第三章圆柱坐标系中的分离变量法
§ 3.1 热传导问题的分离变量方法
圆柱坐标系下三维、非稳态、齐次热传导方程将解分解为只含空间变量及只含时间变量的两个解。
代入 (3-1)式，得经整理后，得到对空间变量 ψ再次进行分离变量，得到：
代入 (3-5)式，得到若 (3-7)式成立，每一项都必须分别等于某一任意的分离常数，即即可以注意到由分离方程 (3-8),
分别得到它们的基本解：
方程 (3-4)的解为将基本解 (3-9a) ～ (3-9d)
代入 (3-2)(3-6)就得到了问题 (3-1)
的完全解 。
分离常数及积分常数由边界条件和初始条件来确定，这里也要利用特征函数的正交性。
§ 3.2 用 Bessel函数表示任意函数本节介绍
(1) 实心圆柱 ( 0 ≤ r ≤ b ) ;
(2) 空心圆柱 ( a ≤ r ≤ b ) ;
(3) 无穷大圆柱 ( 0 ≤ r < ∞ ) ;
(4) 空心无穷大圆柱 ( a ≤ r < ∞ ) ;
(5) 部分圆柱五种情况下的圆柱区域用 Bessel函数表示任意函数，
详细介绍第一种情形。
一,0 ≤ r ≤ b 的实心圆柱问题：
特征方程为边界条件：
上述问题是斯特姆 -刘维尔问题的特殊情况 (见梁昆淼：数学物理方法（第三版），人民教育出版社，
北京,1998)
(3-10b)为第三类边界条件。
方程 (3-10a)所示的问题是斯特姆 -刘维尔问题的特殊情况,所以特征函数在区域 0 ≤ r <b 内带权 r 的正交性质为 (见梁昆淼：数学物理方法 )：
利用正交函数的性质 (3-11),得
其中称为 模,
将 (3-13a)及 (3-13b)代入 (3-12)式，
有
利用 Bessel函数的积分求模 (见梁昆淼：数学物理方法 )，
在 r = b 处对第一，二，三类边界条件求出特征函数,
模及特征值讨论在 r = b 处第三类边界条件的情况 。
(3-10a)的解为
(3-16)
要使上述解满足 r = b 处的第三类边界条件，即 (3-10b)，
特征值 应该是下列方程的正根,
用试凑法或曲线相交法求 (3-17)超越方程的根。
求模,
由模的定义 (3-13b)，
利用 Bessel函数的积分 (3-15)及解 (3-16)，得到对 r = b 处第一，二类边界条件下的特征函数,
模及特征值,
见书 p.96.
对实心圆柱第一、第二、第三类
边界条件下的特征函数
模
及特征值
见表 3－ 1（ p.97 ）
0 ≤ r ≤ b,z = L 的轴对称圆柱，
底面和侧面的温度为 T1,顶面的温度为 T= f(r),求该区域的温度分布
T(r,z) 。
例 3-1.
图（ 3－ 1） 例 3－ 1的图控制方程：
边界条件：
为了解的方便，令,
代入上式，得到边界条件：
假设分离变量形式的试探解将 (3)代入 (2),得到化为两个二阶常微分方程：
考虑解必须有界，舍去
J0 为第一类零阶 Bessel函数；
以及第二个方程：
其解为最后，整个解的表达式为用算子作用上式两边，及应用正交函数的性质，
二,a ≤ r ≤ b 区域的柱壁问题：
特征方程、正交函数、求系数 Cm 都和前面的方法相同。但对 r = a,
r = b 的不同的边界条件有不同的
,
模,
及特征值 。
下面以 r = a,r = b 处皆为第三类边界条件为例，说明求解过程。
特征方程：
设 是特征值问题
(3－ 19)的特征函数，且把取为将 (3-20)代入边界条件 (3-19b)，得到特征值 是超越方程 (3-21)的正根。
模上述积分运算见注释 2,(p.151).
表 (3-2)(p.102)列出了柱壳
a ≤ r ≤ b 九种边界条件的特征函数
模,
特征值,可以直接应用。
三,0 ≤ r < ∞ 区域问题：
特征方程,
若 F(r) 在区域内有界，
是绝对收敛的，
那么，任意函数 F(r) 可以用 Bessel函数表示为：
例 (3-2)
0 ≤ r < ∞,τ = 0,
T(r,τ ) = F(r),试求
τ > 0 时该区域的 T(r,τ ) 的表达式。
控制方程：
初始条件：
进行分离变量
(3),(4)的解分别为
求系数 C(β),
由初始条件式，得到
(6)式与 (3-26)式对照比较，
得到系数 C(β),
将 (8)代入 (5)，得到具体积分见附录 IIIp714。
四,a ≤ r < ∞区域问题：
图 (3-2) a ≤ r < ∞ 的区域
一维轴对称方程：
用 (3-27a)问题的解表示任意函数 F(r) 的结果为：
对于在 r = a 处为第一、二、三类边界条件时的
,
列于表 (3-3)(p.105).
