东南大学移动通信国家重点实验室 第二章 连续系统的时域分析 §2-8 卷积及其性质 一、 定义 两个函数 +∞<<∞? ttftf ),(),( 21 则 ∫ +∞ ∞? ? ?= τττ dtfftftf )()()(*)( 2121 即 求两函数 )( 1 τf 和 )( 2 τ?tf 在公共非零区间上乘积函数 )()( 21 ττ ?tff 的代数净面积。 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 卷积图解 例1：求图示两信号 )(),( 21 tftf 的卷积 )(*)()( 21 tftfty = X-Axis X-Axis Y-A x i s Y-A x i s11 00 tt 1 t 2 t )( 1 tf )()( 2 tetf t ε ? = X-Axis Y-Axi s 0 1 )( 2 τ?tf Y-Axi s 0 1 )()( 21 ττ ?tff X-Axis 1 t 2 t t τ τ 东南大学移动通信国家重点实验室 由 ∫ +∞ ∞? ?= τττ dtffty )()()( 21 讨论如下： （1） 0)(, 1 =<<∞? tytt （2） )()( 21 1 1 11)(, tt t t t edetyttt ???? ?=?=<≤ ∫ τ τ （3） )()()( 2 12 2 1 )1()(, tttt t t t eedetytt ?????? ?=?=∞<≤ ∫ τ τ （4） 0)(, →∞→ tyt 东南大学移动通信国家重点实验室 由上知： 图解步骤：选t，（1） 2 f 反褶；（2） 2 f 平移 t ；（3）在公共部分相乘；（4）积分 tty改变求?? )( 本例的另一种写法： )(][)]()(][1[)( 2 )()( 21 )( 121 tteettttety tttttt ??+????= ?????? εεε )(][1[)(]1[ 2 )( 1 )( 21 ttette tttt ?????= ???? εε 东南大学移动通信国家重点实验室 三、卷积的性质 1． 代数运算性质 （1） 交换律： )(*)()(*)( 1221 tftftftf = ? 系统串联与子系统次序无关； （2） 分配律： )(*)()(*)( ))()((*)( 3121 321 tftftftf tftftf += + ? 系统并联等效； 东南大学移动通信国家重点实验室 )( 1 th )( 2 th )(te )(*)( 1 thte )(*)( 2 thte )(tr ))(( 1 sH ))(( 2 sH ))(( sE ))(( sR 东南大学移动通信国家重点实验室 由 )]()([)( )()()()()( 21 21 ththte thtethtetr +?= ?+?= 得等效图： )()()( 21 ththth += )(te )(tr ))()(( 21 sHsH + 东南大学移动通信国家重点实验室 （3）结合律：321321 *)*()*(* ffffff = ? 系统串联等效； )( 1 th )( 2 th )( te )(*)( 1 thte )*(* *)*( 21 21 hhe hher = = ))(( 1 sH ))(( 2 sH ))(( sE ))(( sR 相当于： )(*)()( 21 ththth = )( te )( tr ))()(( 21 sHsH ? 注：回顾（1）结论 （∵ 1221 ** hhhh = ∴ 21 , hh 的顺序无关紧要）。 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 微积分性质 （1） 微分： dt df ff dt df ff dt d 2 12 1 21 **]*[ == （2） 积分： ])([*)( )(*])([)(*)( 21 2121 ∫ ∫∫ ∞? ∞?∞? = = t tt dxxftf tfdxxfdxxfxf 东南大学移动通信国家重点实验室 （3）微积分综合： dt df dxxfdxxf dt df tftf tt 2 12 1 21 *)()(*)(*)( ∫∫ ∞?∞? == 恒等的条件： 0)( 1 =?∞f 0)( 2 =?∞f 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 延时性 若 )()(*)( 21 trtftf = 则 )()(*)( 212211 tttrttfttf ??=?? 4．与 )(tδ 的卷积 （1） )()(*)( tfttf =δ （2） )()(*)( 00 ttftttf ?=?δ 东南大学移动通信国家重点实验室 （3） ))((*)()(*)( )()( ttfttf nn δδ = （4） dxxfdxxtf n t n t )()()()(*)( ∫∫ ∞?∞? =δ 如：① ∫ ∞? = t dxxfttf )()(*)( ε ② )()(*)( tttt εεε = 东南大学移动通信国家重点实验室 5． 