Chapter 4 连续时间系统的频域分析 东南大学移动通信国家重点实验室 §4-1 引言（从频域求响应） 本章重点：傅里叶变换分析法； 各种理想滤波器的频响与冲激响应； 调制与解调。 § 4-2 信号通过系统的频域分析方法 东南大学移动通信国家重点实验室 I、周期信号通过系统的响应：正弦稳态响应 II、信号通过系统的频域分析法 －用傅里叶变换求零状态响应 东南大学移动通信国家重点实验室 一、F.T.分析法 对零状态系统： )()()()( tepNtrpD = 由 )()()()()()()( ωω=ωω?ωω? jEjNjRjDjFjtfp nn 或 )()()( )( )( )( ωωω ω ω ω jEjHjE jD jN jR 记 == 其中 )( )( )( ω ω =ω jD jN jH 为系统频响 得： )]()([)]([)( 11 ωωω jEjHFjRFtr ?? == 二、F.T.分析法的含义 东南大学移动通信国家重点实验室 时域 )()()( thtetr ?= 频域由： ω π ω π ω ωω de HE de jE tjtj 22 )( ? ??→? 线性 则： )(][ 22 )( 1 trHEFde HE de jE tjtj =?= ? ??→? ? +∞ ∞? +∞ ∞? ∫∫ ω π ω π ω ωω线性 东南大学移动通信国家重点实验室 说明： )()()( ωω=ω jHjEjR 时域卷积 ? 频域乘积 代价：正反F.T 不方便求 三、关于频响 )( ωjH 1． )( )( ω ω jD jN 是频响 )( ωjH 的说明： 东南大学移动通信国家重点实验室 令 tj ete ω =)( ，则 tj ejHtr ω ω)()( = （由正弦稳态概念） 将 )(),( trte 代入方程 )()()()( tepNtrpD = 得： )( )( )( )()()( ω ω ω ωωω ωω jD jN jH ejNejHjD tjtj =? = 2． )( ωjH 的几种定义与求法 东南大学移动通信国家重点实验室 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = == == = = )]([ )]([ )()( )( )( )( )()( )( )( )()()()()()( . teF trF jHc pH jE jR jHb jD jN jHtepNtrpDa zs jp sz ω ω ω ω ω ω ω ω & & 由电路 直接得由 （1） 零状态下 )( )( )( ω ω ω jE jR jH = （2） )()( .. ωjHth TF ??→← 即： )]([)( thFjH ? =ω 东南大学移动通信国家重点实验室 ∵ )()()( thtetr zs ?= ∴ )()()]([)()( ωωωω jHjEthFjEjR ZS ==? ∴ )()( thjH ?ω （3） tj tj e e jH ω ω ? =ω 下零状态响应 )( 东南大学移动通信国家重点实验室 例1：图示电路 )()( tte ε= ，求 )(tU R 。 解：1） ω +ωπδ=ω j jE 1 )()( 频谱如图 东南大学移动通信国家重点实验室 2） )( )( 2 1 1 1 1 1 1 1 1 )( ω ω = +ω = + ω ω + + ω ω =ω jE jU j j j j j jH R & & 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 3） 2 1 2 1 2 1 )( 2 ] 1 )([ 2 1 )()()( + ?+=+ + = = ωω ωδ π ω ωπδ ω ωωω jjjj jEjHjU R ∴ )(]1[ 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 22 tetettU tt R ε?=ε?ε= ?? 例2：若 )()()( 0 tttte ?ε?ε= ，求 )( 2 tU R 。 东南大学移动通信国家重点实验室 解： )()()( 02 ttUtUtU RRR ??= 由上例 注：（1）若直接求取： 2 1 ) 2 ( )()()( 2 0 0 2 0 + ?