第七章
Green 函数方法
Green 函数方法广泛应用于求解非齐次非稳态热传导问题。
Green 函数方法的要点是，对于给定的问题，要寻找一个 Green 函数，
该 Green 函数的选择与坐标系、边界条件以及定义域有关。
这里介绍一种直接构造 Green 函数的方法，即对于给定的问题，
Green 函数的构造，与该问题的齐次部分的解有关。
对于各种齐次问题的解已经在第二、三和四章做过介绍。
§ 7.1 求解非齐次、非稳态问题中的 Green 函数三维非齐次、非稳态问题：
控制方程
边界条件
初始条件为解决上述问题，在相同的区域内，考虑这样一个辅助问题：
辅助问题：
一个脉冲点热源，边界条件为齐次的，
初始条件为零。
边界条件：
初始条件：
是满足辅助问题的 Green
函数，其物理意义是：
在 r 处有一个单位强度的脉冲点热源在时间 τ 时释放热量后区域的温度分布。
它满足互换关系,
如何用满足辅助问题 (7-2)的 Green函数表示非齐次、非稳物问题 (7-1)的解
T( r,t)
根据互换性 (7-3),(7-2a)为
对应的原问题是
用 T 乘 (7-4)式，用 G 乘 (7-5)式，
相减，得到根据 Green公式,
(7-7)式等号左边第一项为：
(7-7)式等号右边：
分析 (7-9)式中等号右边最后一项，即边界条件，
用 G 乘 (7-1b) 和用 T 乘 (7-2b) 相减，
有其中 Gsi 为在边界得到的 Green 函数值。
如何确定 G?
§ 7.2 求 Green 函数的一种方法齐次热传导问题：
边界条件：
初始条件：
辅助问题为：
边界条件：
初始条件：
假设问题 (7-12)用 分离变量法 求得的解的形式为：
将 (7-14)式和 (7-15)式进行对照比较，得到，
总结上述，求解 的方法：
(1),首先求适合齐次热传导问题的
Green函数，满足辅助问题 (7-13),并用 Green函数表示的解 T(r,t),即 (7-14);
(2),再用分离变量法求解齐次问题，
即 (7-15);
(3),两者进行比较，得到
(4),只要用 代替 中的 t,
就可以得到
§ 7.3 Green 函数方法的应用
Example 1
一块平板，求温度场 T= T( x,t ),
图 (7-1) 例题 1的图
方程为：
边界条件：
初始条件：
首先讨论问题 (1)的齐次形式；
问题 (2)和第二章的问题 (2-161)完全相同，故，
它的解可直接利用 (2-164),(2-165a)及
(2-165b)式，得到
问题 (2)可根据 (7-11)式或 (7-14)式，
用 函数 表示，
(4)式与 (3)式比较，可得
The End
Green 函数方法
Green 函数方法广泛应用于求解非齐次非稳态热传导问题。
Green 函数方法的要点是，对于给定的问题，要寻找一个 Green 函数，
该 Green 函数的选择与坐标系、边界条件以及定义域有关。
这里介绍一种直接构造 Green 函数的方法，即对于给定的问题，
Green 函数的构造，与该问题的齐次部分的解有关。
对于各种齐次问题的解已经在第二、三和四章做过介绍。
§ 7.1 求解非齐次、非稳态问题中的 Green 函数三维非齐次、非稳态问题：
控制方程
边界条件
初始条件为解决上述问题，在相同的区域内，考虑这样一个辅助问题：
辅助问题：
一个脉冲点热源，边界条件为齐次的，
初始条件为零。
边界条件：
初始条件：
是满足辅助问题的 Green
函数，其物理意义是：
在 r 处有一个单位强度的脉冲点热源在时间 τ 时释放热量后区域的温度分布。
它满足互换关系,
如何用满足辅助问题 (7-2)的 Green函数表示非齐次、非稳物问题 (7-1)的解
T( r,t)
根据互换性 (7-3),(7-2a)为
对应的原问题是
用 T 乘 (7-4)式，用 G 乘 (7-5)式，
相减，得到根据 Green公式,
(7-7)式等号左边第一项为：
(7-7)式等号右边：
分析 (7-9)式中等号右边最后一项，即边界条件，
用 G 乘 (7-1b) 和用 T 乘 (7-2b) 相减，
有其中 Gsi 为在边界得到的 Green 函数值。
如何确定 G?
§ 7.2 求 Green 函数的一种方法齐次热传导问题：
边界条件：
初始条件：
辅助问题为：
边界条件：
初始条件：
假设问题 (7-12)用 分离变量法 求得的解的形式为：
将 (7-14)式和 (7-15)式进行对照比较，得到，
总结上述，求解 的方法：
(1),首先求适合齐次热传导问题的
Green函数，满足辅助问题 (7-13),并用 Green函数表示的解 T(r,t),即 (7-14);
(2),再用分离变量法求解齐次问题，
即 (7-15);
(3),两者进行比较，得到
(4),只要用 代替 中的 t,
就可以得到
§ 7.3 Green 函数方法的应用
Example 1
一块平板，求温度场 T= T( x,t ),
图 (7-1) 例题 1的图
方程为：
边界条件：
初始条件：
首先讨论问题 (1)的齐次形式；
问题 (2)和第二章的问题 (2-161)完全相同，故，
它的解可直接利用 (2-164),(2-165a)及
(2-165b)式，得到
问题 (2)可根据 (7-11)式或 (7-14)式，
用 函数 表示，
(4)式与 (3)式比较，可得
The End
