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第二章直角坐标系中的分离变量法
§ 2.1 分离变量方法分离变量法是将分离变量形式的试探解代入偏微分方程中，将求解偏微分方程的问题转化为求解常微分方程组的问题，是求解数学物理方程的经典而有效的方法之一。
直角坐标系下三维、非稳态、
热传导方程分离变量假设分离变量形式的试探解，令代入 (2-1)式，得
经整理后，得到代入 (2-5)式，得到对空间变量 ψ再次进行分离变量，得到,
若 (2-6)式成立，每一项都必须分别等于某一任意的分离常数，即而且
则分离方程组为
现在来分析一个二维稳态热传导问题，
其中三个边界条件是齐次的，另一个边界条件是非齐次的。
举例
例 2-1:
矩形板，板内无热源，稳态，热物性参数 k 为常数，
求板内的温度分布。见图 2-1
图 ( 2－ 1) 例 2-1的图控制方程：
边界条件：
假设分离变量形式的试探解代入（ 2－ 8）式有将 (2-10)代入 (2-8),得到
方程左边只是 y 的函数，方程右边只是 x 的函数，若等式成立，
只有两边都为常数。
设常数为 λ,则 (2-12)为
(2-8)式的偏微分方程化为两个二阶常微分方程：
由 (2-13)所定义的辅助问题称为特征值 (本征值 )问题,
分离参数 λ 称为 特征值 (本征值 )，
X(x),Y(y) 称为 特征函数 (本征函数 )。
讨论特征值 λ 的取值范围 。
首先设,(2-13)的解为
所以，
不可能满足 y = H 处正弦函数的边界条件。
再考虑,(2-13)的解为
通过分析，可知只有是满足边界条件 (2-9d) 的,
(2-13)分解为二个方程：
应用边界条件
可以注意到，边界条件决定了分离参数只能取一些特定的值，称之为特征值 。
(2-15)的解为 n个解的总合
方程左边只有,即 n = 1,
所以，当 n > 1 时，
(2-16)式为将 C1代入，得到整个解的表达式为
§ 2.2 齐次热传导问题
方程和边界条件都为齐次的，称为齐次问题。
(一 ),一维齐次问题：
例 2-2,
图 (2-2) 例 2-2 的图
解,
控制方程：
边界条件：
初始条件：
假设分离变量为：
将 (2-18)代入 (2-17a)式，得到
对空间变量函数 X(x) 满足的方程有由边界条件有时间变量函数 满足的方程为
(2-17)问题的解为注意,为特征值。
由初始条件，有求待定系数 Cm.
对方程 (2-24)两边用算子去乘，并利用特征函数的正交性，确定待定系数根据特征函数 的正交性质,即这里称为模，或范数,
为特征值 。
下面利用边界条件来确定特征值和特征函数及模
已知方程（ 2－ 20a）的解为
边界条件为由（ 2－ 27a）得到当 x = 0 时，
由 (2－ 27a)式得到所以即满足 (2-27b)
当 x = L,
=
将上式及（ 2－ 27a)代入
（ 2－ 27c）,经整理，得到特征值是上述超越方程的根，
要用试凑法或曲线相交法求解。
根据模的定义，确定出见第二章的注释 2(p.86)
对不同的边界条件，计算得到的,及已经列于表 (2-2)(p.37)，可直接查表。
半无限大固体的解,
半无限大物体的特点是只有一个边界条件。
此时特征值 为从零到无限大连续域内的任意值，则解为解法同上。
对于 x = 0 的各种边界条件对应的特征函数 X(x) 和 模 N(β) 列于表 (2-3)(p.43).
