第二章 连续系统的时域分析 § 2-1 引言 时域：变量 t； 模型：常系数线性微分方程（组） 。 求解 : ? ? ? ? ? ? ? ? → 间接法，迭加积分。 等效源；初态 直接求齐次方程； :)( )( tr tr zs zi 东南大学移动通信国家重点实验室 例 1： RLC 串联电路， e(t)激励，求响应 i(t)。 R L C i(t) + - e(t) 解： . )( )( 1)()( ),()( 1 2 2 dt tde ti Cdt tdi R dt tid L tedtti C Ri dt di L t =++ =++ ∫ ∞? 或 东南大学移动通信国家重点实验室 § 2-2 算子方程 一、 算子定义 微分算子 dt d p ? = ， 积分算子 ∫ ∞? ? = t d p τ)( 1 " 。 注： 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为： LL ipLu ??= CC i pC u ? ? = 1 即可以将电感和电容记成阻值为 pL? 和 Cp? 1 的阻抗。 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 算 子运算法则 1． 算子多项式可进行代数运算；如（ p+1） (p+2)=p 2 +3p+2 2． 关于相消 ? ? ? ? ? ? ? =?∞≠? ≡× .0)(.1 1 ;1 1 fp p p p 除非 3． 由 ).()(,)()()()( ?∞??∞=+=??=? gfCCtgtftgptfp 结论： （ 1）求 )(tr zi 时，算子一般不能随意消去； （ 2）求 )(tr zs 时，若激励有始，且系统因果， 则算子可 以相互抵消。 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 算 子方程举例 例 2：例 1 的电路可以变为 R pL 1/(pC) i(t) + - e(t) 东南大学移动通信国家重点实验室 则算子方程为 )()() 1 ( teti pC RpL =++ 或： )( 1 )() 1 ( 2 tpe L ti LC p L R p =++ 变换规律： . 1 ;;; pC CpMMpLLRR ???? 注意：与拉氏变换不同之处是，信号在这儿不用变换。 东南大学移动通信国家重点实验室 例 3：一般系统，有 ).()()()( 01 1 10 1 1 tebpbpbpbtrapap m m m m n n n ++++=+++ ? ? ? ? "" 其中， ji ba , 是常系数， n 是系统阶数（表达式中最高次与最低 次之差） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 简记为： )()()()( tepNtrpD = 或： )()()( )( )( )( tepHte pD pN tr ? == 其中： )(pH ：算子形式系统函数或转移算子； )(pD ：特 征多 项式 ，其 根为 特征 根（ 自由 频率 ，固 有频 率） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 § 2-3 零输入响应 )(tr zi 的求法 齐次方程 0)()( =trpD 的求解 一、 直接求解齐次方程 1． 一阶系统 ).0()0().0()(,0)()( ? ==≥==? rrctcetrtrp zi t zi 其中有 λ λ 注： （ 1） );0()0()0( +? == zizizi rrr （ 2） 0)0( = ? zs r （对有始输入，因果系统条件下） ， .0)0( ≠ + zs r 东南大学移动通信国家重点实验室 2． n 阶系统 .0)( 0 1 1 =+++= ? ? apappD n n n " 由此，求出特征根 n λλλ" 21 , ，则 ∑ = λ ≥= n i t izi teCtr i 1 0,)( 。 定解条件： ).0()0(),0( )1( ???? ′ n rrr" 注意： 要将一对共轭根分量 βαλ j±= 2,1 合并成 )()cos(2 tteC t εθβ α + 形式，其中 θj eCC ± = 2,1 。 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 有一个 k 重根 k λ==λ=λ" 21 ，其余非重根。 则： ∑ += λ λ? ≥+++++= n kj t j tk kzi tecetctctcctr j 1 12 321 0,)()( 1 " 定解条件： ).0()0(),0( )1( ???? ′ n rrr" 东南大学移动通信国家重点实验室 例：二阶串联谐振电路（ RLC） ，求 响应电流 i(t)。 1H 1F + - V10)0( = ? C u ?2 i(t) 0)0( = ? L i 东南大学移动通信国家重点实验室 解： 1，建 模 ： 0)( 1 )( )( =ττ++ ∫ ∞? di C tRi dt tdi L t 或 0)() 1 2( =++ ti p p , 即 0)()12( 2 =++ tipp 。 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 2，求解 ： ∵ ,1 21 ?==λλ ∴ 0,)(r 21zi ≥+= ?? ttecect tt 而 1 0)0()0( cii L === ?? ， 又由微分 方程 .0)0()0(2)0( =++ ′ ??? C uii ∴ ),(10)0( 21 cci ??=?= ′ ? ∴ ,10 2 ?=c ∴ 0,10)( ≥?= ? ttetr t zi ，如图所示 3，解释： 电流没有振荡。原因： C L R 2= ，系统处于临界阻尼状态。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 → y 轴 → x轴 东南大学移动通信国家重点实验室 注： （1） )(tr zi 模式取决于特征根； （ 2） 由 特 征 根 得 到 的 通 解 )(tr zi 的模式不一定能确定系统的 阶数。 （有可能定解时由于系数为零而未出现） 东南大学移动通信国家重点实验室 二 、 初 态转 化为 等效源（ 图中 括号 中的 字体 为拉 氏变 换的 变量 ） + - )(tu )(ti C + - )0( ? c u + - )(tu )(ti C + - + - ) )0( ( s u C ? ) 1 ( sC + - )(tu )(ti C + - )()0( tCu c δ ? ))0(( ? c Cu ) 1 ( sC u c (0 - )ε (t) 东南大学移动通信国家重点实验室 + - )(tu )(ti L )0( ? L i + - )(tu )( ti L )()0( ti L ε ? ) )0( ( s i L ? )(sL + - )(tu )(ti L )()0( tLi L δ ? ))0(( ? L Li )(sL - + + — 东南大学移动通信国家重点实验室