第七章 离散时间系统的时域分析 本章重点： 抽 样定理，零输入 响应，卷积和 §7.1 离散时 间信号的描述 一 一 、 、 离 离 散 散 信 信 号 号 的 的 描 描 述 述 定义： 只在离 散时刻 k t 才有定 义，记 作 )( k tf 抽 样 信 号 的 概念 东南大学移动通信国家重点实验室 f(t) t 连续 信号 f(k) t=kT 离散 信号 抽样 时间离散 f(k) 数字 信号 1 2 3 幅度 量化 f(t) t 量化 信号 1 2 3 t=kT 东南大学移动通信国家重点实验室 描述： a）闭式，写成时刻 k t 的函数 （注： 通常取 ""1,0, == kkTt k ， T：抽样间隔， )()()( kfkTftf k 记 == ） 如 k kf 2 1 )( = 0≥k b）有序数字（数 值序列） ： 如上例的 ? ? ? ? ? ? == "" 、、、；、、、、 210 8 1 4 1 2 1 1)( kkf ， 东南大学移动通信国家重点实验室 f(k) k 1 1/2 …... 1/4 c）时域波形 对上面的 )(kf 0 1 2 3 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 常 常 用 用 的 的 序 序 列 列 1． 单位阶跃序列 ? ? ? < ≥ =ε 0,0 0,1 )( k k k 2． 单位（样值）函数 ? ? ? ≠ = =δ 0,0 0,1 )( k k k 东南大学移动通信国家重点实验室 对应于连续时间域中 dt td t )( )( ε =δ 在离散中是差分关系 ： )1()()( ?ε?ε=δ kkk 对应于连续时间域中 ∫ ∞? = t dt ττδε )()( 在离散中是求和关系 ： ? ? ? < ≥ == ∑ ?∞= 0,0 0,1 )()( k k jk k j δε 或 ∑ ∞ = +?δ+δ=?δ=ε 0 )1()()()( j kkjkk " 东南大学移动通信国家重点实验室 3． （单 边） 指数 序列 （ )(k k εν ， ν 实数 ） ν 1 1 1 < = > 收敛序列 时是交叉等幅）序列等幅（当 发散序列 1?=ν 东南大学移动通信国家重点实验室 4． （单边）变幅正 弦序列 一对共轭根ν 设 ? νν j e= θj eC=C 则 )()cos(2)()()( ** kkCkCkC k kk εθ?νενεν +=+ C是常量（与定解系数有 关 ） 东南大学移动通信国家重点实验室 §7.2 抽样定理 问题 ：1. 抽 样 间 隔 T如何定 ？ 2. 原信 号能 否由 样本 点（ 值） 恢复 ？ 若能 ，如 何恢 复？ 东南大学移动通信国家重点实验室 一 一 、 、 理 理 想 想 抽 抽 样 样 )()()( ttftf Ts δ= )(tf ∑ +∞ ?∞= ?δ=δ n T nTtt )()( 设 )()( ω? jFtf （最高 频率 m ω ） )()( ωδ?δ ωsT t )()( ω? jFtf ss 东南大学移动通信国家重点实验室 f(t) t 0 F(jw) w 0 -w m w m t 0 F(jw) w 0 -w s T2T-T-2T w s 2w s -2w s (w s ) f s (t) t 0 F s (jw) w 0-w m w m w s -w s F(0)/T )(t T δ (1) 东南大学移动通信国家重点实验室 由 ∑ +∞ ?∞= ω =δ n tjn n T s e A t 2 )( T s π =ω 2 抽样频率 {} T tF T A n 2 )( 2 =δ=  ∴ ∑∑ ?=?= )()( 2 )( ssss nn T ωωδωωωδπωδ ω ∴ ∑ +∞ ?∞= ?== n SsS njjF T jFjF )( 1 )(*)( 2 1 )( ωωωδω π ω ω 东南大学移动通信国家重点实验室 由 )( ωjF s 知：若 ms ω≥ω 2 则 )( ωjF s 无混迭 ， 则 )(tf 可由 )( ωjF S 通过（ 理想 ）低 通恢 复， 把 ms ω=ω 2 称为 奈 奎 斯 特 抽样 速率 ， 则称为奈氏间隔 mS T ω π ω π == 2 东南大学移动通信国家重点实验室 注： ⒈ 工 程 上 )( ωjF 有拖 尾， 设有 效带 宽 为 m ω ，则取 mms ω=ω?=ω )10~6(2)5~3( ⒉ 冲激 序列 无法产 生， 实际 可用 开关 函数 （窄 脉冲 序列 ）代 替。 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 自 自 然 然 抽 抽 样 样 （ （ 脉 脉 幅 幅 调 调 制 制 ） ） （参见书 上图 7-4， 7-5） 设 )()( ω? jFtf 频限 m ω ， )()( ω? jGtg ， )()( ωjFtf Ss ? （ 框 图 与波形 、 频 谱图示 于黑 板 ） 由 ∑ ∞ ?∞= ω = n tjn n s e A tg 2 )(  T s π =ω 2 ) 2 ( 2 τω τ= s an n SA T A  东南大学移动通信国家重点实验室 得 ∑∑ ∞ ?∞= ω?ωδ τωτπ =ω?ωδπ=ω n s s asn n n S T A nAjG )() 2 ( 2 )()(  ∑ ∞+ ?∞= ??