东南大学移动通信国家重点实验室 Chapter 3 信号分析 §3-6 常用信号的傅里叶变换（广义F.T. 广义谱） §3-7 周期信号的傅里叶变换（广义F.T. 广义谱） 1． 1)( ?δ t （由 1)()( =δ=ω ∫ +∞ ∞? ω? dtetjF tj ，而 )(1 2 1 )( tdetf tj δω π ω ? +∞ ∞? =?= ∫广义定义） ? ? ? ? ? ? ? ωπδ= πδ=ω ∫ ∫ ∞+ ∞? ω± +∞ ∞? ω± )(2 )(2 dte tde tj tj 或 或 ? ? ? ? ? ? ? 广义定义 东南大学移动通信国家重点实验室 2． ω +ωπδ?ε j t 1 )()( ∫∫ +∞ ω? +∞ ∞? ω? =ε=ω 0 )()( dtedtetjF tjtj 令 )(lim)( 0 tet t ε=ε α? →α ，则 ω+α =ω →α j jF 1 lim)( 0 ， 而 ω ≠ ω+α →α jj 11 lim 0 （ )(tε 非奇函数） 东南大学移动通信国家重点实验室 由 ω + ω+α α = ω+α ω ? ω+α α =ω →α→α j jjF 1 lim}{lim)( 22 0 2222 0 其中： )( 0,0 0, lim 22 0 ωδ= ? ? ? ≠ω =ω∞ = ω+α α →α A ，而 π=ω ω+α α = ∫ +∞ ∞? →α dA 22 0 lim 东南大学移动通信国家重点实验室 3．直流 )(2 ωδπ? AA 由 )(2)( ωδπω ω AdtAejF tj == ∫ +∞ ∞? ? 注： )(2 2 )( ωδπ ω π ω ω π A d A jF d A n →→= 直流& 4． 符号函数 1)(2)()( 0,1 0,1 )sgn( ?=??= ? ? ? <? > = ttt t t t εεε ω =ωπδ? ω +ωπδ? jj t 2 )(2] 1 )([2)sgn( 东南大学移动通信国家重点实验室 5．虚指数信号 )(2 )(2 c tj c tj c c e e ω+ωπδ? ω?ωπδ? ω? ω 6．余弦（可用5推） )]()([cos ccc t ω?ωδ+ω+ωδπ?ω 7．正弦（用5推） )]()([)]()([sin ccccc jjt ω?ωδ?ω+ωδπ=ω+ωδ?ω?ωδπ??ω 8． 周期信号 T e A tf n tjn n T π =?= ∑ +∞ ?∞= ? 2 , 2 )( & 则 ∑∑ +∞ ?∞= +∞ ?∞= ??ωδπ=??ωπδ=ω n n n n T nAn A jF )()(2 2 )( & & 东南大学移动通信国家重点实验室 9． 周期性冲激序列 T e A nTttf n tjnn n π =?=?δ= ∑∑ +∞ ?∞= ? +∞ ?∞= 2 , 2 )()( & 其中， L & 2,1,0, 2 )( 2 ±±=== ?= n T jF T A n n ωω ∴ ∑∑ ∑ ∞+ ?∞= ∞+ ?∞= +∞ ?∞= ???=??= ??= nn n nT nn T nAjF )()( 2 )()( ωδωδ π ωδπω & 注：（1）有F.T.的表可查； （2）常用F.T.性质求 )( ωjF 。 东南大学移动通信国家重点实验室 §3-8 傅里叶变换性质——信号时域波形与频域频谱的关系 前提：设 )( |)(|)()( ω?? ? ω=ω? i j iii ejFjFtf 1． 线性性质： ∑∑ ω? i ii i ii jFatfa )()( 2． 延时特性： ])([ 0 0 0 |)(| )()( tj tj ejF ejFttf ωω ω ω ω +Φ? ? = ?? 东南大学移动通信国家重点实验室 例： )] 2 () 2 ([)( τ ?ε? τ +ε= ttAtf 门函数 ∴ 22 ] 1 )([] 1 )([)( τ ω? τ ω ω +ωπδ? ω +ωπδ=ω jj e j Ae j AjF ) 2 () 2 sin( 2 ωτ τ= ωτ ω = SaA A 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 调制（移频）性质： c c jFetf tj ω?ω=ω ω ω? |)()( （仅是 ω 频移，而非 ωj ）。 或 ? ? ? ? ? ? ? ω+ω?ω?ω?ω ω+ω+ω?ω?ω )]()([ 2 1 sin)( )]()([ 2 1 cos)( ccc ccc jjFjjF j ttf jjFjjFttf 例：已知： )(21 ωπδ? ，则 )(2 c tj c e ω+ωπδ? ω? 东南大学移动通信国家重点实验室 例：求 )()cos( tt c εω 的频谱 )( 1 ωjF 。 东南大学移动通信国家重点实验室 } )( 1 )({ 2 1 } )( 1 )({ 2 1 )( 1 c c c c jj jF ωω ωωπδ ωω ωωπδω ? +?+ + ++= )( 4 )}()({ 2 22 c cc j ω?ω ω +ω?ωδ+ω+ωδ π = 4． 尺度变换（比例）性质： )( || 1 0 )( a jF a a atf ω ? ≠ ， >=τ<常数B 例： ?)( 0 ??tatf 东南大学移动通信国家重点实验室 解： 0 1 0 10 )( || 1 )()( )()()( t a j atg tj tgttf e a jF a ejFtf ω ? ω? =? ω →ω→ 或 0 0 2 2 )( || 1 )( || 1 )( )( )()( t a j a t tg tgatf e a jF aa jF a tf ω ? ? = ω → ω → 例：已知 )(tf 的带宽为B，求 )63( ?tf 的带宽。 