一、 幂级数展开 z 泰勒 公式 ： ""+++ ′′ + ′ += = k k x x k f x f xffxf ! )0( !2 )0( )0()0()( )( 2 0处展开 z 长除 法： 对右 边序 列， 降序 排； 对左 边序 列， 升序 排。 § 8.4 （单 边） 反 Z 变换 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： z a ezF ? =)( ，求 )(kf 解：由 ..... ! 1 ....... !2 1 !1 1 1 2 +++++= kx x k xxe ""+?++?+?+= k z a kz a z a zF )( ! 1 )( !2 1 )(1)( 2 )()( ! 1 )( )( ! 1 )( ! 1 00 ka k kf za kz a k k kk kk k ε?=? ?=?= ? ∞ = ∞ = ∑∑ 东南大学移动通信国家重点实验室 例2 ： 5.05.0 5.02 )( 2 2 ?? ? = zz zz zF （长除 法） "+++= ?? 21 25.15.02 zz ∴ ))(])5.0(1[)(( }2,1,0,,25.1,5.0,2{)( kkf kkf k ε?+=? =="" 东南大学移动通信国家重点实验室 二、部 分分式法 将 z zF )( 展开， 设 )(zF 极点 i v 均 单阶 则 n n vz K vz K z K z zF ? ++ ? +=" 1 10 )( ， 其中 )0( )( )( 0 = = ?= v i vz z zF vzK ii 有： ∑ = ? += n i i i vz zK KzF 1 0 )( )( ∴ ∑ = ε+δ= n i k ii kvKkKkf 1 0 )()()()( 注 ： 若 v 有 重根， 可用部 分分 式法， 但最 好用留 数法 。 东南大学移动通信国家重点实验室 三、围 线 积分 （留数 法） 由 ? ? ? ≠ =π = ∫ ? 1,0 1,2 i ij dzz C i 及 ""+++++= ??? k zkfzfzffzF )()2()1()0()( 21 易 得 ： ∫ ? π = C k dzzzF j kf 1 )( 2 1 )( （ C 是 含 F(z)极点的 逆时 针闭 线） ∑ = ? = n i k zzFs 1 1 ])([Re 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： )5.0)(1( 12 )( 23 ?? ++ = zzz zz zF ，求 )(kf 解： = ?1 )( k zzF 2 23 )5.0)(1( 12 ? ?? ++ k z zz zz ， 05.0,1 21 ≥== kvv 对 k=0时， 0 3 =v 二阶 )(kAδ→ ； 东南大学移动通信国家重点实验室 k=1时 ， 0=v 单 阶 )1( ?δ→ kB )(80,8 1 1 )()(1Re 1 1 kk vz zzFvzs k ε=≥= == ?= ? )()5.0(13 5.0 2 )()(2Re 1 2 k vz zzFvzs kk ε= == ?= ? )(60,6 0 ])()0[( )!12( 1 3Re 102 kk z zzFz dz d s δ=== = ? ? = ? )1(24Re ?= ks δ ∴ ......Re)( 4 1 == ∑ =i i skf 东南大学移动通信国家重点实验室 一、 双边 z变换 )()()1()()()()( kfkfkkfkkfkf lr +=??ε+ε= 则 ?<<++= RzRzFzFzF blbrb ||)()()( 其中 ， +>=== ∑∑ ∞ = ? ∞ ?∞= ? RzzFzkfzkfzF r k k r k k rbr ||)()()()( 0 补充： 双边正反 z变换 东南大学移动通信国家重点实验室 ∑ ∑∑∑ ∞ = ? ∞ = ?= ? ?∞= ? ∞ ?∞= ? ?= ?=== 0 1 1 ) 1 )(( )()()()( k k l k k l kk k k l k k llb z kf zkfzkfzkfzF 令 ? > = ?= Rz z z kfZ l 1 | 1 | 1 )]([ ，即 ?< Rz || 如： 0)1()()( >>??ε+ε= abkbkakf kk 东南大学移动通信国家重点实验室 解： aaz az z zF br => ? = ||||)( ∵ bb zROCz b z z b k b Z b kbZkfZ kk l 1 | 1 ||| 1 1 )]1() 1 [( 1 )]1([)]([ 1 1 => ? = ?