例 (3-3)
在圆柱坐标系中,a ≤ r < ∞,
τ = 0,T(r,τ ) = F(r),
在 r = a 处 T = 0,
试求 τ > 0 时该区域的 T(r,τ) 的表达式。
控制方程：
边界条件：
初始条件：
进行分离变量时间变量函数的解为
空间变量函数应为满足以下问题的解
解为
由初始条件 (3)式，得到
将 (8)式与 (3-28)式对照比较，得到系数
C(β):
将 (9)代入 (7)，得到
式中,
和
从表 (3-3)第三条查到。
五,部分圆柱问题：
图（ 3－ 3） 部分圆柱区域
定义的部分圆柱为 0 ≤ φ ≤ φ 0 < 2 π,
该问题的基本解为
和
其中特征函数,
模 和特征值可以由
表 (3-1)和表 (3-2)得到,
上述方程和直角坐标系中的特征值问题是相同的。
对于在 φ = 0 及 φ = φ0 处的各种边界条件的组合，其对应的特征函数
Φ( ν,φ),模 N(ν) 及 特征值 ν 可以由表 (2-2)查到 。
§ 3.3 乘积解
在第二章直接坐标系中的乘积解的原理和条件，同样适合于圆柱坐标系中的多维齐次热传导问题 。
若初始条件可以表示为各个空间变量的函数的乘积，则圆柱多维齐次热传导问题的解可以化为一维圆柱热传导问题的解的乘积。
注意：方程和边界条件都是齐次的 。
§ 3.4 含热源问题 (非齐次问题 )
一,含热源项多维稳态问题：
方程为
利用第二章介绍过的方法，方程的解为 齐次方程的通解和 (3-30)的特解之和,
非齐次方程的特解 p(r,φ,z)
可以由表 (3-4)(p.144)查到。
二,含热源项非稳态问题：
控制方程,
边界条件：
初始条件：
该问题可以化为：
带有内热源且边界也可能为非齐次的问题：
应用练习：
对于非等截面的三角肋，环肋，沿热流方向肋的横截面是变的，对流换热面积从肋基与距离的关系也不是线性的。
图（ 3－ 4）肋的形状
下面以环肋为例，进行分析，建立方程及求解。
环肋轴对称，且肋很薄，所以温度只随 r 变化。
取微元，建立能量平衡方程，见图 (3-5).
导入微元体的热量 =
导出微元体的热量 +
微元体对流损失热流,
其中其中 A 为导热面积,S 为对流换热面积,
代入能量平衡方程：
得到，
方程化为这是零阶 Bessel方程。
试求,(1) 肋的温度分布； (2) 通过肋的传热量。
边界条件：
小结：
（一）：齐次问题：
(1),变量为 (r,τ) 的齐次问题
0 ≤ r ≤ b,见表 (3-1);
a ≤ r ≤ b,见表 (3-2);
a ≤ r < ∞,见表 (3-3);
(2),变量为 (r,z,τ ) 的齐次问题 ;
(3),变量为 (r,φ,τ ) 的齐次问题
0 ≤ φ ≤ 2 π 的整圆柱 ;
0 ≤ φ < φ 0 < 2 π 的部分圆柱 ;
(4),变量为 (r,φ,z,τ) 的齐次问题
实心圆柱；空心圆柱；部分实心圆柱；
部分空心圆柱；
（二）：乘积解,多维齐次问题的解法。
（三）：多维非齐次问题：
(1),主方程为齐次的，只有一个非齐次边界条件，其解 为 u,
(2),主方程为齐次的，有多个非齐次边界条件－化为只有一个非齐次边界问题的解的和
(3),主方程为非齐次的 (含内热源 )稳态问题－
化为求一个齐次方程的通解 θ
+
一个非齐次方程特解 p ；
(4),非齐次非稳态问题－
化为求一个非齐次稳态问题的解 Ts
+
一个齐次非稳态问题的解 Th；
注意,上述问题中的非齐次部分都不随时间变化 。
The End
§ 3.1 热传导问题的分离变量方法
圆柱坐标系下三维、非稳态、齐次热传导方程将解分解为只含空间变量及只含时间变量的两个解。
代入 (3-1)式，得经整理后，得到对空间变量 ψ再次进行分离变量，得到：
代入 (3-5)式，得到若 (3-7)式成立，每一项都必须分别等于某一任意的分离常数，即即可以注意到由分离方程 (3-8),
分别得到它们的基本解：
方程 (3-4)的解为将基本解 (3-9a) ～ (3-9d)
代入 (3-2)(3-6)就得到了问题 (3-1)
