第八章 离散系统 的 z 域分析 § 8.1 引 言 Z.T． 时域卷和 z域乘法 差分方程 z域代数方程 本章重 点： （双边 ）正 反 z变换 ； （单边 ） z变换 性质 ； z域 分析 法 。 东南大学移动通信国家重点实验室 § 8.2 z 变换及其收敛区 一 一 、 、 z 变 变 换 换 的 的 定 定 义 义 h(k) ∞<<∞ k- k z ?y(k)= 由 +∞<<∞?=== == ∑∑ ∞ ?∞= ? ∞ ?∞= ? kzHzzjhzzjh zkhkhzky k j jk j jk kk )()()( *)()(*)( 其中 ， )]([)()( khZzjhzH j j == ∑ ∞ ?∞= ? 东南大学移动通信国家重点实验室 1． 定义 )]([)()()( kfZzkfzFkf k k b ==? ∑ ∞ ?∞= ? 若 ""++++= =? ?? ∞ = ? ∑ i k k zifzff zkfzFkkf )()1()0( )()()()( 1 0 ε ∴ )(zF 是 1? z 的幂 级数 ， i z ? 项系数= )(if 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 解释： 设 )(|)()( kTftfkf kTt == = ∑ ∑ ∞ ?∞= ∞ ?∞= ?= ?=?= k k Ts kTtkf kTttfttftf )()( )()()()()( δ δδ 得： ∑ ∞ ?∞= ? = k skT s ekfsF )()( 比较 ∑ ∞ ?∞= ? = k k zkfzF )()( 东南大学移动通信国家重点实验室 ∴ )()( sF sT ez zF s = = sT ez = z 域 到 s域的基本映射。 令 ω= js ， ∴ )()( ω ω jF Tj ez zF s = = 频谱： 连 续的，且以 s ω 为周 期。 （ 时域周期 频域离散； 时域离 散 频域周期； ） 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 z变 变 换 换 的 的 收 收 敛 敛 域 域 例 1：有 限长序列 ∑ = ? =? 2 1 )()()( n nk k zkfzFkf z 在全平 面（可能不含 ∞= ,0z ）收 敛 例 2：右 边序列 ||||)()( 0 az az z zazFka k kkk > ? ==?ε ∑ ∞ = ? 又如： |}max{|||)()( 11 i n i i n i k i az az z zFka > ? =? ∑∑ == ε 东南大学移动通信国家重点实验室 x x x x x Re[z] Im[z] Max{|ai|} x ? 右 右 边 边 序 序 列 列 极 极 点 点 均 均 在 在 收 收 敛 敛 域 域 内 内 。 。 东南大学移动通信国家重点实验室 例 3：左 边序 列 ||||)()1( 1 bz bz z zbzFkb k kkk < ? ?==???ε ∑ ? ?∞= ? 而 |}min{|||)()1( 11 i m i i m i k i bz bz z zFkb < ? ?=??? ∑∑ == ε 东南大学移动通信国家重点实验室 x x x x Re[z] Im[z] x ? 左 左 边 边 序 序 列 列 极 极 点 点 均 均 在 在 收 收 敛 敛 域 域 外 外 。 。 结论 ：双 边序 列若 存在 双边 z变 换 ， 收敛 域一 般为 环状 区域 ， ?<<+ RzR || 。 东南大学移动通信国家重点实验室 x x Re[z] Im[z] x x x x x x 左边序列极点 右边序列极点 东南大学移动通信国家重点实验室 三 三 、 、 常 常 用 用 序 序 列 列 的 的 z变 变 换 换 1． 单位 样值 函 数 ： 1)( ?δ k ， ROC： 全 z 平面 2． 单边 指数 序 列 ： az z ka k ? ?ε )( ，R OC： |z|>|a| 3． 单位 阶跃 序 列 ： 1 )( ? ?ε z z k ， ROC： |z|>1 东南大学移动通信国家重点实验室 4． 单位正 弦序列： 1cos2 cos )(cos 2 2 +β? β? ?εβ zz zz kk ，ROC ：|z|>1 1cos2 sin )(sin 2 +β? β ?εβ zz z kk ， ROC：|z|>1 特例： 1 )( 2 cos 2 2 2 + ?