1
,自动控制原理,
—— 根轨迹法
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
第五章, 根轨迹法,
5.1 根轨迹的定义与幅相条件
系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的
根）在 s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已
知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某
一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。
5.1.1 根轨迹的定义
例 设一系统
闭环传递函数
特征方程
特征方程的根,
12
1 Kss K( s ) ????
0Kss 12 ???
12 1,4K15.05.0s ????
1( 1)Kss ?()Rs ()Cs??
3
第五章, 根轨迹法,
若 K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表
所谓根轨迹图，即以系统增益
K1为参变量，当 K1由 0→ ∞时,
系统闭环极点在 s平面上变化
的轨迹。
根据此图可以分析参数变化
对系统特性的影响。
K1 0 0.125 0.25 0.5 …… ∞
s1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 …… -0.5+j∞
s2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 …… -0.5-j∞
ImRe
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1K?
4
第五章, 根轨迹法,
? 稳定性 当增益 K1由 0→ ∞,根轨迹不会越过虚轴进入 s平
面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的,
? 稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属 I
型系统，根轨迹上的值就是 Kv。如果已知 ess，则在根轨迹
图上可以确定闭环极点取值的容许范围。
? 动态特性
当 0< K1 <0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态；
当 K1 =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统 ;
当 K1 >0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位
阶跃响应为衰减振荡过程。
5
第五章, 根轨迹法,
分析表明, 根轨迹与系统性能之间有着较密
切的联系 。 然而, 对于高阶系统, 用解析的方
法绘制系统根轨迹图, 显然是不适用的 。 我们
希望能有简便的图解方 法, 根据已知的开环传
递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹 。 为此, 需
要,
研究开环零, 极点与闭环系统的根轨迹之间的
关系 。
6
第五章, 根轨迹法,
5.1.2 根轨迹的幅相条件
闭环传递函数,
闭环特征方程,
或
由于 是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。
幅角条件,
幅值条件,
()Rs ()Cs?? ()Gs()Hs
)()(1
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sHsG
sGs
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7
设
幅角条件,
幅值条件
或
第五章, 根轨迹法,
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1
1
8
第五章, 根轨迹法,
凡满足幅值和幅角条件的 s值, 都是闭环的极点, 即特征方
程的根 。 这些 s值构成系统的根轨迹 。 关键在于找出这些 s点 。
实际中, 通常在复平面中寻找满足幅角条件的 s值来绘制根
轨迹曲线, 用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的 K1值 。
工程上定义,
（ 1）当 0≤ K1 <+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。
（ 2）当 — ∞< K1 ≤0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。
（ 3）当 — ∞< K1 <+∞时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。
5.1.3 绘制根轨迹的步骤,
（ 1） 寻找满足幅角条件所有的 s点，由这些点构成根轨迹；
（ 2） 根据幅值条件确定对应点 (即特征方程根 )处的 K1值。
9
第五章, 根轨迹法,
5.2 绘制根轨迹图的基本规则
以开环根迹增益 K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则。
1,根轨迹的起点和终点
起点 （ ）,起始于开环传递函数的极点 ；
终点 （ ）,终止于开环传递函数的零点。 包括 m个
有限远的零点（简称有限零点）和 (n-m)
个无限远的零点 (简称无限零点 )。
? 当 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终
点，即由开环的极点移向开环的零点。
01 ?K
??1K
??? 01K
10
起点,
因为
当 时,
说明根轨迹起始于开环传递函数的极点,n阶系
统共有 n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹
的一个起点，所以共有 n个起点。
?
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i
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1
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第五章, 根轨迹法,
11
终点,
（ 1）有 m条根轨迹终止于系统开环传递函数的 m个有限零点。
当 时,
我们把这 m个零点称之为系统的有限零点。
（ 2）有（ n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（ n-m）个无限
零点。
当 时,
上式表明：有 n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处
的零点称之为无限零点。
第五章, 根轨迹法, ?
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n
j jps1?? ?
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1K
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s
m
i
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j
j
s
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K limlim
1
1
1
12
综上所述,系统共有 n个开环零点，其中 m个为有限
零点，（ n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨
迹的一个终点，所以共有 n个终点。
2、根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于开环的极点数。
我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由
前面 的分析可知,n阶系统有 n个根轨迹的起点和终点。所
有的根轨迹都是有头有尾,有始有终。所以其分支数必等
于开环的极点数或系统的阶数 。
第五章, 根轨迹法,
13
3、根轨迹的对称性
根轨迹对称于实轴。
特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。
4、根轨迹的渐近线（ s=∞ 处的根轨迹特征）
渐近线共有 (n-m)条，且相交于实轴上的同一点。
渐近线于实轴的夹角,
(k=0,1,2…… )
渐近线与实轴的交点,
第五章, 根轨迹法,
mn
)k(
?
??? 12180 ??
mn
)zzz()ppp( mn
?
?????????? ?? 2121?
14
（ 1）根轨迹渐近线的倾角
根据幅角条件,
当 时，零点,极点 与 矢量复角可近似看成相等
得到
所以渐近线的倾角,
因共有 (n-m)条渐近线，所以只要取 (n-m)个不同的倾角即可。
第五章, 根轨迹法,
),2,1,0()12(1 8 0
1 1
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i
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mn
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15
（ 2）渐近线与实轴的交点
幅值条件,
当,则对应于,此时,上式可写成,
上式左边展开,
上式右边展开
比较对应 s幂项系数相等，求得,
所以渐近线相交于同一点
第五章, 根轨迹法,
m
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zszs
pspsK
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1
1
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第五章, 根轨迹法,
五、根轨迹在实轴上的分布
实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极
点之和必为奇数 。
在 s=0与 s=-z1之间的实轴上
任取一个试验点 s1加以説明。
Re
Im
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2p?
