1
第二章 控制系统的数学模型
控制系统数学模型是对实际物理系统的
一种数学抽象
广义理解：揭示控制系统各变量内在联系及关系
的解析式或图形表示
2
第二章 控制系统的数学模型
1,系统的数学模型
图 模 型,方块图 信号流程图
数学模型,微分方程 传递函数 频率特性
文字模型,算法语言等
模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研
究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分
析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直
观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
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第二章 控制系统的数学模型
2,,三域”模型及其相互关系
微分方程
（时域）
系统
传递函数
（复域）
频率特性
（频域）
L F
t
s ?
1
F
?1
L
?
s??j
s ? ?j
4
第二章 控制系统的数学模型
例 建立 RC电路 运动方程。
r(t)—— 输入量
c(t)—— 输出量
时域, RC=T） —— 微分方程
复域, —————— 传递函数
频域, —— 频率特性
R
C()it()rt ()ct
( t ))(dtd C ( t )T rtC ??
1
1
R ( s )
C ( s )G ( s )
??? Ts
1ωjT
1
1ωR C j
1c)ωG ( j
????? ?
??
r
5
第二章 控制系统的数学模型
微分方程, 传递函数 和 频率特性 分别是系统在
时间域, 复数域 和 频率域 中的数学模型 。 人们在研
究分析一个控制系统的特性时, 可以根据对象的特
点和工程的需要, 人为地建立不同域中的数学模型
进行讨论 。 习惯上把用微分方程的求解, 分析系统
的方法称为数学分析法, 把用传递函数, 频率特性
求解, 分析系统的方法称为工程分析法 。
一般来说, 工程分析法 比 数学分析法 直观, 方
便, 这也是我们引入复域, 频域数学模型的主要原
因 。
6
2-1 典型环节及其数学模型
1、比例环节（又叫放大环节）
特 点,输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现
象。
运动方程, c(t)=Kr(t)
K—— 放大系数，通常都是有量纲的。
传递函数,
频率特性,
KR ( s )C ( s )G ( s ) ??
K)R ( j )C ( j)G ( j ?? ???
K)(sR )(sC
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例 1,输入,?(t)—— 角度 E—— 恒定电压
输出,u(t)—— 电压
运动方程, u(t)=K?(t)
传递函数,
K—— 比例系数，量纲为伏 /弧度。
频率特性, G（ j?） =K
K( s )U( s )G( s ) ?? ?
E
u ( t )
K)( s? )( sU+
+
- ()t??
8
例 2：输入, n1(t)—— 转速 Z1—— 主动轮的齿数
输出,n2(t)—— 转速 Z2—— 从动轮的齿数
运动方程,
传递函数,
频率特性,
( t )nzz( t )n 1
2
1
2 ?
Kzz( s )N ( s )NG( s )
2
1
1
2 ???
Kzz)(j ωN )(j ωN)G ( jω
2
1
1
2 ???
12zz ? ?1Ns ? ?2Ns1 ()nt2 ()nt1Z 2Z
9
其它一些比例环节
()rt ()ct1r 2r
()Rs ? ?Cs
2
12
r
rr? ()Rs ? ?Cs
2
1
R
R
?K+-()rt ()ct
1R 2R3R
?
+
cER ()cit
()bit
()cIs()bIs
10
2,微分环节
特 点, 动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
运动方程,
传递函数,
频率特性,
dt
dr ( t)KC ( t) ?
KS?? R ( s )C ( s )G ( s )
jK ω)R ( j ω )C ( j ω)G ( jω ??
)(sR )(sC
S
11
例 1 RC电路
设,输入 —— ur(t)
输出 —— uc(t)
消去 i(t),得到,
运动方程,
传递函数,（ Tc=RC）
当 Tc<<1时，又可表示成,
频率特性, G（ j?） =jTc?—— 此时可近似为纯微分环节 。
()rut ()cutitCR
? ?? i ( t ) Ri ( t ) d tc1( t )u r
? ?? ( t )u( t ) d tuRC1( t )u ccr
1sT
sT
( s )U
( s )UG ( s )
c
c
r
c
???
sT( s )U ( s )UG( s ) c
r
c ??
