3． 的对应点在正实轴上 ）（ ）奇函数（）（ 0 00 =? =? ??= ω ? ω?ω? 4．由于实际系统有分布电容存在，则 0→±∞→）（时，ωω jH 一定是闭合曲线? 东南大学移动通信国家重点实验室 三 三 、 、 极 极 零 零 图 图 对系统 )( )( )( )( )( 1 1 0 1 1 01 1 1 k n k i m i n n n m m m m ps zs H asas bsbsbsb sD sN sH ? ? = +???++ ++???++ == = = ? ? ? π π 其中 极点? k p 率；即系统特征根，固有频 是常数 零点； m i bH z = ? 0 东南大学移动通信国家重点实验室 如上例 设 L=1H，C=1F，G=1S，有 1 )( 2 ++ = ss s sH 则 0 1 =z 2 3 2 1 21 jp ±?= 、 1 0 =H 如图 东南大学移动通信国家重点实验室 1 z 2 1 ? σ ωj 2 3 j 2 3 j- - P1 P2 东南大学移动通信国家重点实验室 特点： 1. 对实轴上下对称 2. 广义上,极零点数相等 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? > →= ? < = ? ∞→∞→ 个无穷远处极点 个常规极点个零点 个无穷远处的零点 个常规零点个极点 极零点数相等； )( ,,..)3 ;0 1 lim)(lim .)( ,,;.)2 ,.)1 nm nmnm S bSH mn mnnm nm mn m ss Q 东南大学移动通信国家重点实验室 § § 6.3 系 系 统 统 函 函 数 数 极 极 零 零 点 点 分 分 布 布 与 与 时 时 域 域 响 响 应 应 的 的 关 关 系 系 一 一 、 、 与 与 h（ （ t） ） 的 的 关 关 系 系 )()( thsH ? 设 ∑ = ? = n k k k ps k sH 1 )( 则： ∑ = = n k tp k k ekth 1 .)( ，t≧0 东南大学移动通信国家重点实验室 结论： 1. ）极点决定（模式由sHth )( 2. ，稳定；）（若对因果系统，0lim → ∞→ th t 临界常数界若 不稳定若 c)(lim ;)(lim ≤ ∞→ ∞→ ∞→ th th t t ? 的左半开平面。在因果稳定系统的极点均s 推 推 论 论 ： ： 反 反 因 因 果 果 系 系 统 统 要 要 稳 稳 定 定 ? 极 极 点 点 均 均 在 在 s的 的 右 右 半 半 开 开 平 平 面 面 上 上 。 。 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 与 与 全 全 响 响 应 应 r（ （ t） ） 的 的 关 关 系 系 由： )()()()()()()()()( sEsNsPsRsDtepNtrpD =??= 得 )(sE sD sN sD Sp sR ）（ ）（ ）（ ）（ ）（+= 零输入响应 零状态响应 自然响应 自然响应 受迫响应 东南大学移动通信国家重点实验室 § § 6.4系 系 统 统 函 函 数 数 极 极 零 零 点 点 分 分 布 布 与 与 频 频 响 响 关 关 系 系 由： )( )( )( 1 1 0 k n k i m i ps zs HsH ?Π ?Π = = = 得 ωω jssHjH == )()( 对稳定因果系统 即： ) 1 1 0 k n k i m i pj zj HjH ?Π ?Π = = = ω ω ω （ ）（ ）（ 可用复平面上的矢量图解求出 东南大学移动通信国家重点实验室 记 i j ii i eBzjB α ω =?= → 零点矢量 ； k j kk k eApjA β ω =?= → 极点矢量 设 )( )()( ω? ? ω=ω j ejHjH 则： )()( 11 ∑∑ == ?= n k k m i i βαω? 东南大学移动通信国家重点实验室 而由矢量图解得 k n k i m j A B HjH 1 1 0 )( = = Π Π =ω 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： 全通系统 ： )(sH 的所有极点都有对虚轴成 镜像对称的零点（而没有其他零极点） 特点：1）m=n 2）幅频 ）（常数）（0HjH =≡ω 东南大学移动通信国家重点实验室