无限大物体 – ∞ < x < + ∞,
β值应从 – ∞ ~ ∞积分，
因为 – ∞ < x < 0 和 0 < x < ∞
是对称的，所以 β 值从 0 ~ ∞
积分即可。
（二）,多维齐次问题：
可以分解为几个一维齐次问题求解。
例 2-3,
考虑矩形区域，求矩形区域的温度分布。见图 (2-3)。
图 2－ 3 矩形区域的温度分布
解,
控制方程：
边界条件：
初始条件：
上述问题可以分解为两个一维问题：
及完全解的形式为
用算子及算子
依次作用在上式的两边，利用特征函数的正交性求出
模
及特征值
可以从表 (2-2)中查到。
半无限长的带子，见图 (2-4),
图（ 2－ 4）
对 y 方向为一维有限大物体，对
x 方向是半无限大物体，可利用表 (2-2)及 (2-3)。
（三）乘积解法：
对多维齐次问题，若初始温度可以表示成单个空间变量的函数的乘积时，其解可以化成几个一维齐次问题对应相同的边界条件下的解的乘积。
例,
考虑矩形区域，
控制方程：
边界条件：
初始条件：
图（ 2－ 5）
该问题可以化简为一个 0 ≤ x ≤ a 和
0 ≤ y ≤ b 的两个一维有限平板问题，即
上述问题的解都可以从查表 (2-2)
中得到。
其解为：
半无限大角区的解,
图 (2-6)
可以分为
0 ≤ x < ∞
和
0 ≤ y < ∞
的两个半无限大问题问题解的乘积。
半无限大问题的解可以有表 (2-3)查到。
§ 2.3 非齐次热传导问题
(一 ),稳态非齐次边界的问题的解,
对于只有一个非齐次边界的问题是容易处理的。可以用分离变量法求解齐次边界条件问题，
再用非齐次边界条件确定待定系数，
见 p.62,例 2-10.
在实际工程中经常遇到两个或两个以上的非齐次边界问题，该类问题可以化为几个具有一个非齐次边界问题解的叠加。
例 2-4:
平板具有二个非齐次边界。见图 (2-7).
图 (2-7)
u,v 分别满足问题 (2),(3).
(二 )，稳态齐次边界、非齐次方程（具有内热源）的问题的求解
非齐次方程的解 T(x,y,z) =
非齐次方程的特解 p(x,y,z)
+
齐次方程的通解 θ(x,y,z)
即
式中 为非齐次方程的特解，对各种 的特解由表（ 2－ 4）给出 (p.72）。
(三 )，稳态、非齐次边界、非齐次方程问题的求解
该问题的解 T(x,y,z) =
非齐次方程的特解 p(x,y,z)
+
齐次方程非齐次边界条件的通解 θ (x,y,z)
(四 )，非稳态、非齐次边界、
非齐次方程问题的求解
该问题的解可分为稳态、非齐次方程、非齐次边界的解加上非稳态、齐次方程、齐次边界条件的解
例,2-6
某一立方体,0 ≤ x ≤ a,
0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c,
立方体内有恒等的热源 q0 = C,在 x = 0,
y = 0 及 z = 0 处绝热，在 x = a,y = b 及
z = c 处以对流的方式向温度为零的周围环境散热。初始温度为 F(x,y,z) 。
求 τ > 0 时，立方体内的温度分布
T(x,y,z;τ) 。
控制方程：
边界条件：
初始条件,
将方程分解为稳态、非齐次解
和非稳态、齐次解,
首先研究稳态、非齐次解：
方程 (2)的解 =
稳态齐次的通解 θ + 非齐次问题的特解
p,
查表 (2-4),得到得到将上式代入方程（ 2），得到将 (3)分解成仅有一个非齐次边界条件的两个方程：即将方程 (4)分离变量 X1,Y1,Z1，
查表 (2-2),求解得到
代入方程 (4)的非齐次边界条件，得用算子作用在方程的两边，利用特征函数的正交性，可以确定系数 Cmn
