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,自动控制原理,
—— 根轨迹法 (5-3)
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
复习
序 内容 规 则
1 起点
终点
起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括
无限零点）
2 分支数 等于开环传递函数的极点数（ n?m）
3 对称性 对称于实轴
4
渐近线 相交于实轴上的同一点,
坐标为,倾角为,
5
实轴上
分布
实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，
则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为
奇数
mn
zpn
i
m
j
ji
?
?
???
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? ?1 1? mn k? ??? )12(1 8 0
??
3
复 习
序 内容 规 则
6 分离（回
合）点
实轴上的分离（会合）点
—— （必要条件）
7 出射角
入射角
复极点处的出射角,复零点处的入射角,
8 虚轴交点 （ 1）满足特征方程 的 值；
（ 2）由劳斯阵列求得（及 K1响应的值）；
9 走向 当 时, 一些轨迹向右，则另一些将向左。
10
K1计算
根轨迹上任一点处的 K1,
00)]()([ 111 ?? dsdKds sHsGd 或
? ?
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???? m
i
n
ajj
jia k 1 1)12(1 8 0 ??? ? ? ?
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????? n
j
m
bi
i
ijb k
1 1
)12(180 ??? ?
0)()(1 ?? ?? jHjG ?j
???? 1,2 Kmn
长度的乘积开环零点至向量
长度的乘积开环极点至向量＝
s
s
sHsGK )()(
1
1111
1 ?
4
5－ 3 控制系统性能的复域分析
例, 系统的开环传递函数
试画根轨迹，并确定 时 K1的值。
解,只对根轨迹曲线的特征点进行分析。
(1) 渐近线,3条。
渐近线的夹角,
渐近线与实轴的交点,
（ 2）分离点,
即
（舍去）
)6)(4()()(
1
??? sss
KsHsG
5.0??
??? 180,6013 )12(180 ??? ??? k?
33.33 0)640( ???????? ?
061411 ????? sss
57.11 ??s 1.52 ??s
024203 2 ??? ss
5
5－ 3 控制系统性能的复域分析
（ 3）与虚轴的交点
系统的特征方程,s(s+4)(s+6)+K1=0
令 代入，求得
实部方程,
虚部方程,
解得,
(舍去 )
（ 4）确定 时的 K1 值,过原点作 OA射线交根轨迹于 A,
使得, 测量得,
求得
?js?
010 1 ?? K?
0243 ?? ??
??
?
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??
2 4 0
9.4
1K
?
??
?
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0
0
1K
?
5.0??
?605.0co s 1 ??? ?A O C
5.3,3.5,4.2 ??? ACABOA
5.441 3.55.34.21 ????K
6
5－ 3 控制系统性能的复域分析
A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置,
K1=44.5时另外两个极点
同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 -1.57处对应的 K1=17。
1.22.11 js ???
6.71.22.1 32 ????? sjs Re
Im
07, 6? ? 4? 1, 5 7? 1, 2?5, 33, 52,4
4, 32, 1
601 4 4, 5K ?1
240K ?A
1 4 4, 5K ?B C
7
5－ 3 控制系统性能的复域分析
一、复域分析
1．稳定性分析,
当 K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。
当 K1>240时，根轨迹曲线进入 S右半平面，系统有一对正实
部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。
当 K1<240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在 S
左半平面，系统是稳定的。
2．稳态性能分析,
系统的开环根迹增益 K1与开环放大系数成正比，因此对稳
定的系统来说,K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但
K1 最终不能大于 240，否则，系统将出现不稳定状态。
8
5－ 3 控制系统性能的复域分析
3．动态性能分析,
当 0<K1≤17 时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯
性环节的串联，系统输出具有非周期特性。
当 17<K1<240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产
生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着
K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。
若取 ζ =0.5，极点,s1=-1.2+j2.1,s2=-1.2-j2.1,
s3=-7.6。由于 s3相对 s1,s2来说，远离虚轴,s1,s2可看成
主导极点,s3可忽略，即可用二阶系统的动态特性指标来近
似这个实际上的三阶系统。不难求得该系统的复域动态性能
指标,ζ =0.5,ω n=2.4对应的动态性能时域指标,
ts= =2.9s σp=16.3%
n
.??53
n
.
??
53
9
5－ 3 控制系统性能的复域分析
? ? ? ? ? ? ? ?0aass KsHsG 1 ???
? ? ? ? ? ?? ? ? ?abbsass KsHsG 1 ????
二、增加开环零、极点对系统性能的影响
系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共
同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。
1．增加极点 （以具体系统加以说明）
一般可以认为，当函数 G(s)H(s)在 s左半平面增加极点，会
促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。
设 系统的开环传递函数,
增加零点
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5－ 3 控制系统性能的复域分析
ReIm01 0K ?1 0K ?a?2
a?1K?
1K? Re
Im0
1 0K ?a? 1 0K ?b?b ??1K? 1 0K ?1K?
1K? 1K?
1K?
? ? ? ? ? ? ? ?0aass KsHsG 1 ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?abbsass KsHsG 1 ????
增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由 ± 900变为 ± 600。分离
点向右移。 (a) 稳定,(b) 在 K1小时稳定,K1大可能不稳定。
(a) (b)
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5－ 3 控制系统性能的复域分析
Re
Im
01 0K ? 1 0K ?a?b?c? 1 0K ?bc? ? ?1 0K ?1K?
1K?1
K?
1K?1K?
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1K?
Re
Im
01 0K ?1 0K ?a?
1K
1K1K?
1K?
? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?abccsbsass KsHsG 1 ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? 增加复零点对 0aass KsHsG 1 ???
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-
5－ 3 控制系统性能的复域分析
2．增加零点 （以具体系统加以说明）
对 G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向 s平面左半部移动，
系统的稳定性增加。
? ? ? ? ? ?? ? ? ?abass bsKsHsG 1 ????
Re
Im
01 0K ?1 0K ?a?b? 2
a?
1K?
1K?
1K?b ??
1K?ReIm01 0K ?1 0K ?a?2a?1K?1K?
增加一个零点，根轨迹
将向左弯曲形成一个圆
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5－ 3 控制系统性能的复域分析
Re
Im0
1 0K ?1 0K ?a? 2
a
?1K?
1K? Re
Im
1 0K ?1 0K ?a?2
a
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b ??1K?1
K?
1K?1K?
增加一对轭复数零点后的根轨迹 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?ab
ass bsKsHsG 1 ????
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5－ 3 控制系统性能的复域分析
3,闭环零、极点对系统动态性能的影响
(1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型。
(2) 闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。
(3) 闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加
快，超调量增大，峰值时间提前。
(4) 系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。
(5) 远离虚轴的极点 (或零点 )和偶极子。
(6) 主导极点。