第九章相变问题许多热交换过程和材料的相变有关系，
例如固、液两相的熔化或凝固的瞬态传热问题，都属于相变问题。
相变问题的特点：在固－液交界面处吸收或释放潜热时，界面是移动的。
对单纯的物质，如水，其凝结现象发生在某一温度下，该移动界面是明确的。
对非单纯材料，如石腊、合金，其凝固现象发生在一个温度范围，移动界面是两相区（模糊区）。
相变问题的求解方法：
要确定液相和固相的温度分布及固－液相界面的位置。
常用的几种求解方法：
1,积分法；
2，热源移动法；
3，嵌入法；
4，摄动法；
5，可变特征值法；
6，斯蒂芬法。
§ 9.1 相变问题的基本方程
这里仅讨论固－液相有明确的移动界面的情况。
假设,
1，固－液相的密度相同；
2，固－液相中的传热都是单纯的热传导方式,
界面上满足的基本关系是：
a,界面上的温度为同一温度,称之为凝固（或熔解）温度，是给定的；
b,在界面上满足能量平衡。
图 (9-1) 凝固过程界面向着 x的正方向移动一维瞬态凝固过程中，固－液相界面上的能量方程：
（通过固相朝向 x 负方向的热流密度）
－
通过液相朝向 x 负方向的热流密度）
＝
（凝固过程中单位界面上释放的热流速率）
基本方程：
液相区只考虑导热 (9-4c)式；
液相区只考虑对流 (9-5)式；
考虑固、液相密度不同 (9-8)式。
§ 9.2 相变问题的求解
单区域：
图 (9-2) (a) 过冷液体的凝固 (单区域 )
图 (9-2) (b) 熔解过程 (单区域 )
双区域图 (9-2) (c) 凝固过程 (双区域 )
（一），精确解的近似法－积分法：
图 (9-3) 熔解问题 (单区域 )
第一步：定义一个热边界层 S(t)：
建立从 x = 0 ~ S(t) 的能量平衡方程：
（在 x = 0 处导入的热量） -
（在 x = S(t) 处导出的热量）
＝ (在 x = 0 ~ S(t) 层中的内能的变化率）
将 a,b,c 代入 (4) 式得到了液相区的温度分布 。
半空间内熔解问题的近似解和精确解所得结果相当接近，见讲义
P.449图 (10-6).
（二），移动热源法：
凝固（或熔解）过程中热量的释放
（或吸收）可视为固－液界面处有一移动的平面热源（或热汇）。
这样就可以将一个瞬态相变问题转化为一个具有移动平面热源的瞬态热传导问题。
求解固、液相的温度分布图 (9-4) 半空间内的凝固过程（双区域）
第一步，以上的瞬态的相变问题等价于在 x = S(t) 处有一移动的平面热源的瞬态热传导问题，即
由 的性质，从上式可以看出，在 x < S(t) 区域为 (1)式（固相区），在 x > S(t) 区域为 (2) 式
（液相区），边界条件和初始条件相同。
问题（ 4）为非齐次非稳态问题，可以分解为一个齐次非稳态问题 T1 及一个非稳态非齐次问题 T2,即第二步，求解得到第三步，利用 x = S(t) 处的条件求解方程 (10),得到 S(t),
该方法的步骤：
(1),用在界面上移动平面热源的瞬态热传导问题代替相变问题；
(2),求解温度场；
(3),利用界面上的条件，得到 S(t) 积分方程；
(4),求解 S(t) 的积分方程，得到 S(t),
§ 9.3 斯蒂芬问题的温度分布公式及其应用 (解析解的近似法 )：
参考文献：
王朝阳：斯蒂芬问题的温度分布公式及其应用,1984年传热传质学术会议论文集。
（一）,Stefan问题中的温度分布
(1),半无限大物体熔化的温度分布公式
假设半无限大固体的温度处处均匀且等于熔化温度 Tm,在初始瞬间表面温度突然提高到某温度 T0,
T0 > Tm,
则熔化后液体部分的温度分布必须满足下列热传导方程和在熔化层
x = δ (t) 上的边界条件；
λ－ 导热系数；
δ－ 界面位置
上述结果表示了熔化后液体区域的温度分布随界面层 δ (t) 和位置 x 的变化关系。
(2),球体凝结的温度分布公式
按照上述做法，可得球体凝结时内部的一般温度分布公式：
上述结果表示球体的相变问题的温度分布随冰冻层 η 和位置 r
的变化关系。
（二）几点说明：
(1),用该方法不能确定圆柱体的温度分布；
(2),在式 (4),(6)中只要知道 δ (t) 的函数关系，就可以确定其温度分布。
但是，在大多数实际问题中,δ (t)
的函数表达式一般与边界条件有关，
因此，温度分布取决于边界条件；
在生物组织的凝结等方面，
为常数，即可很方便地确定其温度分布。
(3),如果我们在 (4),(6)式中仅取前三项，那么，得到温度分布的近似表达式：
半无限大物体熔化的温度分布公式球体凝结的温度分布公式
