第四章球坐标系中的分离变量法
§ 4.1 控制方程的分离变量球坐标系下三维、稳态、齐次热传导方程
分离变量，令
代入 (4-1)式，得经整理后，得到
方程 (4-2)左边是 r 的函数，右边是的函数，而且两边相等，只有两边都为同一个常数。
考虑 Legendre方程和自然边界条件下的特征值问题。
令常数为 L (L+1),(4-2)式为上式可以分解为二个方程：
r 方向的方程是欧拉型常微分方程
解的方法,
考虑如下方程将 (3),(4)代入 (1)中，得从而得到方程 (4-4)的解：
考虑 θ 和 φ 方向的方程的解：
分离变量：
代入 (4-3)式，得到整理，有
设常数为 λ,得到两个方程方程 (4-8)的解为方程 (4-9)为方程 (4-11)变为即称为 L 阶的缔合 Legendre方程。
若球坐标对方位角是 φ 对称的，则
T 与 φ 无关,m = 0,方程为该方程称为 L 阶的 Legendre方程。
§ 4.2 Legendre方程的解法
Legendre方程的解法改写成整理出来 x 相同次幂的系数，令其为零，得到一系列方程，
可以求出 a0,a1,a2,……,ak,即求出了 θ (x) 的解。
L阶缔合 Legendre方程的解法代入到 (4-13)中，有可以用同样的方法解出来。
§ 4.3 用 Legendre函数表示任意函数
(一 ),整球 -1 ≤ μ ≤ 1 区域内的表达式
(1) T 与方位角 φ 无关的情况任意函数 F(μ) 用 Legendre多项式来表示,在 处舍去，
将 (4-21)式代入 (4-20)式，得到
(2) T 与方位角 φ 有关的情况
方程为基本解为和
任意函数表示为利用缔合 Legendre函数的正交性：
和三角函数的正交性：
(二 )，半球 0 ≤ μ ≤ 1
(1),T 与 φ 无关的情况
(三 )，部分球区域内的表达式
= m ! 其中
若 T 与 φ 有关，其基本解为
和则有其中
§ 4.4 Examples
Exapmle 4-1
实心半球,0 ≤ μ ≤ 1,
0 ≤ r ≤ b,τ= 0,T = F( r,μ ）,
已知 τ > 0,r = b 处球面保持 T( b,τ ) = 0,
μ = 0 处底面绝热，
求 T = f ( r,μ,τ ).
图（ 4－ 3）例 4－ 1中半球的边界条件和初始条件
控制方程,
边界条件：
初始条件为,T= F( r,μ ),
分离变量，
该方程的解为最后得到完整的解为应用初始条件确定系数 C np.
最后得到
Exapmle 4-2
一空心球 a ≤ r ≤ b,τ = 0,
T = F ( r ),
τ > 0 空心球壁内单位体积的恒定的热量产生速率为 g0,
r = a 和 r = b 处的边界壁面温度均匀，并分别为 Ta 和 Tb,试求该空心球温度分布。
图（ 4－ 4）例 4－ 2的空心球的边界条件和初始条件问题的数学描述
作变换
得到
以上为 非齐次非稳态 问题，将其分解为两个问题，
一个是 非齐次稳态问题,
另一个是 齐次非稳态问题
整个问题的解是
稳态问题的解是：
非稳态问题的解是其中由此得到整个问题的解。
The End
§ 4.1 控制方程的分离变量球坐标系下三维、稳态、齐次热传导方程
分离变量，令
代入 (4-1)式，得经整理后，得到
方程 (4-2)左边是 r 的函数，右边是的函数，而且两边相等，只有两边都为同一个常数。
考虑 Legendre方程和自然边界条件下的特征值问题。
令常数为 L (L+1),(4-2)式为上式可以分解为二个方程：
r 方向的方程是欧拉型常微分方程
解的方法,
考虑如下方程将 (3),(4)代入 (1)中，得从而得到方程 (4-4)的解：
考虑 θ 和 φ 方向的方程的解：
分离变量：
代入 (4-3)式，得到整理，有
设常数为 λ,得到两个方程方程 (4-8)的解为方程 (4-9)为方程 (4-11)变为即称为 L 阶的缔合 Legendre方程。
若球坐标对方位角是 φ 对称的，则
T 与 φ 无关,m = 0,方程为该方程称为 L 阶的 Legendre方程。
§ 4.2 Legendre方程的解法
Legendre方程的解法改写成整理出来 x 相同次幂的系数，令其为零，得到一系列方程，
可以求出 a0,a1,a2,……,ak,即求出了 θ (x) 的解。
L阶缔合 Legendre方程的解法代入到 (4-13)中，有可以用同样的方法解出来。
§ 4.3 用 Legendre函数表示任意函数
(一 ),整球 -1 ≤ μ ≤ 1 区域内的表达式
(1) T 与方位角 φ 无关的情况任意函数 F(μ) 用 Legendre多项式来表示,在 处舍去，
将 (4-21)式代入 (4-20)式，得到
(2) T 与方位角 φ 有关的情况
方程为基本解为和
任意函数表示为利用缔合 Legendre函数的正交性：
和三角函数的正交性：
(二 )，半球 0 ≤ μ ≤ 1
(1),T 与 φ 无关的情况
(三 )，部分球区域内的表达式
= m ! 其中
若 T 与 φ 有关，其基本解为
和则有其中
§ 4.4 Examples
Exapmle 4-1
实心半球,0 ≤ μ ≤ 1,
0 ≤ r ≤ b,τ= 0,T = F( r,μ ）,
已知 τ > 0,r = b 处球面保持 T( b,τ ) = 0,
μ = 0 处底面绝热，
求 T = f ( r,μ,τ ).
图（ 4－ 3）例 4－ 1中半球的边界条件和初始条件
控制方程,
边界条件：
初始条件为,T= F( r,μ ),
分离变量，
该方程的解为最后得到完整的解为应用初始条件确定系数 C np.
最后得到
Exapmle 4-2
一空心球 a ≤ r ≤ b,τ = 0,
T = F ( r ),
τ > 0 空心球壁内单位体积的恒定的热量产生速率为 g0,
r = a 和 r = b 处的边界壁面温度均匀，并分别为 Ta 和 Tb,试求该空心球温度分布。
图（ 4－ 4）例 4－ 2的空心球的边界条件和初始条件问题的数学描述
作变换
得到
以上为 非齐次非稳态 问题，将其分解为两个问题，
一个是 非齐次稳态问题,
另一个是 齐次非稳态问题
整个问题的解是
稳态问题的解是：
非稳态问题的解是其中由此得到整个问题的解。
The End