=?=? ? ?? εε ∴ bz bz z z b z z b zF bl < ? ?= ? = ? ? || 1 1 )( 1 1 ∴ bza bz z az z zF b << ? ? ? = ||)( 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 双边 反 z变换 将 )(zF b 的 极 点 按收 敛域 进行分 解： 内圆 内/ 上 为 右 边 序 列 的极 点； 外圆 外/ 上 为 左 边 序 列 的极 点。 )()()( zFzFzF blbrb += 则： )()()( kfkfkf lr += 其中 ， )] 1 ([)( )],([)( 1 1 z FZkf zFZkf bll brr ? ? =? = 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： 5.015.05.0 5.02 )( 2 2 + + ? = ?? ? = z z z z zz zz zF ， 分别求 在 下列收敛域下的 反 变换： 1）|z |>1 2）0. 5<|z|<1 3）|z |<0.5 解： 1） )(])5.0(1[)( kkf k ε?+= 2） + ? = 1 )( z z zF b )()( 5.0 zFzF z z brbl += + )()5.0()( kkf k r ε?= )1(] 1 [] 1 1 [)] 1 ([)( 1111 ??= ? = ? ==? ???? k z z zZ z Z z FZkf bll ε ∴ )1()( ??ε?= kkf l 3） )1()1)5.0(()( ??ε+??= kzF k b 东南大学移动通信国家重点实验室 设 )()()( kTftfkf kTt == = )()()( ttftf Ts δ= 记 )()( . sFtf TL ??→← )()( . zFkf TZ ??→← )()( . sFtf s TL s ??→← § 8 .5 z变换与拉氏变换的关系 东南大学移动通信国家重点实验室 一 一 、 、 )(zF 与 与 )(sF s 关 关 系 系 )()( sF sT ez zF s = = 或 )()( ω ω jF Tj ez zF s = = （频谱以 s T ω π = 2 为周期） 二、 sT ez = 映 映 射 射 关 关 系 系 设 ω+σ= js 记 θ = j rez 则 TjTsT eeez ωσ ?== 即 ? ? ? ω=θ = σ T er T 东南大学移动通信国家重点实验室 Re[z] Im[z] -1 1 j -j 0 A1 A2 0 A1 A2= σ ωj j2π/T A2 A1 A1 东南大学移动通信国家重点实验室 s平 面 z平面 1） 虚轴（ 0=σ ） 单位圆（ 1=r ） 2） 右半平面（ 0>σ ） 单位圆外（ 1>r ） 3） 左半平面（ 0<σ ） 单位圆内（ 1<r ） 4） 映射不是单值映射（ θ以 π2 为周期） 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 )(zF 与 )(sF 关系 （ 只讨 论 两 者皆 单 边 ） 对 )(tf 有始 0)( 2 1 )( ≥= ∫ ∞+ ∞? tdsesF j tf j j st σ σ π 由 0)( 2 1 )()( ≥ π == ∫ ∞+σ ∞?σ = kdsesF j tfkf j j skT ktt 东南大学移动通信国家重点实验室 ∴ ∑ ∫ ∑ ∞ = ? ∞+σ ∞?σ ∞ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? π == 00 )( 2 1 )()( k k j j skT k k zdsesF j zkfzF ∫ ∑ ∞+σ ∞?σ ∞ = ? ? ? ? ? ? π = j j k k sT ds z e sF j 0 )()( 2 1 当 sT ez > ∫ ∞+σ ∞?σ ?π = j j sT ds ez z sF j )( 2 1 ； ) sT e()( )(Re 不含各极点sF ez z sFsi sT ∑ ? ? ? ? ? ? ? = ； Tp i i ez > 收敛域 Tp i ez max> 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： 1),()()()( 1 2 ==?