= = ? ω ω ωωω ω j e t Sat jHjEjU t j R 反变换不易！ （2）输出失真的判定与解决（见4.8节） 东南大学移动通信国家重点实验室 § 4-8 信号通过系统的不失真条件 东南大学移动通信国家重点实验室 若 )()( 0 ttKetr ?= K为常数， 0 t 为群时延（常数）， 则 输出不失真。 才不失真？ 由 )()()()( 0 ωω=ω=ω ω? jHjEejKEjR tj 记 得 对系统频响的要求为： )( )()( 0 ω? ωω ω j ejHKejH tj ? ? ? == 东南大学移动通信国家重点实验室 具体说来：（1）幅频是常数； （2）相频是过原点的斜线。 注： 实用中，只需在输入信号频带范围内满足上述特性即可； （图 示 于 黑 板） 东南大学移动通信国家重点实验室 § 4-3 理想低通滤波器的冲激与阶跃响应 东南大学移动通信国家重点实验室 一、 理想低通的频率特性 设 )( )()( ω?? ω=ω j ejHjH 则 理想低通频率特性为： 0 )]()([)( 00 tj cc eKjH ω ωωεωωεω ? ??+= 如图所示 东南大学移动通信国家重点实验室 二、冲激响应 )(th 东南大学移动通信国家重点实验室 设 )()]()([)( 1001 thKH cc ???+= ωωεωωεω 即暂不考虑相频特性，则： )()(2 2 1 )]([ 2 1 )( 0 0 00 11 tSa K tKSa tHFth c c cc t ω π ω ωω π π ω == = = ∴ )]([)( 00 0 ttSa K th c c ?ω π ω = 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 结论： 1）信号缓变。上升时间 0c ω π ≈ 2）与原激励信号相比有延时t 0 3）非因果系统。 三、 阶跃响应 )(tr ε 东南大学移动通信国家重点实验室 由 时域法可得： ))](( 2 1[ 2 )()()( 00 ttSi K thttr c ?ω π +=?ε= ε 其中， ∫∫ λ λ λ =λλ= xx ddSaxSi 00 sin )()( 称为 “正弦积分函数” x 东南大学移动通信国家重点实验室 波形如图： ππ 2 x 频域法验证： 由 )(] 1 )([)( ω? ω +ωπδ=ω ε jH j jR ∴ ∫ ∫ + ? ?? +∞ ∞? ? ?+= = 0 0 0 ] 1 )([ 2 1 )( 2 1 )( c c deKe j dejRtr tjtj tj ω ω ωω ω εε ω ω ωπδ π ωω π ] 11 1[ 2 0 0 0 )( ∫ ω+ ω? ?ω ω? ωπ += c c de j K ttj 东南大学移动通信国家重点实验室 ])( )( )(sin 2 1[ 2 0 0 0 0 0 ∫ ω+ ?ω ?ω ?ω π += c ttd tt tt K ])()]([ 2 1[ 2 0 0 00 ∫ ω+ ?ω?ω π += c ttdttSa K ] 2 1[ 2 )( 0 00 ∫ ?+ += tt c dSa K ω λλ π [] ? ? ? ? ? ? ?+= )( 2 1 2 00 ttSi K c ω π 东南大学移动通信国家重点实验室 理想低通滤波器的阶跃响应如图所示 讨论：（1）缓变。上升时间 00 284.3 cc r t ω π ≈ ω = ； （2）延时 0 t ； （3）非因果系统。 2 K 东南大学移动通信国家重点实验室 §4-4佩里－维纳准则 因果系统须满足Paley-Wiener条件： 1． Paley-Wiener准则（必要条件）： ∞<ω ω+ ω ∫ ∞+ ∞? d jH 2 1 )(ln 即 幅频不存在零频带；亦不得超过 指数0阶。 东南大学移动通信国家重点实验室 2． （原型低通）能量有限，即 ∞<=ω π ω ∫∫ ∞+ ∞? ∞+ dtthd jH )( )( 2 0 2 。 东南大学移动通信国家重点实验室 注1：理想滤波器（除全通或全电阻网络）， 即理想低通、理想高通、理想带通、 理想带阻 均为非因果。 注2：理想滤波器的逼近。