1
,自动控制原理,
—— 频 域稳定性分析( 6- 4)
( Nyquist稳定性判据)
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
基本思想, 利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。
一、预备知识 ——幅角定理
由复变函数可知,对 S复平面上除奇点外的任一
点,经过复变函数 F(s)的映射,在 F(s)平面上可以找
到对应的象。设辅助函数
6-4 控制系统稳定性分析
---Nyquist稳定性判据
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令,s从 开始沿任一闭合路径 Γs (不经过 F(s)的零点和极
点) 顺时针 旋转一圈,F(s)的相角变化情况如下,
零点 (-Zi) 极点 (-Pj)
1) –Zi在 Γs外。 2) –Pj在 Γs外。
结论:相角无变化
1) –Zi在 Γs内,。 (顺时针 )
2) –Pj在 Γs内,。 (逆时针 )
结论,若 F(s)在 Γs中有 Z个零点和 P个极点,则当 s沿 Γs顺时
针 方向旋转一圈时,F(s) 相角有变化( 顺时针 ),
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幅角定理,
F(s)是 s的单值有理函数, 在 s平面上任一闭
合路径包围了 F(s)的 Z个零点和 P个极点, 并且
不经过 F(s)的任一零点和极点, 则当 s沿闭合
路径 顺时针 方向旋转一圈时, 映射到 F(s)平面
内的 F(s)曲线 顺时针绕原点 ( Z – P) 圈 。 即
N=Z-P
( 或 逆 时针 绕原点 N= P - Z圈 )
其中,N为圈数, 正, 负表示的旋转方向:逆时
针为正, 顺时针为负 。
5
三, 奈魁斯特稳定性判据
1,奈氏路径
顺时针方向 包围整个 s
右半面 。 由于不能通过
F(s)的任何零, 极点,
所以当 F(s)有若干个极
点处于 s平面虚轴 ( 包
括原点 ) 上时, 则以
这些点为圆心, 作半
径为无穷小的半圆,
按 逆时针 方向 从右侧
绕过 这些点 。
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6
2,奈氏判据
设,——闭环系统特征多项式
显然,F(s) 的零点就是闭环系统的极点 。
(1) 1+ G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析
假如 s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平
面上绘制的 F(s)曲线 ΓF逆时针 方向绕 原点 的圈数 N则为
F(s)在 s右半开平面内极点个数 P与的零点个数 Z之差,
N= P - Z
当 Z=0时,说明系统闭环传递函数无极点在 s右半开
平面,系统是稳定的;反之,系统则是不稳定的。
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7
( 2) G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析 --奈氏判据
因 1+ G(s)H(s) 与 G(s)H(s) 相差 1,所以系统稳定性可表述为,
奈氏判据,闭环系统稳定的充要条件是,s沿着奈氏路径绕
一圈,G(jω)H(jω) 曲线 逆时针 绕( -1,j0) 点的 P圈。
P——为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数。
a.若 P=0,且 N=0,即 GH曲线不包围( -1,j0) 点,则闭环系
统稳定;
b.若 P≠0, 且 N=P,即 GH曲线逆时针 绕 ( -1,j0) 点 P圈,则
闭环系统稳定,否则是不稳定系统。
不稳定系统分布在 s右半平面 极点 的个数可按下式求取,
Z=P N
c.若 GH曲线通过( -1,j0) 点 L次,则说明闭环系统有 L个极
点分布在 s平面的虚轴上。
8
例, 一系统开环传递函数为,
试判别系统的稳定性。
解,本系统的开环频率特性
当 变化时,
系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于 s的右
半平面,即,P=1。
图中奈氏曲线是 逆时针方向 绕( -1,j0) 点的 1圈,即 N=1。
根据 奈氏判据,闭环系统在 s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0
所以系统稳定。
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a,当 s=0是开环极点时,奈氏路径,
s= - j0→+j0 时,以原点为圆心,作
半径为 无穷小的半圆,按逆时针
方向从右侧绕过原点。
令,ε→0 当从 s=-j0转到 +j0
时,θ从 -90°变到 +90°( Ⅰ 型系统 )
所以,从 变到 。
