§ § 7.4 离 离 散 散 系 系 统 统 的 的 零 零 输 输 入 入 响 响 应 应 ∵ 零输入 0)( =ke ， ∴ 0)()( =kySD n 阶齐 次 定解： )1(),1(),0( ?nyyy zizizi "" 东南大学移动通信国家重点实验室 一、 )(ky zi 求法 1. 一阶 系统 ： )0(,0)()1( 0 zi ykyaky =++ 已知 0)()( 0 =+ kyaS 由 0),()1( 0 ≥?=+ kkyaky 东南大学移动通信国家重点实验室 ∴ )0()()1()2( ),0()1( 2 00 0 zizizi zizi yayay yay ?=?= ?= 0,)0()()( 0 ≥?= kyaky zi k zi "" 比较 )0(,0 0 ? =+ ′ yyay 已知， 00 0)( aappD ?=λ?=+= ∴ )()0()()( 0 teytAety tat zi ε=ε= ??λ 东南大学移动通信国家重点实验室 2． n 阶 离散 系统 0)()( =kySD ， 设 0,)( ≥= kvky k 是一 个解 ， 将 nikyviky i ,2,1,0),()("==+ 代 入方 程 得： 00)()( 01 1 1 ≥≡++++ ? ? kkyavavav n n n " 0)( 01 1 1 =++++=? ? ? avavavvD n n n " 特征 方程 。 东南大学移动通信国家重点实验室 （ 1） 设特征 根均 为单根 n vvv" 21 , ,则 0)()()( 1 2211 ≥=ε+++= ∑ = kvckvcvcvcky n i k ii k nn kk zi " （2 ）设 有 一 个 l重根 nll vvvvv ,,, 121 "" + == ，则 0)()( 1 1 1 21 ≥++++= ∑ += ? kvcvkckccky n lj k jj kl lzi " 注 ： 一 对共轭 根配 对（变 幅 正 弦 序列 ） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 举 举 例 例 例 1：电阻网络，n=3,a=2 由 0)()1() 1 2()2( =+++?+ kuku a ku 即 0)()1( 2 5 )2( =++?+ kukuku 有： 01 2 5 )( 2 =+?= SSSD ，得： 2, 2 1 21 == vv ∴ 08 8 1 )3( )0( ;3,2,1,0)( 21 21 2211 =+= =+= =+= ccu Eccu kvcvcku kk 东南大学移动通信国家重点实验室 解得： EcEc 63 1 63 64 21 ?== ∴ 3,2,1,0],2) 2 1 (64[ 63 )( =?= k E ku kk 即 0)3( 21 4 )2( 21 10 )1()0( == == uEu EuEu 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2：后 向差分方程表示 的 离散系统 1)2( 2 1 )1(0)2(2)1(2)( ?=??=?=?+?? zizi yykykyky 解 ： （ 1） 直接求解 0)22(221)( 2221 =+?=+?= ??? SSSSSSD 得 4 2,1 21 π ± =±= j ejv ∴ 2)( 2211 ?≥+= kvcvcky kk zi 东南大学移动通信国家重点实验室 由 2 1 )1( 1 22 1 11 ?=+=? ?? vcvcy zi 及 1)2( 2 22 2 11 ?=+=? ?? vcvcy zi 得 2 2 2 1 11 2 5 2 1 2 5 2 1 ?? =+==?= ? jtgjtg ejcejc ∴ )2()2tan 4 cos()2( 2 5 2 )2()cos(||||2)( 1 +?××= ++= ? kk kkvCky k k zi ε π εθ? 东南大学移动通信国家重点实验室 （ 2） 转换成 前向 方程 00)(2)1(2)2( ≥=++?+ kkykyky 1)2(2)1(2)0( =???= zizizi yyy 3)1(2)0(2)1( =??= zizizi yyy （ 余略 ，类 似（1 ） ） 得 )()2tan 4 cos()2( 2 5 2)( 1 kkky k zi ε π ? ?××= 东南大学移动通信国家重点实验室 一一 、、 零零 状状 态态 响响 应应 的的 求求 法法 ：： 时时 域域 卷卷 和和 法法 § § 7.5 离 离 散 散 系 系 统 统 的 的 零 零 状 状 态 态 响 响 应 应 东南大学移动通信国家重点实验室 设已 知单 位函 数响 应 h(k) 由： ∑ ∞ ?∞= =?= j kkejkjeke )(*)()()()( δδ 记 则 ∑ +∞ ?∞= ?== j zs jkhjekhkeky )()()(*)()( 卷积 和 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∑ ∑ ?∞= ∞ = k j j jkhje kejkhje 因果 有始 )()( )()()( 0 二 二 、 、 卷 卷 和 和 的 的 计 计 算 算 图 解法, 不进位长乘 法, 解析法 , 性质（ 结合查表） , Z 变换 法 1. 图解法 ，有限长序列的卷 积 和 例： {}210312)( ，，；，， == kke {}210321 ，，，，，）（ == kkh 则由公式： ∑ = ?