积分 (7)式，得到现在求解非稳态、齐次方程：
方程 (10)的解为 (查表 (2-2))
最后，我们得到方程 (1)的解
The End
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第二章直角坐标系中的分离变量法
§ 2.1 分离变量方法分离变量法是将分离变量形式的试探解代入偏微分方程中，将求解偏微分方程的问题转化为求解常微分方程组的问题，是求解数学物理方程的经典而有效的方法之一。
直角坐标系下三维、非稳态、
热传导方程分离变量假设分离变量形式的试探解，令代入 (2-1)式，得
经整理后，得到代入 (2-5)式，得到对空间变量 ψ再次进行分离变量，得到,
若 (2-6)式成立，每一项都必须分别等于某一任意的分离常数，即而且
则分离方程组为
现在来分析一个二维稳态热传导问题，
其中三个边界条件是齐次的，另一个边界条件是非齐次的。
举例
例 2-1:
矩形板，板内无热源，稳态，热物性参数 k 为常数，
求板内的温度分布。见图 2-1
图 ( 2－ 1) 例 2-1的图控制方程：
边界条件：
假设分离变量形式的试探解代入（ 2－ 8）式有将 (2-10)代入 (2-8),得到
方程左边只是 y 的函数，方程右边只是 x 的函数，若等式成立，
只有两边都为常数。
设常数为 λ,则 (2-12)为
(2-8)式的偏微分方程化为两个二阶常微分方程：
由 (2-13)所定义的辅助问题称为特征值 (本征值 )问题,
分离参数 λ 称为 特征值 (本征值 )，
X(x),Y(y) 称为 特征函数 (本征函数 )。
讨论特征值 λ 的取值范围 。
首先设,(2-13)的解为
所以，
不可能满足 y = H 处正弦函数的边界条件。
再考虑,(2-13)的解为
通过分析，可知只有是满足边界条件 (2-9d) 的,
(2-13)分解为二个方程：
应用边界条件
可以注意到，边界条件决定了分离参数只能取一些特定的值，称之为特征值 。
(2-15)的解为 n个解的总合
方程左边只有,即 n = 1,
所以，当 n > 1 时，
(2-16)式为将 C1代入，得到整个解的表达式为
§ 2.2 齐次热传导问题
方程和边界条件都为齐次的，称为齐次问题。
(一 ),一维齐次问题：
例 2-2,
图 (2-2) 例 2-2 的图
解,
控制方程：
边界条件：
初始条件：
假设分离变量为：
将 (2-18)代入 (2-17a)式，得到
对空间变量函数 X(x) 满足的方程有由边界条件有时间变量函数 满足的方程为
(2-17)问题的解为注意,为特征值。
由初始条件，有求待定系数 Cm.
对方程 (2-24)两边用算子去乘，并利用特征函数的正交性，确定待定系数根据特征函数 的正交性质,即这里称为模，或范数,
为特征值 。
下面利用边界条件来确定特征值和特征函数及模
已知方程（ 2－ 20a）的解为
边界条件为由（ 2－ 27a）得到当 x = 0 时，
由 (2－ 27a)式得到所以即满足 (2-27b)
当 x = L,
=
将上式及（ 2－ 27a)代入
（ 2－ 27c）,经整理，得到特征值是上述超越方程的根，
要用试凑法或曲线相交法求解。
根据模的定义，确定出见第二章的注释 2(p.86)
对不同的边界条件，计算得到的,及已经列于表 (2-2)(p.37)，可直接查表。
半无限大固体的解,
半无限大物体的特点是只有一个边界条件。
此时特征值 为从零到无限大连续域内的任意值，则解为解法同上。
对于 x = 0 的各种边界条件对应的特征函数 X(x) 和 模 N(β) 列于表 (2-3)(p.43).