的完全解 。
分离常数及积分常数由边界条件和初始条件来确定，这里也要利用特征函数的正交性。
§ 3.2 用 Bessel函数表示任意函数本节介绍
(1) 实心圆柱 ( 0 ≤ r ≤ b ) ;
(2) 空心圆柱 ( a ≤ r ≤ b ) ;
(3) 无穷大圆柱 ( 0 ≤ r < ∞ ) ;
(4) 空心无穷大圆柱 ( a ≤ r < ∞ ) ;
(5) 部分圆柱五种情况下的圆柱区域用 Bessel函数表示任意函数，
详细介绍第一种情形。
一,0 ≤ r ≤ b 的实心圆柱问题：
特征方程为边界条件：
上述问题是斯特姆 -刘维尔问题的特殊情况 (见梁昆淼：数学物理方法（第三版），人民教育出版社，
北京,1998)
(3-10b)为第三类边界条件。
方程 (3-10a)所示的问题是斯特姆 -刘维尔问题的特殊情况,所以特征函数在区域 0 ≤ r <b 内带权 r 的正交性质为 (见梁昆淼：数学物理方法 )：
利用正交函数的性质 (3-11),得
其中称为 模,
将 (3-13a)及 (3-13b)代入 (3-12)式，
有
利用 Bessel函数的积分求模 (见梁昆淼：数学物理方法 )，
在 r = b 处对第一，二，三类边界条件求出特征函数,
模及特征值讨论在 r = b 处第三类边界条件的情况 。
(3-10a)的解为
(3-16)
要使上述解满足 r = b 处的第三类边界条件，即 (3-10b)，
特征值 应该是下列方程的正根,
用试凑法或曲线相交法求 (3-17)超越方程的根。
求模,
由模的定义 (3-13b)，
利用 Bessel函数的积分 (3-15)及解 (3-16)，得到对 r = b 处第一，二类边界条件下的特征函数,
模及特征值,
见书 p.96.
对实心圆柱第一、第二、第三类
边界条件下的特征函数
模
及特征值
见表 3－ 1（ p.97 ）
0 ≤ r ≤ b,z = L 的轴对称圆柱，
底面和侧面的温度为 T1,顶面的温度为 T= f(r),求该区域的温度分布
T(r,z) 。
例 3-1.
图（ 3－ 1） 例 3－ 1的图控制方程：
边界条件：
为了解的方便，令,
代入上式，得到边界条件：
假设分离变量形式的试探解将 (3)代入 (2),得到化为两个二阶常微分方程：
考虑解必须有界，舍去
J0 为第一类零阶 Bessel函数；
以及第二个方程：
其解为最后，整个解的表达式为用算子作用上式两边，及应用正交函数的性质，
二,a ≤ r ≤ b 区域的柱壁问题：
特征方程、正交函数、求系数 Cm 都和前面的方法相同。但对 r = a,
r = b 的不同的边界条件有不同的
,
模,
及特征值 。
下面以 r = a,r = b 处皆为第三类边界条件为例，说明求解过程。
特征方程：
设 是特征值问题
(3－ 19)的特征函数，且把取为将 (3-20)代入边界条件 (3-19b)，得到特征值 是超越方程 (3-21)的正根。
模上述积分运算见注释 2,(p.151).
表 (3-2)(p.102)列出了柱壳
a ≤ r ≤ b 九种边界条件的特征函数
模,
特征值,可以直接应用。
三,0 ≤ r < ∞ 区域问题：
特征方程,
若 F(r) 在区域内有界，
是绝对收敛的，
那么，任意函数 F(r) 可以用 Bessel函数表示为：
例 (3-2)
0 ≤ r < ∞,τ = 0,
T(r,τ ) = F(r),试求
τ > 0 时该区域的 T(r,τ ) 的表达式。
控制方程：
初始条件：
进行分离变量
(3),(4)的解分别为
求系数 C(β),
由初始条件式，得到
(6)式与 (3-26)式对照比较，
得到系数 C(β),
将 (8)代入 (5)，得到具体积分见附录 IIIp714。
四,a ≤ r < ∞区域问题：
图 (3-2) a ≤ r < ∞ 的区域
一维轴对称方程：
用 (3-27a)问题的解表示任意函数 F(r) 的结果为：
对于在 r = a 处为第一、二、三类边界条件时的
,
列于表 (3-3)(p.105).
