第六章杜哈美尔定理方法
§ 6.1 杜哈美尔定理的表述
（一） 定义
求解热源项或边界条件项均随时间变化的热传导问题的方法。
热源项和边界条件随时间变化的三维非齐次的热传导方程：
边界条件：
初始条件：
ki,hi 是常数，
ki = 0 是第一类边界条件；
hi = 0 是第二类边界条件。
g( r,t),fi( r,t ) 是时间的函数。
辅助问题的解
引进参变量 τ,它不表示时间，
假设
不是时间的函数，
令
为问题 (6-1)中
不是时间函数的解。
辅助问题的方程和初、边值条件 ;
边界条件：
初始条件：
应用杜哈美尔定理将问题 (6-2)的解和问题 (6-1)的解联系起来。
杜哈美尔定理的几种特殊情况：
(1),初始温度为零,即
由 (6-4)式则有
(2),初始温度为零，只含有一个非齐次项，
(a),只含有一个非齐次边界条件：
边界条件：
初始条件,
相应的辅助问题为
边界条件：
(b),只有热源项是时间的函数：
控制方程：
边界条件,T = 0,
以及初始条件,T = 0,
相应的辅助问题为
边界条件,Φ = 0,
以及初始条件,Φ = 0 。
§ 6.2 应用举例
应用杜哈美尔定理，求解一个平板问题，见图。
图 (6-1) 例题的图
控制方程
边界条件
初始条件
边界条件
初始条件
利用已知结果，可以得到辅助问题的解 (见书 p77例 2-15)。
(6)式在 x = 0,x = L 处均为零，不收敛于边界条件 f1 ( t ),
f2 ( t ),
解决的途径是将 (6)式进行分步积分，将上述级数用等价的封闭形式的表达式表示。
将式写成如下形式：
对 (8)式进行分步积分,得到将 (9)式代入 (7)式,得到
将 (11),(12)式代入 (10)式,可以得到经整理,得到
The End