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,自动控制原理,
—— 频率特性法 （ 6－ 6）
（动态分析 闭环频率特性）
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
由于人们的直觉是建立在时间域中的，所以,
工程上提出的指标往往都是时域指标。
研究表明，对于二阶系统来说，时域指标与频
域指标之间有着严格的数学关系。而对于高阶系统来
说，这种关系比较复杂，工程上常常用近似公式或曲
线来表达它们之间的相互联系。
一、时域动态性能指标, 与开环频域指标,
ω c的关系
1．二阶系统
stp? ???()Rs ()Cs
2
( 2 )
n
nss
?
???
3
（ 1） 与 之间的关系
开环传递函数
幅频特性,
令 求得
所以相位裕量,
当 0＜ ＜ 600 时,与 为近似直线关系，下图中虚
线所示，此时
=100
)2 ζs ( s
ωG ( s )
n
2
n ???
2
n
22
2
n
)ωω(2 ζ)ω(
ω)G ( j ω
???
24nc 2 ζ4 ζ1ωω ???
24
1
24
1
c
2 ζ4 ζ1
2 ζ
tg
2 ζ
2 ζ4 ζ1
tg90)G (j ω180γ
??
?
??
????? ????
1)ωG(j c ?
? ??
? ?
p? ?
24
c
n 2 ζ4 ζ1
ωω
??
?
4
100%eσ 2ζ1
ζ
p ??
?
? ?
时域分析可知，二阶系统的最大超调量,
9060
3000.40.81.21.6.0?
?? rM
0.2 0.8.61.00 0.4
1
3
2
?
rM
p?p?
?
p?
不难发现,
与
与 的关系是通过中间参数 ζ相联系 p? ?
5
结论,
对于二阶系统来说, 越小, 越大； 越
大, 越小 。 为使二阶系统不至于振荡得太厉害以
及调节时间太长, 一般取,
300 ≤ ≤70 0
p??
p?
?
?
6
（ 2） 与, 之间的关系
因为
将 代入上式
可以看出,ζ确定以后, 增益剪切频率 ωc大
的系统, 过渡过程时间 短, 而且正好是反比
关系 。
n
s ωζ
3t ?
ζ
2 ζ4 ζ13
ωt
22
cs
??
?
st c??
24
c
n
2 ζ4 ζ1
ωω
??
?
st
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2、高阶系统
对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难
以找到准确的关系式。介绍如下两个经验公式,
式中
可以看出，超调量 随相位裕度 的减小而增大；
过渡过程时间 也随 的减小而增大，但随 ωc的增大
而减小。
)90γ( 3 51)γs i n 10, 4 (0, 1 6p ?? ??????
)90γ( 3 51)γs i n 12, 5 (1)s i n 1(5.12K 2 ?? ??????? ?
(s )ωK π
c
?st
p?
st
?
?
8
结论
由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知,
系统开环频率特性中频段的两个重要参数 ?,
ωc,反映了闭环系统的时域响应特性。所以可
以这样说,
闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅
频特性的中频段。
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例,一系统
试估算该系统的时域性能指标。
解,开环放大系数 K=250 20lgK=20lg250=48(db)
各环节的转折频率
400 2 5.0 15002.0 1 ?? 085.08.11 17.159.0 1 ??
1)1 ) ( 1 1, 8 s1 ) ( 0, 0 2 5 ss ( 0, 0 2 s
1)2 5 0 ( 0, 5 9 sG ( s )
???
??
8 0
1 2 0
4 0
0, 0 1
()L ?dB
10, 1
- 2 0
0, 0 8 5 1, 7 1 2
40? 60?604020? ?
10
图中 ωc=12s-1，它是最小相位系统，故相位裕量,
=1800+φ（ ωc） =1800+（ -tg-10.02?12-tg-10.025?12
-tg-111.8?12+tg-10.59?12-900）
=1800+(-13.50-16.70-89.60+820-900)=52.20
所以，闭环系统的最大超调量 σp及过渡过程时间,
?
