第五章 Laplace 变换方法
Laplace 变换方法广泛应用于求解非稳态热传导问题，将对时间的偏导数消去。方法是简单的，
但对变换后得到的解进行反变换则相当复杂。
§ 5.1 Laplace 变换的定义、
性质
（一） 定义设有一个函数 F(t) 是时间 t 的函数，
如果该函数在复数 S 平面的某一区域收敛，
则称 F(t) 的像函数为称作 F(t) 的像函数图（ 5－ 1） 复变函数的定义
（二） 性质
1，变换是线性的，
其中 C1,C2 为常数。
2，导数的 Laplace 变换：
3,积分的 Laplace 变换：
由导数的 Laplace 变换得到注意到 g(0) = 0,有即重复上述运算，可以得到 F(t) 的多重积分的 Laplace 变换。
4，比例变换：
已知 是 F(t) 的 Laplace 变换，
那么,F(at) 和 (式中 a 是正的实常数）的 Laplace 变换为
5,位移定理（替换性质）
函数 的 Laplace 变换，
其中 a 是常数，即
6,位移（延迟）函数的 Laplace 变换：
单位阶跃函数 U(t) 和 U(t-a) 的定义,
图 (5－ 2) 单位阶跃函数 U(t)和 U(t-a)的定义
位移函数：
位移函数的 Laplace 变换,
结果表明，位移函数 u(t-a)F(t-a)
的 Laplace 变换等于函数 F(t)
的 Laplace 变换乘以,
单位阶跃函数 U(t-a) 的 Laplace
变换：
（ 因为 F(t-a) = 1 )
关于 δ 函数的 Laplace 变换，
卷积的 Laplace 变换和广义卷积的 Laplace 变换，请同学看书。
（三） F(t) 的 Laplace 变换式
§ 5.2 利用 Laplace 变换表进行反变换
在热传导问题中,Laplace 变换一般用于对时间变量的变换上。因此，最重要的一步是把 Laplace 变换得到的像函数从 Laplace 变量 s 的区域变换到实际的时间变量 t 的区域的反变换。
为了简化这一过程，根据
Laplace 变换的性质，已经将许多函数的 Laplace 变换的反变换列成表格。
Exapmle 5-1
求解半无限大物体的温度场。
控制方程：
边界条件和初始条件：
边界条件和初始条件：
根据初始条件和边界条件
(4)式的解为
§ 5.3 用回路积分法对 Laplace
变换进行反变换
由像函数反映的原函数的公式：
上式的意义：
1，该积分是在复平面 s = x+ i y 上进行的；
2，且沿着 x = γ 的无限长直线进行的；
3，注意选取常数 ν 使得全部奇点都在 x = ν 的左边。
图 (5-3) 在反变换公式中的积分路径
–奇点的种类：
1，奇点；
2，孤立奇点；
3，极点；
4，转移点；
像函数化为原函数的积分运算，
需要应用复变函数的回路积分法和用留数定理。现在作一介绍。
（一）：留数定理图 (5-4) 单连通区域和复连通区域
若在该单连通区域上,复变函数 f(s) 是解析的，利用科希定理，则有：
即图 (5-5) 一个孤立奇点
罗朗级数的 项的系数 具有特别重要的地位，
因而 称作函数 f(s) 在点 s 的留数，记作,
留数定理：
图 (5-6) 留数定理的回路
（二）：留数的计算
从原则上说，只要在以孤立奇点为圆心的圆环域上把函数按罗朗级数展开，取它负一次幂项的系数即可。若能直接计算留数，而不作罗朗级数展开就方便了 。
（三）：反变换的积分运算
上述的回路积分和留数定理可用于下面的反变换的关系式的积分运算。
图 (5－ 7) 类型 1所讨论的反变换问题的回路图 (5－ 8) 类型 2所讨论的反变换问题的回路
分别讨论各段的积分，
直线 AB 段积分
§ 5-4 应用举例
Example 1
某一球体，内有一小球，由金属材料构成，
故可近似视为温度均匀分布，即 T2只是时间 t 的函数；在 r > R 的区域，由另外的材料组成，一般为绝热材料。
故该区域的温度分布是 r 和 t 的函数。
试求,T1 ( r,t ) 和 T2 ( t ) 。
（忽略接触热阻）。
图 (5-9) 例题的示意图
（一）控制方程：
边界条件
初始条件
（二）利用 Laplace变换求解：
(1)式的 Laplace变换：
将 T1 ( r,0 ) = Tc,代入上式，整理得到：
(2)式的 Laplace变换：
(3)式的 Laplace
变换：
(4)式的 Laplace
变换：
（三）求原函数 T1( s )
(用 Laplace变换表 )：
根据 Laplace变换表当 r = R 时,T1 ( r,t) = T 2(t),即可求得 T2 (t),
（四）求原函数 T1(s) (用回路积分方法 )：
其中常数将各段积分代入,得到根据留数的计算