（三）,讨论
The End
例如固、液两相的熔化或凝固的瞬态传热问题，都属于相变问题。
相变问题的特点：在固－液交界面处吸收或释放潜热时，界面是移动的。
对单纯的物质，如水，其凝结现象发生在某一温度下，该移动界面是明确的。
对非单纯材料，如石腊、合金，其凝固现象发生在一个温度范围，移动界面是两相区（模糊区）。
相变问题的求解方法：
要确定液相和固相的温度分布及固－液相界面的位置。
常用的几种求解方法：
1,积分法；
2，热源移动法；
3，嵌入法；
4，摄动法；
5，可变特征值法；
6，斯蒂芬法。
§ 9.1 相变问题的基本方程
这里仅讨论固－液相有明确的移动界面的情况。
假设,
1，固－液相的密度相同；
2，固－液相中的传热都是单纯的热传导方式,
界面上满足的基本关系是：
a,界面上的温度为同一温度,称之为凝固（或熔解）温度，是给定的；
b,在界面上满足能量平衡。
图 (9-1) 凝固过程界面向着 x的正方向移动一维瞬态凝固过程中，固－液相界面上的能量方程：
（通过固相朝向 x 负方向的热流密度）
－
通过液相朝向 x 负方向的热流密度）
＝
（凝固过程中单位界面上释放的热流速率）
基本方程：
液相区只考虑导热 (9-4c)式；
液相区只考虑对流 (9-5)式；
考虑固、液相密度不同 (9-8)式。
§ 9.2 相变问题的求解
单区域：
图 (9-2) (a) 过冷液体的凝固 (单区域 )
图 (9-2) (b) 熔解过程 (单区域 )
双区域图 (9-2) (c) 凝固过程 (双区域 )
（一），精确解的近似法－积分法：
图 (9-3) 熔解问题 (单区域 )
第一步：定义一个热边界层 S(t)：
建立从 x = 0 ~ S(t) 的能量平衡方程：
（在 x = 0 处导入的热量） -
（在 x = S(t) 处导出的热量）
＝ (在 x = 0 ~ S(t) 层中的内能的变化率）
将 a,b,c 代入 (4) 式得到了液相区的温度分布 。
半空间内熔解问题的近似解和精确解所得结果相当接近，见讲义
P.449图 (10-6).
（二），移动热源法：
凝固（或熔解）过程中热量的释放
（或吸收）可视为固－液界面处有一移动的平面热源（或热汇）。
这样就可以将一个瞬态相变问题转化为一个具有移动平面热源的瞬态热传导问题。
求解固、液相的温度分布图 (9-4) 半空间内的凝固过程（双区域）
第一步，以上的瞬态的相变问题等价于在 x = S(t) 处有一移动的平面热源的瞬态热传导问题，即
由 的性质，从上式可以看出，在 x < S(t) 区域为 (1)式（固相区），在 x > S(t) 区域为 (2) 式
（液相区），边界条件和初始条件相同。
问题（ 4）为非齐次非稳态问题，可以分解为一个齐次非稳态问题 T1 及一个非稳态非齐次问题 T2,即第二步，求解得到第三步，利用 x = S(t) 处的条件求解方程 (10),得到 S(t),
该方法的步骤：
(1),用在界面上移动平面热源的瞬态热传导问题代替相变问题；
(2),求解温度场；
(3),利用界面上的条件，得到 S(t) 积分方程；
(4),求解 S(t) 的积分方程，得到 S(t),
§ 9.3 斯蒂芬问题的温度分布公式及其应用 (解析解的近似法 )：
参考文献：
王朝阳：斯蒂芬问题的温度分布公式及其应用,1984年传热传质学术会议论文集。
（一）,Stefan问题中的温度分布
(1),半无限大物体熔化的温度分布公式
假设半无限大固体的温度处处均匀且等于熔化温度 Tm,在初始瞬间表面温度突然提高到某温度 T0,
T0 > Tm,
则熔化后液体部分的温度分布必须满足下列热传导方程和在熔化层
x = δ (t) 上的边界条件；
λ－ 导热系数；
δ－ 界面位置
上述结果表示了熔化后液体区域的温度分布随界面层 δ (t) 和位置 x 的变化关系。
(2),球体凝结的温度分布公式
按照上述做法，可得球体凝结时内部的一般温度分布公式：
上述结果表示球体的相变问题的温度分布随冰冻层 η 和位置 r
的变化关系。
（二）几点说明：
(1),用该方法不能确定圆柱体的温度分布；
(2),在式 (4),(6)中只要知道 δ (t) 的函数关系，就可以确定其温度分布。
但是，在大多数实际问题中,δ (t)
的函数表达式一般与边界条件有关，
因此，温度分布取决于边界条件；
在生物组织的凝结等方面，
为常数，即可很方便地确定其温度分布。
(3),如果我们在 (4),(6)式中仅取前三项，那么，得到温度分布的近似表达式：
半无限大物体熔化的温度分布公式球体凝结的温度分布公式
（三）,讨论
The End