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结论, 当 s从 -j0转到 +j0时,G(s)H(s)的奈氏曲线以
半径为无穷大,顺时针转过 。
b,s→∞ 的奈氏曲线
令, 因为 R→∞, 则有
所以,对 n - m>0的系统,ε就趋向于零。
从 -( n - m) 90° 变到 +( n - m) 90°。
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结论, 当 s 沿奈氏曲线从 +j∞到 - j∞时,对
n>m的系统,G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无
穷小半径,绕原点逆时针转过( n - m) π。
12
例 试判断系统的稳定性,

先作 +j 0到 +j∞时的
G(jω)H(jω)曲线。再根
据对称性,作出 -j 0到
-j∞时的 G(jω)H(jω)曲线。
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K奈氏判据,闭环系统稳定的充要条件是,s沿着奈氏路径绕
一圈,G(jω)H(jω)曲线 逆时针 绕( -1,j0) 点的 P圈。 Z=P N
P ——为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数;
N ——G(jω)H(jω)曲线逆时针绕( -1,j0) 点的圈数;
Z ——闭环系统位于 s右半平面的极点数。
13
题中,即当 s从 - j0转到 +j0时,
G(jω)H(jω) 曲线以半径为无
穷大,顺时针转过 π角(虚
线)。并可求得,? = ?1时,
G(j?)H(j?)与实轴交 。
从图可见,G(s)H(s)的奈氏
曲线顺时针绕 ( -1,j0 ) 点一
圈,N =-1,又因为 P =0,
所以
Z = P - N=1,
说明为不稳定系统,有一个
闭环极点在 s的右半平面。
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例 分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中,
T5<T1<T2,T3和 T4
解,若某 K值下 GH曲线如图,
因 N=0,且 P=0,系统稳定。
1,K增大, 使( -1,j0) 位于
c,d间,曲线顺时针包围
( -1,j0) 两圈,系统不稳定。
2,K减小,使( -1,j0) 位于
a,b之间,曲线顺时针包围
( -1,j0) 点两圈,系统仍不
稳定。 K再减小,使( -1,j0)
点位于 a点左边,那么闭环系
统又稳定了。这样的系统称为
条件稳定系统。即要使系统稳定,K必须满足一定 的条件。
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15
3。一种简易的奈氏判据
( 1)正、负穿越的概念
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画 部分。
所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。
正穿越, 从上而下穿过该段一次(相角增加),用 表示。
负穿越,由下而上穿过该段一次(相角减少),用 表示。
正穿越 负穿越
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17
若 G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1,j0)
以左的负轴上,则穿越次数为半次,且同
样有 + 1/2 次穿越和 -1/2次穿越。
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18
如果 G(jω)H(jω)按逆时针方向铙 (-1,j0) 一周,则
必正穿越一次。反之,若按顺时针方向包围点 (-1,j0)
一周,则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为
G(jω)H(jω)包围的圈数。故 奈氏判据 又可表述为,
闭环系统稳定的充要条件是:当 由 0变化到 时,
G(jω)H(jω)曲线在( -1,j0) 点以左的负实轴
上的正负穿越之和为 P/2 圈。
P为 开环传递函数在 s右半平面的极点数 。此时
Z=P-2N
若开环传递函数无极点分布在 S右半平面,
即,则 闭环系统稳定的充要条件应该是 N=0,
注意:这里对应的 ω变化范围是 。
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19
例, 某系统 G(jω)H(jω)轨迹如下,已知有 2个开环极点分
布在 s的右半平面,试判别系统的稳定性。
解,系统有 2个开环极点分布在 s的右半平面( P=2),
G(jω)H(jω)轨迹在点 (-1,j0)以左的负实轴有 2次正穿越,1次负
穿越,因为,N=,
