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第三章 频率特性
频率特性（又叫频率响应）
频率特性是控制系统在频域中的一种数学
模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。
系统频率特性能间接地揭示系统的动态特
性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或
参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建
立动态模型的系统来说，很有用处。
2
第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性的定义,
? 在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的
复数之比。一般用 G(j?)表示。
即,—— 系统的输出稳态分量
控 制 系 统
trtr m ?s in)( ?t?mr )s i n ()( ?? ?? tctc mt?mc?
?
??
?
r
c)ωG (j ?c
3
例：无源 RC网络
输入,r(t)=Asin ?t
电容 C的等效复阻抗为
则输出量,
式中,
电路输出电压与输入电压的复数比,
（ RC=T）
这就是无源 RC网络的频率特性。
RC()it()rt ()ct
Cjω
1
Cωj
Ic ???
Cωj
1R
rI
?
? ??
1ωjT
1
1ωR C j
1c)ωG ( j
????? ?
??
r
4
二、频率特性的性质
1,与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型 。
它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构
参数给定，则 频率特性也完全确定 。
2,频率特性是一种稳态响应。
系统稳定的前提下求得的，对于 不稳定系统则无法直接
观察到稳态响应。 从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可
以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我
们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态
性能、稳态性能等。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。
这是由于系统中的储能元件引起的。
5
4,实际系统的输出量都随频率的升高而 现失真，幅值衰减。
所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。
5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。
三、频率特性的求取,
1、根据定义求取。
即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其
稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
2、根据传递函数求取。
即用 s=j?代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得。
6
? 根据传递函数求取频率特性,
? 传递函数,
? 频率特性, （ s=j?）
? ?Cs()Rs ()Gs
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
asasasa
bsbsbsb
R ( s )
C ( s )G ( s )
???
?????
?
?
?
?
??
??
)j V ( ω)U( ω)eA( ω
a)(j ωa)(j ωa)(j ωa
b)(j ωb)(j ωb)(j ωb
)R ( j ω
)C ( j ω
)G ( j ω
)( ωj φ
n1
1n
1n
n
n
m1
1m
1m
m
m
???
????
????
?? ?
?
?
?
??
??
7
A（ ?） —— 幅频特性； G（ j?） 的模，它等于稳态 的输出分
量与输入分量幅值之比,
?（ ?） —— 相频特性； G（ j?） 的幅角，它等于稳态输出分量
与输入分量的相位差。
U（ ?） —— 实频特性； G（ j?） 的实部。
V（ ?） —— 虚频特性； G（ j?） 的虚部。
都是 ?的函数，之间的
关系用矢量图来表示。
jV
()V ?
()A ?
()U ?
()??
()Gj ?
U0
)()()()( )()( )( ?????? ?? jVUeAjR jCjG j ????
8
四、频率特性的三种图示法
1,极坐标 图 —— Nyquist图 （ 又叫幅相频率特性,
或奈奎斯特图简称奈氏图 ）
2,对数坐标图 —— Bode图 （ 又叫伯德图, 简称伯
氏图 ）
3,复合坐标图 —— Nichocls图 （ 又叫尼柯尔斯
图, 简称尼氏图 ） ；及一般用
于闭环系统频率特性分析的 。
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第二节 幅相频率特性
? 一、典型环节的极坐标图
? 1.放大环节
? G(jω)=K=U+jV
?
? =
? 放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的
距离为 K。
KVU ?? 22 ? ?jωG
?0)( 1 ?? ?
U
VtgjG ?
0
Im
ReK
10
? 2,微分环节
? G(jω)=jω
? =ω
? 微分环节是一条与虚轴正段相重合的直线。
? ?jωG
)( ?jG ?9001 ?? ? ?tg
0? ?
? ??
0
Im
Re
11
? 3,积分环节
?
G(jω)=
jω
1
= ? ?
jωG ω1
)( ?jG
由于 = - 90°是常数。而随 ω增大而减小。因此，
积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
)( ?jG
? ??
0? ?
Im
Re0
?90
0
1
1 ??
?
? ? ?tg
12
? 4,惯性环节
我们取三个特殊点，显然
不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值逐步衰
减，最终趋于 0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于
90°,其极坐标图为一个半圆。
?90- 0)G ( j ???
)( ?jG ? 01? ?? ?tg ? ?? ?
?0 1G ( j 0 ) ?? ?4521T1jG ????????
? ? 22 Tω1 1jωG ??
? ? 2222 Tω1 TωjTω1 1Tωj1 1ωjG ??????
13
设, G(jω)=U+jV,极坐标图为一个半圆可证明如下,
实频特性
虚频特性
将它们之比 代入实频特性表达式
经化简、配方得到
上式为圆方程，圆心为,半径为 。
2T1
1U
2???
22 Tω1
ω TV
?
??
TωUV ??
2
U
V1
1U
???????