= z z k k ε ππ β ，R OC： |z|>1 1 )( 2 sin 2 2 + ?= z z k k ε ππ β ，R OC： |z|>1 东南大学移动通信国家重点实验室 5． 斜变 序列 ： 2 )1( )( ? ?ε z z kk ROC：|z|>1 )1)(( 32)( 2121 321 0 "" " +++++= +++== ???? ??? ∞ = ? ∑ zzzz zzzkzzF k k 1 )1(1 1 1 211 1 > ? = ? ? ? = ?? ? z z z zz z 东南大学移动通信国家重点实验室 § 8.3 （单边） z变换的主要性质 （设 )()()( zFkkf ?ε ， f(k)本身可双边 ） 1． ． 线 线 性 性 性 性 质 质 ： ： )()()()()()( 22112211 zFazFakkfakkfa +?+ εε ， 收 敛 域 ROC： 一般情 况下 为公 共部 分 （特 例： 有时 ROC会扩 大， 如： )1()()( ?ε?ε=δ kkk ， 前者 是全 平面 ，而 后两 者是 单位 圆外 ） 东南大学移动通信国家重点实验室 2． ． 移 移 序 序 性 性 质 质 ： ： 由 "++=?ε ?1 )1()0()()()( zffzFkkf 左移 ： )0()()]0()([)()1( zfzzFfzFzkkf ?=??ε+ )1()0()()1()]0()([)()2( 22 zffzzFzzfzfzzFzkkf ??=???ε+ … … … … … … … … )1()1()0()()()( 1 ??????ε+ ? nzffzfzzFzknkf nnn " 东南大学移动通信国家重点实验室 右移： )()()( zFznknkf n? ??ε? 当 )(kf 为双边 时 ， )1()2()()()()( 120 ?+?+?+?ε? +?+?? fzfznfzzFzknkf nnn " 注： （1） 若 )(kf 本 身 单边 ，即 )()()( kkfkf ε= ， 则 )()()()( knkfnknkf ε?=?ε? ， 两 者 z 变换一 样； （ 2）双 边 z变换， )()( zFznkf b n± ?± 东南大学移动通信国家重点实验室 例：矩形序列： ? ? ? ?= = k Nk kP N 其它,0 1,2,1,0,1 )( " 解： )1( 1 )()()( N N z z z NkkkP ? ? ? ??ε?ε= 0||1)( )1(21 1 0 >++++??δ= ???? ? = ∑ zzzznk N N n " 东南大学移动通信国家重点实验室 3． ． 尺 尺 度 度 变 变 换 换 （ （ 序 序 列 列 指 指 数 数 加 加 权 权 ） ） )0()()( ≠? a a z Fkfa k 例： )()()1( zFkf k ??? 东南大学移动通信国家重点实验室 4． ． 卷 卷 积 积 定 定 理 理 )()()(*)( 2121 zFzFkfkf ?? ， 收 敛 域 ：一般 为公 共部分 例： 已知 ： (k)1)(k(k)*(k) ε+=εε ，求 ](k)[ εkZ 解： (k)-(k)*(k)(k) εεε=εk ∴ 22 2 )1(1)1( ](k)[ ? = ? ? ? =ε z z z z z z kZ |z|>1 东南大学移动通信国家重点实验室 5． ． Z域 域 微 微 分 分 （ （ 序 序 列 列 线 线 性 性 加 加 权 权 ） ） dz zdF zkkf )( )()( ?? 如： 1|| )1( ] )1( [)( 2 > ? = ? ??ε z z z z z dz d zkk 1|| )1( )1( ] )1( [)()( 32 2 > ? + = ? ??ε z z zz z z dz d zkk 东南大学移动通信国家重点实验室 6． ． 初 初 值 值 和 和 终 终 值 值 定 定 理 理 "+++= ?? 21 )2()1()0()( zfzffzF 初值 ： )(lim)0( zFf z ∞→ = )]()1([lim)]0()([lim)1( kkfZfzFzf zz ε+=?= ∞→∞→ ∴ )]()([lim)( knkfZnf z ε+= ∞→ 东南大学移动通信国家重点实验室 终值： )()1(lim)( 1 zFzf z ?=+∞ → 条件： )(kf 必须存在终值 ， 即 )(zF 极点均在 单位圆内，或 z=1 处单阶 级 点。 东南大学移动通信国家重点实验室