无限大物体 – ∞ < x < + ∞,
β值应从 – ∞ ~ ∞积分，
因为 – ∞ < x < 0 和 0 < x < ∞
是对称的，所以 β 值从 0 ~ ∞
积分即可。
（二）,多维齐次问题：
可以分解为几个一维齐次问题求解。
例 2-3,
考虑矩形区域，求矩形区域的温度分布。见图 (2-3)。
图 2－ 3 矩形区域的温度分布
解,
控制方程：
边界条件：
初始条件：
上述问题可以分解为两个一维问题：
及完全解的形式为
用算子及算子
依次作用在上式的两边，利用特征函数的正交性求出
模
及特征值
可以从表 (2-2)中查到。
半无限长的带子，见图 (2-4),
图（ 2－ 4）
对 y 方向为一维有限大物体，对
x 方向是半无限大物体，可利用表 (2-2)及 (2-3)。
（三）乘积解法：
对多维齐次问题，若初始温度可以表示成单个空间变量的函数的乘积时，其解可以化成几个一维齐次问题对应相同的边界条件下的解的乘积。
例,
考虑矩形区域，
控制方程：
边界条件：
初始条件：
图（ 2－ 5）
该问题可以化简为一个 0 ≤ x ≤ a 和
0 ≤ y ≤ b 的两个一维有限平板问题，即
上述问题的解都可以从查表 (2-2)
中得到。
其解为：
半无限大角区的解,
图 (2-6)
可以分为
0 ≤ x < ∞
和
0 ≤ y < ∞
的两个半无限大问题问题解的乘积。
半无限大问题的解可以有表 (2-3)查到。
§ 2.3 非齐次热传导问题
(一 ),稳态非齐次边界的问题的解,
对于只有一个非齐次边界的问题是容易处理的。可以用分离变量法求解齐次边界条件问题，
再用非齐次边界条件确定待定系数，
见 p.62,例 2-10.
在实际工程中经常遇到两个或两个以上的非齐次边界问题，该类问题可以化为几个具有一个非齐次边界问题解的叠加。
例 2-4:
平板具有二个非齐次边界。见图 (2-7).
图 (2-7)
u,v 分别满足问题 (2),(3).
(二 )，稳态齐次边界、非齐次方程（具有内热源）的问题的求解
非齐次方程的解 T(x,y,z) =
非齐次方程的特解 p(x,y,z)
+
齐次方程的通解 θ(x,y,z)
即
式中 为非齐次方程的特解，对各种 的特解由表（ 2－ 4）给出 (p.72）。
(三 )，稳态、非齐次边界、非齐次方程问题的求解
该问题的解 T(x,y,z) =
非齐次方程的特解 p(x,y,z)
+
齐次方程非齐次边界条件的通解 θ (x,y,z)
(四 )，非稳态、非齐次边界、
非齐次方程问题的求解
该问题的解可分为稳态、非齐次方程、非齐次边界的解加上非稳态、齐次方程、齐次边界条件的解
例,2-6
某一立方体,0 ≤ x ≤ a,
0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c,
立方体内有恒等的热源 q0 = C,在 x = 0,
y = 0 及 z = 0 处绝热，在 x = a,y = b 及
z = c 处以对流的方式向温度为零的周围环境散热。初始温度为 F(x,y,z) 。
求 τ > 0 时，立方体内的温度分布
T(x,y,z;τ) 。
控制方程：
边界条件：
初始条件,
将方程分解为稳态、非齐次解
和非稳态、齐次解,
首先研究稳态、非齐次解：
方程 (2)的解 =
稳态齐次的通解 θ + 非齐次问题的特解
p,
查表 (2-4),得到得到将上式代入方程（ 2），得到将 (3)分解成仅有一个非齐次边界条件的两个方程：即将方程 (4)分离变量 X1,Y1,Z1，
查表 (2-2),求解得到
代入方程 (4)的非齐次边界条件，得用算子作用在方程的两边，利用特征函数的正交性，可以确定系数 Cmn
积分 (7)式，得到现在求解非稳态、齐次方程：
方程 (10)的解为 (查表 (2-2))
最后，我们得到方程 (1)的解
The End