== k j jkhjekhkeky 0 * ）（）（）（）（）（ 直接计算得： 东南大学移动通信国家重点实验室 2120000 =×===? ）（）（）（， heyk 514011011 =+=+== ）（）（）（）（）（， heheyk 1102112022 =++== ）（）（）（）（）（）（）（， heheheyk 9233133 =×+×== ）（， yk 93344 =×== ）（， yk 其它 k： y（k ）= 0 ∴ {}4,3,2,1,0;9,91152 == kky ，，，）（ （卷 和结 果 仍 是 一 个 序 列） í 与图解对比 东南大学移动通信国家重点实验室 ★图解 法四步： ∑ +∞ ?∞= ?== j jkhjeheky )()(*)( （1 ） 反褶： )()( jhjh ?→ （2 ） 平移： )()( jkhjh ?→? ，移 k位 （3 ） 相乘： )()()( jgjkhje =? （4 ） 相加： ∑ = )()( kyjg （5 ） 1+= kk ：回到 （ 2） 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 不进位长 乘法 2 1 3 1 2 3 ---------------------------------- 6 3 9 4 2 6 2 1 3 --------------------------------------- 2 5 11 9 9 上 /下限是两 个序列上 /下限之和 。 对本题，两 个 序列起始 均为 k=0，故 {}4,3,2,1,0;9,91152 == kky ，，，）（ K=0, 东南大学移动通信国家重点实验室 3．解析法： 针对无限长序 列 例 1： )()()()( kbkhkake kk ε=ε= ， 求 hebaky k j jkj *)( 0 == ∑ = ? 解 ： ∑∑∑ == ? = ? === k j jk k j jjk k j jkj b a bbabbaky 000 )()( 东南大学移动通信国家重点实验室 1） a=b时 ，为 )()1( kak k ε+ 2） a≠ b时 ，为 )(][ 1 1 ])(1[ 11 1 kab ab b a b a b kk k k ε? ? = ? ? ++ + )()1()(*)( kkkk ε+=εε? 东南大学移动通信国家重点实验室 例2 ： e(k)=2 k y(k)=? )() 3 1 (h(k) k kε= +∞<<∞ k- 解： ∑∑ ∑ ∞+ ?=?∞= ?∞= ? == == kj jk k j jk k j jkj khkeky ) 6 1 () 3 1 (6) 3 1 ( ) 3 1 (2)(*)()( +∞<<∞?= ? = ? k k k k )2( 5 6 6 1 1 ) 6 1 ( ) 3 1 ( 注： vz kk zHvkykvke = =?+∞<<∞?= |)()()( 东南大学移动通信国家重点实验室 三 三 、 、 卷 卷 和 和 的 的 性 性 质 质 1． 代数 运算 性 质 （ 1） 交 换律 e*h=h*e （2 ）结 合 律 (e*h1)*h2=e*(h1*h2) 串联 等效 （ 3） 分 配率 e*(h1+h2)=e*h1+e*h2 并联 等效 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 有限长序列 A(k),B(k)，项数为 BA NN , ， 则 C(k)=A(k)*B(k)有限长，且满足： （1）项数 1?+= BAC NNN 线性卷和 （2）上下限 = 各自上下 限之和 （3） ))()()(()( ∑∑∑ = jBjAjC 东南大学移动通信国家重点实验室 3． )()(*)( kekke =δ ，则 ? ? ? ? ? ? ? δ ?δ =δε=ε ∑ ∑ = = k j k j j jk kkk 0 0 )( )( )(*)()( )()(*)( nkenkke ?=?δ 4． 延时 性 设 )(*)()( khkeky = ， 则 )()(*)( 2121 nnkynkhnke ??=?? 东南大学移动通信国家重点实验室 四 四 、 、 单 单 位 位 函 函 数 数 响 响 应 应 h(k)的 的 求 求 法 法 常用 Z反 变 换 )]([)( 1 zHZkh ? = ， 其中： zS SHzH = = |)()( 下 一 章介绍。 本章：算子法 设 ∑∑ == = ? == n i i n i i i SH vS k SD SN SH 11 )( )( )( )( ， 则 ∑∑ = ? = ?ε=δ=δ= n i k ii n i i kvkkSHkSHkh 1 1 1 )1()()()()()()( 东南大学移动通信国家重点实验室 注： （1 ）m =n时 ， 如 vS v vS S SH ? += ? = 1)( ∴ )()1()()()( 1 kvkvvkkh kk ε=?ε+δ= ? （2 ） 分 解 时 ， 基本 因 式 用 vS S ? （可 以 先 "+ ? ′ = i i vS k S SH )( ， 后乘 S， 得 i i vS Sk ? ' ）或 vS ? 1 （ 3）全响应 )()()( kykyky zszi += 东南大学移动通信国家重点实验室 例 7-4 略见 教 材 注） )()()()( iyiyiyiy zizszi ≠+= 东南大学移动通信国家重点实验室 ~End of Chapter 7~ 东南大学移动通信国家重点实验室