R
tuti c )()( ?
12
例 2,测速发电机 CF的数学描述
输 入,?(t)—— 电动机 D转子（与测速发电机同轴）的转角
输 出,uf(t)—— 测速发电机的电枢电压
运动方程,
传递函数,G（ s） =Ks
频率特性,G（ j?） =jK?
dt
( t )dK( t )u
f
??
F ()futD()dut()t?
13
其他微分环节举例
()cut()itCsC C()itR()utCs1
R()cUs ()Is ()Is()Us + ()IsLs ()LEs
()it ()LetL
+
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3、积分环节
特 点,输出量的变化速度和输入量成正比。
运动方程,
传递函数,
频率特性,
)K r ( tdtd c ( t) ?
s
KG ( s ) ?
jω
K)G ( jω ?
)(sR )(sCs1
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例 1,积分电路
输入为 r(t),输出为 c(t)
运动方程,
传递函数,（ T=R1C）
频率特性,
K
+
-()rt ()ct
1R 3RC()cit1()it
)(sR )(sC CsR1
1?
? ?? ?????? r ( t ) d tT1r ( t ) d tCR 1( t ) d tiC1c ( t )
1
c
s
K
Ts
1
R ( s )
C ( s )G ( s ) ?????
1
1c R
r ( t )( t )i( t )i ??
??
??
jT
K
)R ( j
)C ( j)G ( j ???
16
其它 积分环节 举例 D()nt ()xt
D
s
?
()Ns ()Xs ()ut
()it1
Cs()Is ()Us
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4、惯性环节 (又叫非周期环节 )
特点, 此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输
入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
运动方程,
传递函数,
频率特性,
K r ( t )c ( t )dtd c ( t )T ??
1Ts
KG ( s )
??
1jT ω
K)G( jω
??
)(sR )(sC 11?Ts
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例 1：直流电机
输入量, ud —— 电枢电压
输出量,id —— 电枢电流
动态方程如下,
运动方程,
传递函数,
式中 Ld —— 电枢回路电感；
Rd —— 电枢回路电阻；
τd —— 电枢绕组的时间常数；
+ du
diD
ddddd uiRidtdL ??
d
ddd
R
ui
dt
d ???
1
1
)(
)(G ( s )
??? s
R
sU
sI
d
d
d
d
?
d
dd RL??
19
其他一些惯性环节例子 r ( t )
1
1
L
s
R
?()Rs ()Cs M
()ft ()vtB
()Fs ()Vs
()Tt ()t?J B
()Ts ()s?c ( t )R
L
1
1
?s
B
J
B
1
1
?s
B
J
B
20
5、振荡环节
特点,包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个
储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
运动方程,
传递函数,
式中,?—— 阻尼比,T—— 振荡环节的时间常数。
频率特性,
)( sR )( sC
12
1
22 ?? TssT ?
K r ( t )c ( t )dtd c ( t )T2 ζdt c ( t )dT 222 ???
)( sR )( sC
12
1
22 ?? TssT ?
????
??
TjTjR
jCjG
2)1(
1
)(
)()(
22 ????
21
例 1,RLC电路
ωjR C)ωLC-(1
1
1)ωR C ( j)ωL C ( j
1)ωG ( j
22 ?????
?
?
?
???
i ( t ) dt
C
1c ( t )
i ( t ) dt
C
1r i ( t )
dt
di ( t )Lr ( t )
解,
消去中间变量 i(t)得到运动方程,
传递函数,
频率特性,
r ( t )c ( t )dtd c ( t )RCdt c ( t )dLC 22 ???