= = n s s a s njjF n S T A jGjFjF 结论与理想抽样相同)() 2 ( )(*)( 2 1 )( ωω τωτ ωω π ω 注 1：平顶抽样 2： 抽 样 定理使连续信号的 离散成为可能。 （参见 书 上图 7-9） 东南大学移动通信国家重点实验室 §7 .3离散时间 系统的描述和模 拟 系 统表示法 连 续 离 散 （1） 系统 I/O 方程 微分方程 差分方程 （ 2） 框图模拟 三种基 本单元 三种基 本单元 （ 3） 系统函数 H（ s） H（ z） 注： 线性 时 不 变 （ LTI）连 续系 统 线 性 常系 数微 分方程 ， 线性 时 /移不 变（ LTI/LSI）离 散系 统 线 性 常系 数差 分 方 程 。 东南大学移动通信国家重点实验室 一 一 、 、 差 差 分 分 方 方 程 程 描 描 述 述 的 的 离 离 散 散 系 系 统 统 1． 差分 一阶 差分： )()1()( kykyky ?+=? ? （前 向） ； （ )1()()( ??=? ? kykyky ） （后向） 二阶 差分： )()1(2)2( )()1()( 2 kykyky kykyky ++?+= ??+?=? ? n阶差 分： )()1()( 11 kykyky nnn ?? ? ??+?=? 东南大学移动通信国家重点实验室 2． 差分 方程 离散系统 e(k) y(k) n阶 0)}(,),(),(),(,),(,{ =????Φ kekekekykyk mn "" 或 0)}(,),1(),(),(,),1(),(,{ =++++Φ mkekekenkykykyk "" 东南大学移动通信国家重点实验室 对 LTI系统有 ： )()1(...)1()( )()1(...)1()( 011 011 kebkebmkebmkeb kyakyankyanky mm n ++++?+++= ++++?+++ ? ? 定义 移 序算子 S， )()]([ ikykyS i += )()( )()( 01 01 1 1 kebSbSb kyaSaSaS m m n n n +++= ++++? ? ? " " 东南大学移动通信国家重点实验室 简记 为： )()()()( keSNkySD = 或 )()()( )( )( )( keSHke SD SN ky == 其中 ， )(SH 为 转移 算子 ， )(SD 为特 征多 项式。 注： （1 ） 对 因果 系统 nm ≤? （2 ） 若 i a 全为 0 ? 非递 归系 统 （FI R） ， 若 i a 不全为 0 ? 递归 系统 （I IR） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 3． 举例 例1 ：（银行贷款 问题）某 人 月初向银行借 了 M元 ， 之后不 再借，月息β元 /元月； 从当月开始（ k=0） ， 每月底 还 e(k)， 第 k 月初尚 欠 y(k)元，问何 时还清？ 考 虑第(k+1 )月 初的 欠款 y(k+1) y(k+1)= y(k)+β y(k)- e(k) ? ? ? = =β++ ? My(0) -e(k))y(k)(1-1)y(k 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2：梯形电阻网络 ，求 各节点电压 u(k) （参见书上图 7-11， 7-12） 考虑典型节点，由电 流 关 系 ： R kuku aR ku R kuku )2()1()1()1()( +?+ + + = +? 得： ? ? ? ? ? === =+++?+ nknuEu kuku a ku "2,1,0,0)(,)0( 0)()1() 1 2()2( 东南大学移动通信国家重点实验室 例 3： （微分方程与 差分方 程的转换或微分方程 的数 值解） )()( )( tBetAy dt tdy +?= （ 1） )()()1( kbekayky +?=+ （ 2） 设 T 足够小， kTt = 时， T kyky dt tdy kTt )()1()( ?+ ≈ = 东南大学移动通信国家重点实验室 ∴原微分方程在 kTt = 时近似有 ： )()( )()1( kBekAy T kyky +?≈ ?+ 即 )3()()()1()1( kBTekyATky +??≈+ 比较 (2) (3) )()()1( kbekayky +?=+ （ 2） 当 a=AT-1， b=BT 时 两系统近似等 价 。 东南大学移动通信国家重点实验室 二 二 、 、 差 差 分 分 方 方 程 程 描 描 述 述 的 的 LTI离 离 散 散 系 系 统 统 的 的 框 框 图 图 模 模 拟 拟 1． 基本运 算单元 （1 ） 加 法 器： ∑ )( 1 kx )( 2 kx )()()( 21 kxkxky += 东南大学移动通信国家重点实验室 （2 ） 标 量 乘法 器 )()( kaxky =)(kx （3 ） 延时器 D e(k+1) y(k)=e(k) 东南大学移动通信国家重点实验室 2． LTI离 散系统的框图 对 )()()()( keSNkySD = ，引 入中间变量 q(k) 令 )()()( kekqSD = ，则 )()()( kqSNky = （参见 书上图 7-15 或图示 于黑板） 直接型 框图形式和连续系 统类似，此略。 东南大学移动通信国家重点实验室