The End
Laplace 变换方法广泛应用于求解非稳态热传导问题，将对时间的偏导数消去。方法是简单的，
但对变换后得到的解进行反变换则相当复杂。
§ 5.1 Laplace 变换的定义、
性质
（一） 定义设有一个函数 F(t) 是时间 t 的函数，
如果该函数在复数 S 平面的某一区域收敛，
则称 F(t) 的像函数为称作 F(t) 的像函数图（ 5－ 1） 复变函数的定义
（二） 性质
1，变换是线性的，
其中 C1,C2 为常数。
2，导数的 Laplace 变换：
3,积分的 Laplace 变换：
由导数的 Laplace 变换得到注意到 g(0) = 0,有即重复上述运算，可以得到 F(t) 的多重积分的 Laplace 变换。
4，比例变换：
已知 是 F(t) 的 Laplace 变换，
那么,F(at) 和 (式中 a 是正的实常数）的 Laplace 变换为
5,位移定理（替换性质）
函数 的 Laplace 变换，
其中 a 是常数，即
6,位移（延迟）函数的 Laplace 变换：
单位阶跃函数 U(t) 和 U(t-a) 的定义,
图 (5－ 2) 单位阶跃函数 U(t)和 U(t-a)的定义
位移函数：
位移函数的 Laplace 变换,
结果表明，位移函数 u(t-a)F(t-a)
的 Laplace 变换等于函数 F(t)
的 Laplace 变换乘以,
单位阶跃函数 U(t-a) 的 Laplace
变换：
（ 因为 F(t-a) = 1 )
关于 δ 函数的 Laplace 变换，
卷积的 Laplace 变换和广义卷积的 Laplace 变换，请同学看书。
（三） F(t) 的 Laplace 变换式
§ 5.2 利用 Laplace 变换表进行反变换
在热传导问题中,Laplace 变换一般用于对时间变量的变换上。因此，最重要的一步是把 Laplace 变换得到的像函数从 Laplace 变量 s 的区域变换到实际的时间变量 t 的区域的反变换。
为了简化这一过程，根据
Laplace 变换的性质，已经将许多函数的 Laplace 变换的反变换列成表格。
Exapmle 5-1
求解半无限大物体的温度场。
控制方程：
边界条件和初始条件：
边界条件和初始条件：
根据初始条件和边界条件
(4)式的解为
§ 5.3 用回路积分法对 Laplace
变换进行反变换
由像函数反映的原函数的公式：
上式的意义：
1，该积分是在复平面 s = x+ i y 上进行的；
2，且沿着 x = γ 的无限长直线进行的；
3，注意选取常数 ν 使得全部奇点都在 x = ν 的左边。
图 (5-3) 在反变换公式中的积分路径
–奇点的种类：
1，奇点；
2，孤立奇点；
3，极点；
4，转移点；
像函数化为原函数的积分运算，
需要应用复变函数的回路积分法和用留数定理。现在作一介绍。
（一）：留数定理图 (5-4) 单连通区域和复连通区域
若在该单连通区域上,复变函数 f(s) 是解析的，利用科希定理，则有：
即图 (5-5) 一个孤立奇点
罗朗级数的 项的系数 具有特别重要的地位，
因而 称作函数 f(s) 在点 s 的留数，记作,
留数定理：
图 (5-6) 留数定理的回路
（二）：留数的计算
从原则上说，只要在以孤立奇点为圆心的圆环域上把函数按罗朗级数展开，取它负一次幂项的系数即可。若能直接计算留数，而不作罗朗级数展开就方便了 。
（三）：反变换的积分运算
上述的回路积分和留数定理可用于下面的反变换的关系式的积分运算。
图 (5－ 7) 类型 1所讨论的反变换问题的回路图 (5－ 8) 类型 2所讨论的反变换问题的回路
分别讨论各段的积分，
直线 AB 段积分
§ 5-4 应用举例
Example 1
某一球体，内有一小球，由金属材料构成，
故可近似视为温度均匀分布，即 T2只是时间 t 的函数；在 r > R 的区域，由另外的材料组成，一般为绝热材料。
故该区域的温度分布是 r 和 t 的函数。
试求,T1 ( r,t ) 和 T2 ( t ) 。
（忽略接触热阻）。
图 (5-9) 例题的示意图
（一）控制方程：
边界条件
初始条件
（二）利用 Laplace变换求解：
(1)式的 Laplace变换：
将 T1 ( r,0 ) = Tc,代入上式，整理得到：
(2)式的 Laplace变换：
(3)式的 Laplace
变换：
(4)式的 Laplace
变换：
（三）求原函数 T1( s )
(用 Laplace变换表 )：
根据 Laplace变换表当 r = R 时,T1 ( r,t) = T 2(t),即可求得 T2 (t),
（四）求原函数 T1(s) (用回路积分方法 )：
其中常数将各段积分代入,得到根据留数的计算
The End