1R C sLC s
1G ( s )
2 ???
c ( t )r ( t )
R
L C
+
_
()it+
_
_
22
ea(t)--- 输入量为加在电枢两端
?(t) ---输出量为电机轴的角位移 ;
R------电枢绕组的电阻； L------电枢绕组电感；
i(t)----电枢绕组中的电流； eb(t)-- 电动机的反电势；
T(t)---电动机产生的转矩；
J------电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；
B------电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。
R
L ()bet()aet ()t? BJ
)( ti
+
_
D
+
_
例 2 电枢控制式直流侍服电机
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1） T(t)=Ki(t) T(t)—— 转矩 K—— 力矩系数
2） eb(t)—— 反电势 Kb—— 反电势常数
3） ea(t)—— 电枢两端的电压
4）
分别进行拉氏变换
1） T ( s ) = K I ( s )
2） Eb( s ) = Kb s ? ( s )
3） Ea( s ) = ( L s + R ) I ( s ) + Eb( s )
4） T( s ) = ( J s2 + B s ) ? ( s )
dt
( t)dK( t)e bb ??
( t )e( t )eR i ( t )dtd i ( t )L ab ???
T ( t )dt ( t )d θBdt ( t )θdJ 2
2
??
R
L ()bet()aet ()t? BJ
)(tia
+
_
D
+
_
24
消去中间变量 Eb(s),T(s)和 I(s)
)]KK( R BR J ) s( L Bs [ L J s
K
( s )E
( s )θ
b2a ????
?
如果输入量 Ea(s),输出量转速 ?(s),则又可得到,
这是一个典型的振荡环节的传递函数
频率特性,
)KK( R BR J ) s( L BL J s
K
( s )E
( s )
b2a ????
??
R J ) ωj ( L B)LJ ω-KK( R B
K
)(j ωE
)(j ω
2ba ????
?
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电枢回路中的电感 L通常较小，若忽略 L的影响，则,
式中,km=K/(RB+KKb) —— 电动机增益常数
Tm=RJ/(RB+KKb)—— 电动机时间常数。
如果 J,R比较小,Tm趋近于零，又可简化为,
1)ss ( T
K
( s )E
( s )θ
m
m
a ?
? 1sT K( s )E ( s )
m
m
a ?
??
)K 1K(sKs1 / K( s )E
( s )θ
b
'
'
b
a
???
26
例 3：机械装置
输入 ----------力, f(t),
输出 ----------位移,x(t) 。
微分方程
式中,K—— 弹簧弹性系数；
M—— 物体的质量,
B—— 粘性摩擦系数。
传递函数,
M
()ft
()xt
B
图2-16 机械振荡
K
)()()()( 2
2
tKxdt tdxBdt txdMtf ???
1s
K
Bs
K
M
K
1
F ( s )
X ( s )G ( s )
2 ??
??
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6、一阶微分环节
特 点,此环节的输出量不仅与输入量本身
有关，而且与输入量的变化率有关
运动方程,
传递函数,G( s ) = Ts + 1
频率特性,G( j? ) = j? T + 1
r ( t )dtd r ( t)Tc ( t ) ??
28
RC电路
输入,u(t),输出,i(t), 则
传递函数,（ R=1? RC=? ）
频率特性,
一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节
的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。
u ( t )
dt
d u ( t )
τu ( t ) ]
dt
d u ( t )
[ R C
R
1
R
u ( t )
dt
d u ( t )
c( t )i( t )ii ( t ) 21
????
????
1sU ( s )I ( s ) ?? ?
? ? ?j ω1j ωG ??
1()it()ut ()itRC2()
29
7、二阶微分环节
特点,输出与输入及输入一阶, 二阶导数都有关
运动方程,
传递函数,
频率特性,
可以看出, 二阶微分环节的传递函数和频率特性是
振荡环节的倒数 。
r ( t )dtd r ( t )T2 ζdt r ( t )dTc ( t ) 222 ???
1Ts2 ζsTR ( s )C ( s )G ( s ) 22 ????
???
????
TjT
jTjTjG
2)1(
1)(2)()(
22
22
???
???
30
小结
（ 1） 不同物理性质的系统，可以有相同形式的传
递函数。
例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统,
另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。
（ 2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量
时，就可能得到不同形式的传递函数。
例如：电容：输入 — 电流，输出 — 电压，则是积分环节。
反之，输入 — 电压，输出 — 电流，则为微分环节。
