Chapter 5 连续时间系统的复频域分析 § 5-6 （单边）拉氏变换的主要性质 设 )()()( sFttf ?ε 注意： )(tf 本身不一定是单边 东南大学移动通信国家重点实验室 1． 线性性质 22112211 FaFafafa +?+ 收敛域一般情况下是公共部分 2． 尺度变换 ()() ? ? ? ? ? ? ?ε a s F a tatf 1 a>0 推广到双边： 0≠a ， )( 1 )( a s F a atf ? 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 时移（延时）性质 00 )()()( 00 stt esFttttf ? ??→←?? 有限 ε 双边时： 0 )()( 0 st esFttf ? ?? 注意： )()( ttf ε 两者都需延时 0 t 4． 复频移 )()()( 0 0 ssFttfe ts ??ε 收敛轴平移 东南大学移动通信国家重点实验室 5． 时域微分性 单边： )0()()()( ? ??ε ′ fssFttf )0()0()()()( 2 ?? ′ ???ε ′′ fsfsFsttf …… )0()0()0()()()( )1(21)( ?????? ? ′ ???ε nnnnn ffsfssFsttfL 东南大学移动通信国家重点实验室 6． 时域积分性 ∫ ? ? t s sF tdf 0 )( )())(( εττ 注意：引入了s=0处的附加极点， 收敛域 可能会变 一般情况下： s sF s df tdfdftdf tt )( )( )()()()()( 0 0 0 +? ? ? ? ? ? ? += ? ? ? ? ? ? ∫ ∫∫∫ ? ? ? ∞? ∞?∞? ττ εττττεττ 东南大学移动通信国家重点实验室 7． 复频域微积分 （1）微分 ds sdF ttft )( )()()( ?? ε 一般 )( )( )( )()()( n ds sF n d ttft n ?? ε （2）积分 ∫ ∞ ? s dxxFt t tf )()( )( ε 条件： 0)(lim 0 = → tf t 东南大学移动通信国家重点实验室 例1： [ ] 3 )( 21 2 2 )( 2 )()( 2 α α ε α ε α + = + ? ? ?= ? s s ds d t t ett t et 例2： ∫ ∞ ? =?= + ? = s s tgarctgsdx x t tt ttSa 1 21 1 )(sin )()( 1 2 π ε ε 例3： s tg s tdSattSi t 11 )()()()( 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? = ∫ εττε 东南大学移动通信国家重点实验室 8． 初值与终值定理 初值定理：已知 )(sF 求 )0( + f ： )(lim)0( ssFf s ∞→ + = 条件： )(sF 是真分式，否则去掉多项式部分。 如： )(sin)( 1 1 1 1 )( 22 2 ttt ss s sF εδ ?? + ?= + = 有： 0)0( = + f 但： ∞→ + = ∞→∞→ 1 lim)(lim 2 3 s s ssF ss 而： 0 1 lim)(lim 2 1 = + ? = ∞→∞→ s s ssF ss 与时域结果一致 东南大学移动通信国家重点实验室 终值定理：已知 )(sF 求 )(∞f 终值： )(lim)( 0 ssFf s→ =∞ 条件： )(tf 确实存在终值 即： )(sF 极点均在s左半平面，最多还有在原点的单阶 极点。 东南大学移动通信国家重点实验室 例： ? ? ? ? ? =∞?= 不存在 1 0 )()()( ftetf t ε α 0 0 0 >α =α <α 而： ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? = → → 不存在 1)(lim 0)(lim 1 )( 0 0 ssF ssF s sF s s α 0 0 0 >α =α <α （参考s平面极点分布） 东南大学移动通信国家重点实验室 9． 卷积定理 时域卷积： [ ] )()()()()( 2121 sFsFttftf ??ε? 收敛域一般情况下是两者公共区域 ? 双边 )()()()( 2121 sFsFtftf ?? ROC一般情况下是两者公共区域 注：求一般激励下任意系统的响应时， )()( sHsEhe ?? ROC 均求双边变换，即考虑双边信号和系统 东南大学移动通信国家重点实验室 § 5-5 拉普拉斯反变换 一、 查表+性质 二、 部分分式展开法（要求F(s)有理函数） 1． nm ≥ ， )(sF =真分式+多项式； 2． nm < ， )(sF 真分式分解： ① i ss = 单阶， )()()( 11 teKtf ss K sF n i ts i n i i i i ε=? ? = ∑∑ == 其中， i ssii sFssK = ?= |)()( 东南大学移动通信国家重点实验室 ② 1 ss = l 重根，其余单根， ∑ += ? ? + ? ++ ? + ? = n lj j j l ll ss K ss K ss K ss K sF 1 1 1 1 1 12 1 11 )()( )(L 注： 1）一对共轭分量用配方法，或合并成变幅振荡: )()( )( teeKteeK js eK js eK tjjtjtj jj ε+ε? β+α? + β?α? β?αθ?β+αθ θ?θ = )()cos(2 tteK t εβ+θ α 东南大学移动通信国家重点实验室 2）若有重根，至少二重根对应项要会算： )(][ )( 11 1211 1 12 2 1 11 teKteK ss K ss K tsts ε+? ? + ? 其中， 1 |)()( 2 111 ss sFssK = ?= 1 |)]()[( )!12( 1 2 112 ss sFss ds d K = ? ? = 东南大学移动通信国家重点实验室 三、围线积分法（留数法） ∫ ∞+σ ∞?σ π = j j st dsesF j tf )( 2 1 )( ， 0>t 1． 留数定理 设 )(sG 在闭合区域D上，除了有限个极点外， 处处解析，则 ∑ ∫ =π= i i C sssGsjdssG ]),([Re)2()( 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 约当引理 （布洛维奇围道 图略） 若 0|)(|lim → ∞→= sF Rs （即 )(sF 为真分式）， 则 0)( = ∫ CR st dsesF 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 围线积分法 对有始信号： ∫ ∞+σ ∞?σ π = j j st dsesF j tf )( 2 1 )( ∑ ∫ == π = i i stst ssesFsdsesF j ],)([Re)( 2 1 ， 0>t ?同理，若 )(tf 为左边信号 )(sF? ， 则 ∑ =?= i i st ssesFstf ],)([Re)( ， 0<t 。 东南大学移动通信国家重点实验室 *注： 左边信号求反变换的简便方法： 如 ? ? ? ? ? ?? = ? = )( )( 1 )( te te s sF t t ε ε α α α ，左 ，右 α<σ α>σ （条件： )(sF 为真分式） 东南大学移动通信国家重点实验室 4．留数计算 1） i ss = 单根， i ss st ii esFsss = ?= |)()(Re ， 0>t ； 2） 1 ss = ， l 重根， 1 |])()[( )!1( 1 Re 1 1 ss stl i l l i esFss ds d l s = ? ? ? ? = ， 0>t 东南大学移动通信国家重点实验室 例： )4(3 1 )( 22 + = ss sF ， 0 1 =s （二重）， 2 3,2 js ±= 。 解： 12 |] )4(3 1 [Re 0 2 1 t e sds d s s st = + = =， 0>t tj jss st e j esFsss 2 222 48 1 |)()(Re 2 ? =?= == ， 0>t tj e j s 2 3 48 1 Re ? = ， 0>t ∴ )()2sin 24 1 12 ()( tt t tf ε?= 东南大学移动通信国家重点实验室