0, 6 8 ( s )
12
3, 1 42, 5 8 7
ω
k π
t
2, 5 8 7( 0, 2 7 )2, 50, 2 71, 521)
52s i n
1
2, 5 (1)
52s i n
1
1, 5 (2k
2 7 %0, 2 70, 1 0 80, 1 61)
52s i n
1
0, 4 (0, 1 6σ
c
s
22
p
?
?
??
???????????
???????
??
?
st
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二、时域指标与闭环频域指标的关系
闭环频域指标,
（ 1）零频幅值 M0,
?=0时闭环幅值。
（ 2）谐振峰值 Mr,
闭环幅频最大值。
（ 3）谐振频率 ?r,
谐振峰值时频率。
（ 4）系统带宽 ?b,
闭环幅值减小到 0.707 M0时的频率。 0????b，称为系统带宽。
（ 5）剪切率,M(?) 在 ?b处的斜率。反映了系统的抗干扰能
力，斜率越大，抗干扰能力越强。
通常用 Mr和 ?b（或 ?r）作为闭环系统的频域动态指标。
rM
00, 7 0 7 M
0M
r? b? ?
( d B )M
0
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1,二阶系统
1） ?p与 Mr的关系
谐振频率为,
谐振峰值,
可见,Mr与 ?成反比。 相同
的 ?,Mr较高，超调量 ?p也
大，且收敛慢，平稳性及
快速性都差。当 Mr=1.2?1.5时,
对应 ?p =20?30%,可获得适度的振荡性能。若出现
Mr>2，则与此对应的 ?p 可高达 40%以上。
0, 7 0 7 )ζ(02 ζ1ωω 2nr ????
)0, 7 0 7ζ(0
ζ12 ζ
1M
2r ????
rM
0.2 0.80.61.00,4
1
3
2
?
rM
p?p?
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2） ts与 ?b的关系
根据带宽定义，在频率 ?b处，系统的频率幅值为
解出 ?b与 ?n, ? 的关系为
由 得到
对于给定 ?,ts与 ?b成反比。如果系统带宽大，则
说明系统,惯性” 小，动作迅速,ts也小。
还可找到 Mr, ?r, ?b的关系，所以有时也用 ?r
反映系统的快速性。
0, 7 0 7
)ωω(2 ζ)ω-( ω
ω)M( ω
2
bn
22
b
2
n
2
n
b ???
422nb 4 ζ4 ζ-22 ζ-1ωω ???
422
sb 4 ζ4 ζ-22 ζ-1ζ
3tω ???
n
st ??
3?
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2,高阶系统
对于高阶系统、难以找出确切关系。研究表明,?
较小时，工程上常用经验公式
（ 350≤?≤900）
闭环频域指标又可表示为形式,
?p =0.16+0.4(Mr-1) (1? Mr ?1.8)
和
式中
K=2+1.5(Mr -1)+2.5(Mr -1)2 (1? Mr ?1.8)
表明高阶系统的 ?p 随着 Mr 增大而增大。过渡过程
时间 ts 随 Mr 增大而增加，随 ?c 增大而减小。
?sin
1M
r ?
( s)ωK πt
c
s ?
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三、闭环频率特性 —— Nicholis图
1,闭环系统 Bode 图
以单位反馈为例 )(1 )()( ??? jG jGj ???
?
( d B )
)( ?j?
2 0
4 0
－ 2 0
)( ?j? db0
?
0 db??
?
? )( ?j?
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二、闭环频率特性 —— Nicholis图
对单位反馈系统而言，开、闭环频率特性关系
以开环频率特性 G（ jω） = 代入上式，则
—— 闭环幅值与开环幅值、相
位的关系
—— 闭环相位与开环幅值,
相位的关系
)(j)eM(
)G ( j1
)G ( j)(j ωΦ ???
?
? ?
??
)()( ??? jeA
-111
j
j
A
φs inj)
A
φc o s(1
A1Ae
11Me
???
?
???
? ???
???
?
???
? ??
?????? ??
?? ?
?
?
je
2A
1
A
φ2 c o s
1
1M
??
?
Aφc o s
φs i ntg)( ωα 1
??
?
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令,M=常数，得到等 M曲线
α＝ 常数，得到等 α曲线
—— 构成 Nicholis图线（ P157）
利用 Nicholis图分析闭环系统
Mr, ?r, ?b 及 ?, GM