=? Tkkkftftt s εε 由： 0 ] 1 [ 1 ])([)( 2 2 = ? = = ? = ∑ s ez z s s ds d TF ez z sFRESzF s sT i 各极点， 1||||, 0 )( 0 2 => = ? = T s s ez s ez ze 1|| )1( 2 > ? = z z z 东南大学移动通信国家重点实验室 § 8.6 z 变换分 析 法 对 n 阶系统： )()()()( keSNkySD = 或 )()()( )( )( )( keSHke SD SN ky == 东南大学移动通信国家重点实验室 一、 求 )(ky zi 零输入 对齐次 方程 0)()( =kySD 取单边 z变 换（移序性质 ） 得： )()( kyzY zizi ? 如： 0)()1()2( 01 =++++ kyakyaky ， )1(),0( zizi yy 已知 z变 换 ， 有 ： 0)()]0()([)1()0()( 01 22 =+?+?? zYazyzzYazyyzzYz zizizizizizi ∴ 01 2 1 2 )]0()1([)0( )( azaz yayzyz zY zizizi zi ++ ++ = ， 再取正变换 ? 不 如 时 域 方法 方便 。 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 )(ky zs 求 求 法 法 ∵ )(*)()( khkeky zs = ∴ )()()( zHzEzY zs = （ =)(ky zs 受迫响应 +自然响应 ） 其中， zS SHzH = = )()( 系统函数 东南大学移动通信国家重点实验室 三、全 响应 法1 ． )()()( kykyky zszi += 法 2．直 接对差分方程求 单边 z变 换。 注意： )1()0()(][)1()()1()2( 2 01 2 01 zyyzzYazazkekyakyaky ??++?+=++++ )0()()0( 1 zezzEzya ?=? 可以证 明，由原式可得 )()0()1()0()(][ 1 2 01 2 zzEzyazyyzzYazaz zizizi =???++ 即可以 消去 )(ky zs 及 )(ke 初值有关的 项 。 东南大学移动通信国家重点实验室 例1 ： )()(,4)1(,2)0( , )2.0)(5.0( )27( )( kke zi y zi y SS SS SH ε=== ?? ? = 解：法 一：用 z变换分别 求 )(),( k zs yk zi y 1． )(k zi y ：由 0)()1.07.0( 2 =+? kySS 有： 2.0 10 5.0 12 )2.0)(5.0( 6.22 )( 2 ? ? ? = ?? + = z z z z zz zz zY zi ∴ )(])2.0(10)5.0(12[)( kky kk zi ε?= 东南大学移动通信国家重点实验室 2． )(k zs y ： 1 )()( ? = z z zHz zs Y ∴ )(])2.0(5.0)5.0(55.12[)( kk zs y kk ε??= 3． )()()( k zs yk zi yky += 东南大学移动通信国家重点实验室 法二： 直接用 z变换求全 响应 由 )()27()()1.07.0( 22 keSSkySS ?=+? 有： )()27()0(7.0)1()0()(]1.07.0[ 222 zEzz zi zy zi zy zi yzzYzz ?=+??+? ∴ 2.0 5.10 5.0 7 1 5.12 )1)(2.0)(5.0( )6.24.19( )( 2 ? ? + ? + ? = ??? ?? = z z z z z z zzz zzz zY 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2：已 知 36 23 )2( 6 7 )1()2(3)()2(6)1(5)( =?=??+=?+?? zi y zi ykekekykyky )()( kke ε= ，求 全响 应。 解： 法一 ：转 成前 向方 程 )(3)2()(6)1(5)2( kekekykyky ++=++?+ ? ? ? ? ? =??= =???= 3)1(6)0(5)1( 2)2(6)1(5)0( zi y zi y zi y zi y zi y zi y （ 余 略 ） 法二 ： 直 接 用 单 边 z变换 用 10 )1()()()()( +?? ?++?+?ε? nn zfznfzFzknkf" 东南大学移动通信国家重点实验室