?
2
2
2
2
1V
2
1U ?
?
??
?
????
?
??
?
? ?
??????,021
21
14
0? ?
?
1
2 1
Re
Im
????0
15
? 5,振荡环节
? 显然，当 ω=0,和 ω=∞时,
? ? ? ? 12122 ??? ???? TjjTjG
? ? ? ? ? ?
2222 21
1
???
?
TT
jG
??
?
)( ?jG 1?tg 221 2 ???T T???
? ? ? ? ? ? ? ? 22222222
22
21
2
21
1
???
??
???
?
TT
Tj
TT
T
?????
??
?0 1G ( j0 ) ??
?90211 ????
?
??
?
?
?TjG
?1 8 0- 0)G ( j ???
16
?
极坐标相位从 0°到 -180变
化，频率特性与虚轴交点
处的频率是无阻尼自然振荡
频率,ζ越小，对应 ω的幅
值越大。说明频率特性与
ω,ζ均有关。当 ζ小到
一定程度时，将会出现峰
值，这个值称为谐振峰值
Mr,此时对应的频率称为谐
振频率 ωr。
? ??
0? ?
n
?
n
?
n
?
2
?
3
?
Im
Re
0
1
?
?
?
321
??? ??
1
?
?
?
?
17
? 6,一阶微分环节
? G(jω)=1+jωT
? 当 ω从零变化到无穷时，相频从 0°变化到 +90°，
其幅相频率特性是通过（ 1,0）点，且平行于正虚
轴的一条直线
? ? 22 Tω1jωG ??
??)( ?jG 1?tg?
0? ?
? ?
10
Im
Re
18
? 7,二阶微分环节
? 随着 ω的增加,G(jω)的虚部是正的单调增加，
而实部则由 1开始单调递减,
? ? ? ? ? ? ? ? T ωj2 ζωT11j ωT2 ζj ωTj ωG 2222 ??????
? ? ? ? 222222 ωT4 ζωT1j ωG ???
)( ?jG 1?tg? 22ωT1 T ω2? ?
0? ?
??
Re
Im
0 1
?
19
? 8,延迟环节
? 延迟环节的幅频特性是与 ω无关的常量，其值
为 1。而相频特性则与 ω成线性变化。故其极坐
标图是一个单位图
Tje ?? ? =)G ( j
? ? 1jωG ?
? ? ?)( ?jG 1?tg?
?
Im
Re
11?
j?
j?
0
20
二、开环系统的幅相频率特性
? 绘制系统开环频率特性的极坐标图，则
需把系统所包含的各个环节对应频率的
幅值相乘，相角相加。
? 例,求如下传递函数的极坐标图。
?
? 解,G(jω)可写为,
?
? ? Tjω1 ejωG Tjω?? ?
? ? Tj ω1 1ej ωG Tj ω ??? ?
21
? 其幅值与相角分别为,
? 由于幅值是从 1开始单调减小，相角也是单调
减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋
线
? ? 22Tj ω Tω1 1Tj ω1 1ej ωG ???? ?
TtgT ??? 1Tj ω Tj ω1 1e)G ( j ?? ?????????
?
0? ?
Im
Re
0
1
22
? 设系统的开环传递函数为
系统的型号,一种依据系统开环传递函
数中积分环节的多少来对系统进行分类
的方法
１,0 型系统 （ N=0）
２,I 型系统 （ N=1）
3, II 型系统 （ N=2）
… …
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??? ???
21
N
ba
Tj ω1Tj ω1j ω
Tj ω1Tj ω1K)j ω(j ωG
??
???H
23
? 极坐标图的形状与系统的型号有关，一
般情况如下 （注意起始点）,
II型系 统
I型系 统
0 型系 统
0
Im
Re
0??
?
?
?
?
0
? ?
?
0
24
? ??
()
()
()
m
m
n
n
b j w
G j w
a j w
?
?
?
LL
LL
Re
Im
0
1?? mn
2?? mn
3?? mn
?注意终止点,
25
e
R
m
I
?
21
21
TT
TT
?
1
0?????
m
I
)1)(1(
1
21
?? TjTj ??
eR
mI
0?????
1
1
?Tj?
1
?
26
。
e
R
m
I
???
)1(
1
1
?Tjj ??
1
T
?
0
?
?
1
21
TT??
e
R
m
I
???
)1)(1(
1
21
?? TjTjj ???
1
T
?
0
?
?
21
TT ?
27
结论,
１,0 型系统 （ N=0）,极坐标图起始于正实轴
上的有限点，终止于原点。
２,I 型系统 （ N=1）,由于存在一个积分环
节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平
行的直线。当 ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原
点并且与某坐标轴相切。
3, II 型系统 （ N=2）,低频处，极坐标图是
一条渐近于负实轴的直线 。在 ω=∞处幅值为零,
且曲线相切于某坐标轴。
