§12－4 不确定关系 经典力学的成功之处在于，若已知初始状态，既可以知道物体的运动规律。如已知t = 0时粒子坐标、动量，既可以求任意t时粒子坐标、动量和粒子的运动轨道。既经典力学给物体的运动状态给出了决定性的规律。 最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、动量)去描述微观粒子。但波动性使微观粒子的坐标和动量(或时间和能量) 不能同时取确定值。1927年海森伯首先提出了不确定关系，反映微观粒子的基本规律，是物理学中的重要关系。 一、坐标和动量的不确定的关系 1 导出 坐标和动量的不确定的关系可以由电子的单缝衍射实验简单导出。 电子沿Oy向入射缝宽为a的狭缝，电子动量 P；当电子通过宽为a的单缝时，无法准确说出电子的坐标x是多少，只能说电子在Ox轴上的坐标的不确定度 Δx= a 缝前： Py = P ， Px= 0 缝后：电子在屏上出现衍射图形，有一几率分布。出现了x向分动量； 若衍射角为 ( 的电子动量为 ΔPx=P sin( 对于落在衍射第一极小处的电子 ΔPx ( P sin(1 ① 由单缝衍射公式 有 又有德布罗意公式 代入①式 考虑衍射图样的次级条纹， 大部分电子落在中央亮纹范围内，其x方向动量在0 ( h/a范围内，例如，一维自由运动粒子，其动量确定，但其坐标完全不确定。 更一般的理论给出 引入布朗克常量 h = 上面公式写为 2 讨论 1)不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概念。不确定关系说明微观粒子的坐标和动量不能同时确定，其根源在于二象性。微观粒子本应用几率概念描述，不确定关系指明经典力学概念在微观世界的适用程度 2)不确定关系中 h的重要性 由于h(0 ，使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律； 但h很小，使不确定关系在宏观世界不能得到直接体现。不确定关系在宏观世界的效果，好象是微观世界里当h(0时的效果，当h ( 0时,量子物理(经典物理。 二、其他形式的不确定关系 1 时间与能量的不确定关系 (E((t ≥h/2 如果测量光子的时间精确到 (t，则测得的光子能量就不确定到 (E； 若粒子在能量状态 E只能停留(t时间，则在这段时间内，粒子的能量状态并非完全确定。 2 能级宽度和能级寿命 设体系状态的寿命为 (，因测量只能在时间范围( 内进行，则测得的能量必有宽度为( 的不确定程度。满足关系 ( ( ( ～h (--能级宽度， (--能级寿命 理论上，计算平均寿命 → 估计能量的范围 实验上，测量能级宽度 → 估计不稳态的寿命 三、不确定关系的应用 1 用不确定关系作数量级估算 [例1] 估算被约束粒子的能量。氢原子半径 ( 0.5(10-10m，求其中电子动能。 解： (x 约为 0.5(10-10m 动量 (P = h/(2(·2·(x) = 1.05(10-24 kg·m/s 能量 Ek = p2/2m ( 6(10-9 J 或4 eV 同法可确定，原子核内不可能有电子。 原子核线度 ( 10-15m，若核内有电子，可算出核内电子动能高达10 GeV，这样大的动能足以击碎原子核，电子不可能得到这么大的能量。电子不能禁锢在核中。质子、中子在核内的动能只是上面计算值的约百万分之一，可以禁锢在核中。 历史上曾用此法否定了氦原子核是由4个质子和2个电子组成的。 2 波动性的判据 若P >>(P ，粒子可看成经典粒子，轨道概念仍可使用，这可看作是否需要考虑粒子波动性的判据。 [例2] 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。射入的高速电子使气体分子原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状的痕迹—粒子的径迹。 径迹的线度～10-4cm，电子位置的不确定程度： (x≈10-4cm。 动量的不确定程度： (Px ( h/2(x ( 10-28 kg(m/s 云室中的电子动能： Ek～108 eV， 因此电子动量： P = (2m Ek)1/2( 1.8(10-23 kg(m/s 显然p >> (px ，此情形下，坐标和动量基本上可以认为是确定的，可以使用“轨道”概念。 例12－3 一电子具有300ms-1的速率, 动量的不确范围为动量的0.01% (这也是足够精确的了) ,求该电子的位置不确定范围。 解： 电子的动量 动量的不确定范围 位置的不确定量范围 例12-4 一颗质量为50g的子弹，具有300ms-1的速率。若其动量的不确定范围为动量的0.01% (这在宏观范围是十分精确的),求该子弹位置的不确定量范围。 解：子弹的动量 动量的不确定范围 位置的不确定量范围