求得,Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
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Im Re
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20
例, 两系统取一半奈氏曲线,试分析系统稳定性。
解, (a), N= N+ - N –=( 0-1) = -1,且已知 P =0,所以
Z=P-2N=2 系统不稳定。
(b), K>1时,N= N+ - N - =1-1/2= -1/2,且已知 P=1,所以
Z= P-2N=0,闭环系统稳定;
K<1时,N = N+ - N - =0-1/2= -1/2,且已知 P =1,所以
Z= P-2N=2,闭环系统不稳定;
K=1时,奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次,说明有两个根在虚
轴上,所以系统不稳定。
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21
奈氏判据,闭环系统稳定的充要条件是,s沿着奈氏
路径绕一圈,G(jω)H(jω) 曲线 逆时针 绕( -1,j0)
点 P圈。
Z=P N
P —— 为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数;
N —— G(jω)H(jω)曲线逆时针绕( -1,j0) 点圈数;
Z —— 闭环系统位于 s右半平面的极点数。
闭环系统稳定的充要条件是:当 由 0变化到 时,
G(jω)H(jω)曲线在( -1,j0) 点以左的负实轴上的正
负穿越之和为 P/2 圈 。
22
四、伯德图上的奈氏判据
极坐标图 伯德图
单位圆 0db线(幅频特性图)
单位圆以内区域 0db线以下区域
单位圆以外区域 0db线以上区域
负实轴 -1800线(相频特性图)
因此,奈氏曲线自上而下(或自下而上)地穿越( -1,j0)
点左边的负实轴,相当于在伯德图中当 L(ω)>0db时相频特性
曲线自下而上(或自上而下)地穿越 -180°线。
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参照极坐标中奈氏判据的定义,对数坐标下的奈
判据可表述如下,
闭环系统稳定的充要条件是:当 由 0变到 时,
在开环对数幅频特性 的频段内,相频特性
穿越的次数(正穿越 与负穿越 次数之差)
为 。
P为 开环传递函数在 s右半平面的极点数 。
若开环传递函数无极点分布在 S右半平面,即,
则 闭环系统稳定的充要条件是:在 的频段内,
相频特性 在 线上正负穿越次数代数和为零。或
者不穿越 线 。
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例:某系统有两个开环极点在 S右半平面( P=2)
N+- N-=1-2= -1 不等于 P/2( =1)
所以,系统不稳定。
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25
五,稳定裕量
人们常用系统开环频率特性 G(jω)H(jω)与 GH平面
上与( -1,j0) 点的靠近程度来表征闭环系统的稳定
程度。一般来说,G(jω)H(jω)离开( -1,j0) 点越远,
则稳定程度越高;反之,稳定程度越低。
一,相位裕量
增益剪切频率,指开环频率特性 G(jω)H(jω)
的幅值等于 1时的频率,即
在控制系统的增益剪切频率 ωc上,使闭环系统
达到临界稳定状态所需附加的相移(超前或迟后相
移)量,称为系统的相位裕量,记作 γ。
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27
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当 γ<0时,相位裕量
为负,系统不稳定 。
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28
结论,
一般而言
L(ωc)处的斜率为- 20db/+时,系统稳定。
L(ωc)处的斜率为- 40db/+时,系统可能稳定,也可
能不稳定,即使稳定,γ也很小。
L(ωc)处的斜率为- 60db/+时,系统肯定不稳定。
为了使系统具有一定的稳定裕量,L(ω)在 ωc处的
斜率为- 20db/+。
29
2,增益裕量
在系统的相位剪切频率 ωg( ωg>0) 上,开环频率
特性的倒数,称为控制系统的增量裕量,记作 Kg,即
以分贝表示时
Kg大于 1,则增益裕量为正值,系统稳定。
Kg小于 1,则增益裕量为负值。系统不稳定。
一般说来为了得到满意的性能, 相位裕量应当在
30° ? 60° 之间, 而增益裕量应当大于 6dB。
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30
习题
6.9 6.10 6.11 6.12 6.16