解： )63( ?tf 的带宽与 )3( tf 的带宽相等（相移不改变幅频） ∴ )63( ?tf 的带宽为 B3 东南大学移动通信国家重点实验室 解： )63( ?tf 的带宽与 )3( tf 的带宽相等 （相移不改变幅频） ∴ )63( ?tf 的带宽为 B3 东南大学移动通信国家重点实验室 5． 互易（对称）性质： 若 )()( ω? jFtf ，则 )(2)( ω?π? fjtF 常用则 也是实偶实偶若 )(2)( ,)()()( ωπ ωω ftF FjFtf ? =?? 或 由 F )(2)]([ ωπ= ftF ， 得 π = 2 1 )(tf F t tF =ω |)]([ 东南大学移动通信国家重点实验室 例1：由 1)( ?tδ ，则 )(2)(21 ωπδωπδ ???? AA 例2：求信号频谱，如 ) 2 ()( 2 t SaAtf τ τ= ，求 )( ωjF 由 ) 2 (2) 2 ()( 22 τω τπ= τω τ? SaASaBtF ∴ AB π= 2 得 )( ωjF 如图 东南大学移动通信国家重点实验室 例3：求原信号 )(tf 。 解：由 )(2) 2 2 (2)( 1 1 ωπ= ωω ?ω? fSatF 则 )()( 1 1 tSatf ω π ω = {= π2 1 F t tF =ω |)]([ } 东南大学移动通信国家重点实验室 例4：求 )( 4 tf 。 解：与上例相比， )]([|)()( 01 1 4 0 ttSatftf ttt ?ω π ω == ?= 东南大学移动通信国家重点实验室 例5：求 )( 5 tf 。 解：法一：直接用互易定理。 东南大学移动通信国家重点实验室 法二：（调制） ttftf c ωcos2)()( 5 ?= ＝ttSa c ωω π ω cos2)( 1 1 ? 若再有 1 ) 6 ()( tcωωω? ?= 则 )](cos[)]([ 2 )()( 111 1 156 ttttSattftf c ?ω?ω π ω =?= 若又有 27 )( tω=ω? ， 则 )cos()]([ 2 cos)(2)( 21 1 47 tttSattftf cc ωω π ω ω ?== 东南大学移动通信国家重点实验室 6． 时域微积分性质 （1） )()( )( ωω? jFj dt tfd n n n ； （2）设 )()( ω? jGtg ，则 )()0( )( )( ωδπ+ ω ω ?ττ ∫ ∞? G j jG dg t ， 其中 ∫ +∞ ∞? = dttgG )()0( ； 东南大学移动通信国家重点实验室 （3） )()]()([ ] )( [ )( ωδ?∞++∞π+ ω ? ff j dt tdf F tf 证：由（2）， )( )( )( ?∞+τ τ τ = ∫ ∞? fd d df tf t 则 )()(2)() )( ( ] )( [ )( ωδ?∞π+ωδτ τ τ π+ ω =ω ∫ ∞+ ∞? fd d df j dt tdf F jF )()]()([ ] )( [ ωδ?∞++∞π+ ω = ff j dt tdf F 东南大学移动通信国家重点实验室 例：由 1)( ?δ t 则 )(1 1 )()( ωδ??π+ ω ?δ=ε ∫ ∞? j dttt t 例：三角脉冲的 )( ωjF )( ' tf A 东南大学移动通信国家重点实验室 ∴ 22 ) 2 () 2 ()( τ ω? τ ω ωτ ? ωτ =ω jj eASaeASajG 2 sin2) 2 ( ωτωτ = jASa ∴ 0)0( =G ∴ ) 2 ()( 1 )( 2 ωτ τ=ω ω =ω SaAjG j jF 东南大学移动通信国家重点实验室 7． 频域微分性质： n n n d jFd tfjt ω ω ?? )( )()( 特别： 1=n 时， ω ω ? d jdF jttf )( )( 例：已知 )()( ω? jFtf 实偶，求 )1()1( tft ?? 的F.T. 解：令 )()( tgttf = ，则 ω ω =ω d jdF jjG )( )( ) 2 ( 1 1 )()( )( || 1 )1()1()1( 0 0 π ω ω ω ω ω ω ω ω +? ? ?= ?= ? =? ??=?? = j j t a t a j e d jdF e d jdF j e a jG a tgtft 东南大学移动通信国家重点实验室 8． 卷积定理 （1） 时域卷积定理： )()()(*)( 2121 ωω? jFjFtftf （2） 频域卷积： )(*)( 2 1 )()( 2121 ωω π ? jFjFtftf 例： ω ω ωδπ ω ωπδω εττ j jG G j jG ttgdg t )( )()0(] 1 )()[( )(*)()( +=+= = ∫ ∞? 东南大学移动通信国家重点实验室 例1： )()(2*)( 2 1 )( cc tj jjFjFetf c ω?ω=ω?ωπδω π ? ω 例2：已知 )( 1 tf 的带宽为 1 B ， )( 2 tf 的带宽为 2 B ，求 )()( 21 tftf 的带宽。 解： B=B1+ B2 东南大学移动通信国家重点实验室 例3：已知 2 )( 1 )( ω+α =ω j jF ，求 )(tf 。 解：法一： )( 1 )( 1 )( ω+α ? ω+α =ω jj jF ， ∴ )()(*)()( ttetetetf ttt ε=εε= α?α?α? 法二：∵ ω+α ?ε α? j te t 1 )( 而 )( )( 1 ) 1 ( 2 tte jjd d j t ε? ω+α = ω+αω α?