有限区间上信号的卷积 若 )( 1 tf ： ),( 21 ttt∈ ； )( 2 tf ： ),( 43 ttt∈ 则： ),(,*)( 423121 tttttffty ++∈= 6． 卷积定理： ][* 2121 FFff ?= 1- L 东南大学移动通信国家重点实验室 例2：用交换律重新求前面的例1。 Y- A x i s 0 1 )()( 21 tftf ? X-Axis 1 t? 2 t? 1 tt? 2 tt? τ )( 1 τ?f )( 2 τf f 1 (t-τ) 东南大学移动通信国家重点实验室 讨论： （1） 0)(, 1 =<<∞? tytt （2） )1( 0 21 11)(, 1 tt tt edetyttt ?? ? ? ?=?=<≤ ∫ τ τ （3） )1()2( 2 1 2 1)(, tttt tt tt eedetytt ???? ? ? ? ?=?=∞<≤ ∫ τ τ （4） 0)(, →∞→ tyt 观察时间与前例相同，积分限及表达式均有变化，但结果相同。 东南大学移动通信国家重点实验室 例3：用延时性和分配律再求前例。 X-Axis X-Axis Y- A x i s Y- A x i s 1 1 0 0 t t 1 t 2 t )()()( 211 tttttf ???= εε )()( 2 tetf t ε ? = 东南大学移动通信国家重点实验室 而 )(][1[)(]1[ )]()([*)()(*)( 2 )( 1 )( 2112 21 ttette tttttetftf tttt t ?????= ???= ???? ? εε εεε 其中： )()1()(*)( ) tette tt εεε ?? ?= 东南大学移动通信国家重点实验室 例4：求下图两矩形脉冲的卷积(设τ 1 >τ 2 )。 X-Axis X-Axis Y- Ax i s Y- A x i s 0 t t 1 t 2 t )( 1 tf A B )( 2 tf 3 t 4 t 1 τ 2 τ 0 东南大学移动通信国家重点实验室 Y- A x i s 0 )()( 21 tftfy ?= t X-Axis 2 τ 31 tt + 42 tt + 2 τ AB 斜率k=AB斜率k=-AB 21 ττ ? 结论：两个门函数相卷： （1）梯形波，其上、下限符合前述讨论（见三--5）； （2）当 21 ττ = 时，梯形波变为三角波。 东南大学移动通信国家重点实验室 另法：微积分法： X-Axis Y- Axi s 0 0 t t 1 t 2 t )( 1 tf ′ (A) ∫ ∞? t dxxf )( 2 3 t 4 t (A) 2 τB Y- A x i s 0 )()( 21 tftfy ?= t X-Axis 东南大学移动通信国家重点实验室 说明：（1）当出现冲激分量时，写成两者迭加形式，分别参与卷积运算（及 时分离冲激分量）； （2）看清积分区间，如： Y- A x i s 0 X-Axis τ f 2 (t-τ) f 1 (τ) （3）对无法用表达式写出的信号，先用折线近似，再用微积分性质； （4）可以借助卷积表。 东南大学移动通信国家重点实验室 §2-9 线性时不变系统响应的求解 对系统 )()()()( tepNtrpD = 或 )( )( )( )()()( te pD pN tepHtr == 1． )(tr zi ：由特征根 0,)( ≥=? ∑ tectr t izii i λ λ 2． )(*)()( thtetr zs = （1） )]([)( sHth -1 L= （建议用此法），模式同 )(tr zi； (2) 卷积：多种方法 （如：图解、性质、查表等）。 东南大学移动通信国家重点实验室 例：求下图响应 )(tu ， )()1()( 3 tete t ε ? ?= 。 C=1F + - )(tu )(te + - ?= 1R Vu 1)0( = ? + - 东南大学移动通信国家重点实验室 解： 由方程： )()()1( tetupRC =+ 得： p pH tetup + =? =+ 1 1 )( )()()1( （1） )()()(,1 tetcetu tt zi εελ ?? ==?= （2） )()( teth t ε ? = （3） )(] 2 1 2 1 1[*)( 3 teehetu tt zs ε ?? ??== 东南大学移动通信国家重点实验室 )()()( )1( tututu zsziC +=? +?= ?? )(] 2 1 [ tee tt ε )(] 2 1 1[ 3 te t ε ? ? )2( = 自由响应 + 受迫响应 )()()( 2 1 3 ttee tt εε +?= ?? )3( = 瞬态响应 + 稳态响应 东南大学移动通信国家重点实验室 小结： 零输入响应 ∑ →)(tec t i i ε λ 自由响应 ???→? 稳定系统 瞬态； 全响应 零状态响应 →= her zs * 受迫响应 稳态 东南大学移动通信国家重点实验室 ~End of Chapter2~