例 (3-3)
在圆柱坐标系中,a ≤ r < ∞,
τ = 0,T(r,τ ) = F(r),
在 r = a 处 T = 0,
试求 τ > 0 时该区域的 T(r,τ) 的表达式。
控制方程：
边界条件：
初始条件：
进行分离变量时间变量函数的解为
空间变量函数应为满足以下问题的解
解为
由初始条件 (3)式，得到
将 (8)式与 (3-28)式对照比较，得到系数
C(β):
将 (9)代入 (7)，得到
式中,
和
从表 (3-3)第三条查到。
五,部分圆柱问题：
图（ 3－ 3） 部分圆柱区域
定义的部分圆柱为 0 ≤ φ ≤ φ 0 < 2 π,
该问题的基本解为
和
其中特征函数,
模 和特征值可以由
表 (3-1)和表 (3-2)得到,
上述方程和直角坐标系中的特征值问题是相同的。
对于在 φ = 0 及 φ = φ0 处的各种边界条件的组合，其对应的特征函数
Φ( ν,φ),模 N(ν) 及 特征值 ν 可以由表 (2-2)查到 。
§ 3.3 乘积解
在第二章直接坐标系中的乘积解的原理和条件，同样适合于圆柱坐标系中的多维齐次热传导问题 。
若初始条件可以表示为各个空间变量的函数的乘积，则圆柱多维齐次热传导问题的解可以化为一维圆柱热传导问题的解的乘积。
注意：方程和边界条件都是齐次的 。
§ 3.4 含热源问题 (非齐次问题 )
一,含热源项多维稳态问题：
方程为
利用第二章介绍过的方法，方程的解为 齐次方程的通解和 (3-30)的特解之和,
非齐次方程的特解 p(r,φ,z)
可以由表 (3-4)(p.144)查到。
二,含热源项非稳态问题：
控制方程,
边界条件：
初始条件：
该问题可以化为：
带有内热源且边界也可能为非齐次的问题：
应用练习：
对于非等截面的三角肋，环肋，沿热流方向肋的横截面是变的，对流换热面积从肋基与距离的关系也不是线性的。
图（ 3－ 4）肋的形状
下面以环肋为例，进行分析，建立方程及求解。
环肋轴对称，且肋很薄，所以温度只随 r 变化。
取微元，建立能量平衡方程，见图 (3-5).
导入微元体的热量 =
导出微元体的热量 +
微元体对流损失热流,
其中其中 A 为导热面积,S 为对流换热面积,
代入能量平衡方程：
得到，
方程化为这是零阶 Bessel方程。
试求,(1) 肋的温度分布； (2) 通过肋的传热量。
边界条件：
小结：
（一）：齐次问题：
(1),变量为 (r,τ) 的齐次问题
0 ≤ r ≤ b,见表 (3-1);
a ≤ r ≤ b,见表 (3-2);
a ≤ r < ∞,见表 (3-3);
(2),变量为 (r,z,τ ) 的齐次问题 ;
(3),变量为 (r,φ,τ ) 的齐次问题
0 ≤ φ ≤ 2 π 的整圆柱 ;
0 ≤ φ < φ 0 < 2 π 的部分圆柱 ;
(4),变量为 (r,φ,z,τ) 的齐次问题
实心圆柱；空心圆柱；部分实心圆柱；
部分空心圆柱；
（二）：乘积解,多维齐次问题的解法。
（三）：多维非齐次问题：
(1),主方程为齐次的，只有一个非齐次边界条件，其解 为 u,
(2),主方程为齐次的，有多个非齐次边界条件－化为只有一个非齐次边界问题的解的和
(3),主方程为非齐次的 (含内热源 )稳态问题－
化为求一个齐次方程的通解 θ
+
一个非齐次方程特解 p ；
(4),非齐次非稳态问题－
化为求一个非齐次稳态问题的解 Ts
+
一个齐次非稳态问题的解 Th；
注意,上述问题中的非齐次部分都不随时间变化 。
The End