1p?
2p?)12(1 8 01 1 ??????? ?? ? kpszsmi nj ji
17
例,已知,
试画出根轨迹的大致图形。
解：按根轨迹绘制的规则,
（ 1）起点,0,-1,-2；
终点,∞, ∞, ∞ 。
（ 2）分支数,n=3
（ 3）根轨迹对称于实轴。
（ 4）渐近线：因为本系统中，,所以渐近线共
有 3条。渐近线的倾角,
取 k＝ 0,1,2,得到,
第五章, 根轨迹法,
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1
??? sss
KsHsG
03
121 8 0
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18
渐近线与实轴的交点,
（ 5）根轨迹在实轴上的分布,
0~-1,-2~-∞ 之间。
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Re
Im
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60
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第五章, 根轨迹法,
,自动控制原理,
—— 根轨迹法
上海交通大学自动化系
田作华
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第五章, 根轨迹法,
5.1 根轨迹的定义与幅相条件
系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的
根）在 s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已
知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某
一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。
5.1.1 根轨迹的定义
例 设一系统
闭环传递函数
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3
第五章, 根轨迹法,
若 K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表
所谓根轨迹图，即以系统增益
K1为参变量，当 K1由 0→ ∞时,
系统闭环极点在 s平面上变化
的轨迹。
根据此图可以分析参数变化
对系统特性的影响。
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第五章, 根轨迹法,
? 稳定性 当增益 K1由 0→ ∞,根轨迹不会越过虚轴进入 s平
面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的,
? 稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属 I
型系统，根轨迹上的值就是 Kv。如果已知 ess，则在根轨迹
图上可以确定闭环极点取值的容许范围。
? 动态特性
当 0< K1 <0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态；
当 K1 =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统 ;
当 K1 >0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位
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第五章, 根轨迹法,
分析表明, 根轨迹与系统性能之间有着较密
切的联系 。 然而, 对于高阶系统, 用解析的方
法绘制系统根轨迹图, 显然是不适用的 。 我们
希望能有简便的图解方 法, 根据已知的开环传
递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹 。 为此, 需
要,
研究开环零, 极点与闭环系统的根轨迹之间的
关系 。
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第五章, 根轨迹法,
5.1.2 根轨迹的幅相条件
闭环传递函数,
闭环特征方程,
或
由于 是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。
幅角条件,
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第五章, 根轨迹法,
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第五章, 根轨迹法,
凡满足幅值和幅角条件的 s值, 都是闭环的极点, 即特征方
程的根 。 这些 s值构成系统的根轨迹 。 关键在于找出这些 s点 。
实际中, 通常在复平面中寻找满足幅角条件的 s值来绘制根
轨迹曲线, 用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的 K1值 。
工程上定义,
（ 1）当 0≤ K1 <+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。
（ 2）当 — ∞< K1 ≤0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。
（ 3）当 — ∞< K1 <+∞时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。
5.1.3 绘制根轨迹的步骤,
（ 1） 寻找满足幅角条件所有的 s点，由这些点构成根轨迹；
（ 2） 根据幅值条件确定对应点 (即特征方程根 )处的 K1值。
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第五章, 根轨迹法,
5.2 绘制根轨迹图的基本规则
以开环根迹增益 K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则。
1,根轨迹的起点和终点
起点 （ ）,起始于开环传递函数的极点 ；
终点 （ ）,终止于开环传递函数的零点。 包括 m个
有限远的零点（简称有限零点）和 (n-m)
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点，即由开环的极点移向开环的零点。
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当 时,
说明根轨迹起始于开环传递函数的极点,n阶系
统共有 n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹
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第五章, 根轨迹法,
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终点,
（ 1）有 m条根轨迹终止于系统开环传递函数的 m个有限零点。
当 时,
我们把这 m个零点称之为系统的有限零点。
（ 2）有（ n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（ n-m）个无限
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上式表明：有 n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处
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零点，（ n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨
迹的一个终点，所以共有 n个终点。
2、根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于开环的极点数。
我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由
前面 的分析可知,n阶系统有 n个根轨迹的起点和终点。所
有的根轨迹都是有头有尾,有始有终。所以其分支数必等
于开环的极点数或系统的阶数 。
第五章, 根轨迹法,
13
3、根轨迹的对称性
根轨迹对称于实轴。
特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。
4、根轨迹的渐近线（ s=∞ 处的根轨迹特征）
渐近线共有 (n-m)条，且相交于实轴上的同一点。
渐近线于实轴的夹角,
(k=0,1,2…… )
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第五章, 根轨迹法,
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根据幅角条件,
当 时，零点,极点 与 矢量复角可近似看成相等
得到
所以渐近线的倾角,
因共有 (n-m)条渐近线，所以只要取 (n-m)个不同的倾角即可。
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当,则对应于,此时,上式可写成,
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第五章, 根轨迹法,
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第五章, 根轨迹法,
五、根轨迹在实轴上的分布
实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极
点之和必为奇数 。
在 s=0与 s=-z1之间的实轴上
任取一个试验点 s1加以説明。
Re
Im
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2p?
1p?
2p?)12(1 8 01 1 ??????? ?? ? kpszsmi nj ji
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例,已知,
试画出根轨迹的大致图形。
解：按根轨迹绘制的规则,
（ 1）起点,0,-1,-2；
终点,∞, ∞, ∞ 。
（ 2）分支数,n=3
（ 3）根轨迹对称于实轴。
（ 4）渐近线：因为本系统中，,所以渐近线共
有 3条。渐近线的倾角,
取 k＝ 0,1,2,得到,
第五章, 根轨迹法,
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渐近线与实轴的交点,
（ 5）根轨迹在实轴上的分布,
0~-1,-2~-∞ 之间。
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第五章, 根轨迹法,
