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第四章 控制系统的时域分析
三性分析,稳定性 稳态特性 动态特性
4－ 1 控制系统的稳定性分析
一、稳定的系统概念和定义
稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。
1．稳定性的基本概念
如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的
平衡状态，则称系统是稳定的。反之,称系统是不稳定的。
即取决于系统的零输入响应
()Rs ()Cs()Gs()Bs()Es??Hs
2
2．稳定的充要条件
稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系
统自身的固有特性，而与外界条件无关。
设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函
数,即 R（ S） =1。当作用时间 t>0时,=0，这
相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡
工作点的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应
即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。
)(t?
0)(lim ?
??
tc
t
4－ 1 控制系统的稳定性分析
)(t?
3
设闭环系统的传递函数,
设 为系统特征方程 的根，而且彼此不等。
系统输出,
对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出,
上式表明，线性系统稳定的充要条件是,闭环系统特征方程的
所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在
平面的左半部。
)(
)(
)(
)()(
0111
0111 sD sBasasasa bsbsbsbsR sCs
nnnn
mmmm ?
????
???????
??
??
?
?
? ?? ??? ?? ????
?
?
?
?
??
r
j jjjj
jj
k
i i
i
jsjs
s
ps
c
sD
sBsR
sD
sBsC
11 )()(
)(
)()(
)(
)()(
????
??
)s i nc o s()(
11
tBtAeectc jjjjr
j
tk
i
tp
i ji ??
? ??? ??
??
ip ? ?ni,,2,1 ?? 0)( ?sD
nrk ?? 2
)( nm?
)0( ?t
4
3,劳斯 (Routh) 稳定判据
系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。
劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。
设 线性系统的特征方程为,
由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的 必要条件 是：方程
所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项（系数为
零），则系统为不稳定系统。
劳斯判据分析系统稳定性步骤,
第一步,将特征方程式的系数按下列规则排成两行，即
4－ 1 控制系统的稳定性分析
001
11 ????? ?? asaSasa nnnn ??
???????????42,,?? nnn aaa
???????????531,,??? nnn aa
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第二步,进行下列运算，建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。
例如，现有一个五阶系统，其特征方程,
则劳斯表为
4－ 1 控制系统的稳定性分析
00122334455 ?????? asasasasasa
00
0
00
0
0
0
2
1
21
1
0
1
2121
1
1
0
1
01
2
1
2421
1
2
4
0514
2
4
2534
1
3
024
4
135
5
B
C
BC
Ds
B
BAAB
Cs
a
A
aA
B
A
AaaA
Bs
a
aaaa
A
a
aaaa
As
aaas
aaas
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
第三步,根据劳斯判据判别系统的稳定性。
劳斯判据：系统稳定的充要条件是,
劳斯表中第一列各值为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列
出现负值，则系统不稳定，且实部为正（即分布在平面右半
部）的根的数目，等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。
例,系统的特征方程,
解：列出劳斯表,
因为劳斯表中第一列元素
无符号变化，说明该系统特征
方程没有正实部根，所以,
系统稳定。
4－ 1 控制系统的稳定性分析
0617177 234 ????? ssss
006
0012.14
0657.14
0177
6171
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
7
例, 已知系统的特征方程为,
试用劳斯判据判别其稳定性。
解,列出劳斯表
劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明该系统
有两个特征根在右半 s平面，所以系统不稳定。
050104 23 ???? sss
050
05.2
504
101
0
1
2
3
s
s
s
s
?
4－ 1 控制系统的稳定性分析
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2．劳斯判据的两种特殊情况
(1) 劳斯表中某行第一项元素为零，其余项不为零或不全为零。
此时，可以用一个任意小的正数代替这个零，然后按通常的
规则继续完成劳斯表中其余各项元素的计算。如果零（ ）上
面这项系数符号与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里
有一个符号变化。
例,特征方程,试判别稳定性。
解,
列出劳斯表
劳斯表中第一列元素
符号的变化的次数也为
两次，说明特征方程有
两个正实部的根，所以
系统不稳定。
4－ 1 控制系统的稳定性分析
01255 2345 ?????? sssss
001
00
15
15
01
15
01)(0
151
251
0
2
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
9
（ 2）某一行元素全为零
如果出现某一行元素全为零，说明特征方程存在大小相等符
号相反的实根和（或）共轭虚根，或者共轭复根。此时，可用全
零行上面一行的元素构造一个辅助方程，利用辅助方程对 s的求导
后得到的方程系数代替全零行的元素，然后再按通常的规则完成
劳斯表中其余各项元素的计算。辅助方程的次数总是偶数，所有
那些数值相同符号相异的根都可由辅助方程求得。
例 系统特征方程为,试用判别其稳定性。
解,
列出劳斯表。
全零行上面一行（行）的元素
构造一个辅助方程 A(s), 可求
解 A(s)=0得到数值相等符号相
异的根，系统处于 临界稳定
状态。
4－ 1 控制系统的稳定性分析
0161623 ???? sss
016
0)2(0
161
161
0
1
2
3
s
s
s
s
016)( 2 ??? ssA
js 42,1 ??
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例 确定系统稳定的 K,T值。
解, 系统的特征方程为
列出劳斯表
要使系统稳定，第一列元素
的符号均应大于零。由此得
则稳定条件为,
4－ 1 控制系统的稳定性分析
( 1 )( 1 ) ( 2 1 )Kss T s s???()Rs ()Cs??
0)1()2(2 23 ?????? KsKsTTs
0
0
2
2)1)(2(
2
12
0
1
2
3
Ks
T
TKKT
s
KTs
KTs
?
???
?
?
,02,0 ?? TK
02)1)(2( ???? TKKT
0?T 22??TT,0< K <
11
K
T02 2
4
46
6
8
2
2
T
K
T
?
?
?
系 统 稳 定 区 域
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例,设系统特征方程为,试判别系统的稳
定性，并分析有几个根位于垂线 与虚轴之间。
解：列出劳斯表。劳斯表第
一列无符号变化，所以系统稳定。
令 代入原特征方程,
得到如下特征方程,
劳斯表中第一列元素
符号变化一次，所以
有一个特征方程根在
垂线右边。
4－ 1 控制系统的稳定性分析
02108 23 ???? sss
02
075.9
28
101
0
1
2
3
s
s
s
s
1??s
11 ?? ss
0135 12131 ???? sss
01
08.2
15
31
0
1
1
1
2
1
3
1
?
?
?
?
s
s
s
s
1??s
ImRe01?
[ s ]