上海交通大学：自动控制原理：6－3 频域：伯德图

1
,自动控制原理,
—— 频率特性 法 （ 6－ 3）
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
一、对数坐标图
1,幅频特性图,
纵坐标,幅值的对数 20lg（ dB）,采用线性分度；
横坐标,用频率 ω 的对数 lgω 分度。
2.相频特性图
纵坐标,频率特性的相移，以度为单位，采用线性
分度；
横坐标,用频率 ω 的对数 lgω 分度。
6-3 典型环节的伯德图
3
?
180?
1 100, 1
20
40
60
- 2 0
- 4 0
- 6 0
?
0
?
90
?
18 0
?
90?
2 3 4 6 85 7
?
dBL )( ?
)( ??
4
1,放大环节 G(jω)=K
放大环节的对数幅频特性是一条幅值为 20lgK分
贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重
合的直线。 K>1时,20lgK>0dB； K<1时,20lgK<0dB。
()L ?
()??
2 0 l g K
20
10
10
10
0
o
0
100
100
?
?
10
o
6-3 典型环节的伯德图
5
2,积分环节
当 ω=1时
当 ω=10时
ω每增加 10倍,L(ω)则衰减 20dB,记为,
－ 20dB/十倍频程，或 -20dB/dec。 或直接写成 -20。
说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴
上 ω=1这一点，且斜率为 -20的直线。
? ? jω1jωG ? ? ? ? ? ? ?dB2 0 l g ωj ω12 0 l gj ωG2 0 l gωL ????
? ? dB02 0 l g 1ωL ???
? ? dB022 0 l g 1 0ωL ????
6
相频与 ω无关，值为 -90°且平行于横轴的直线。
()L ?
()??
0, 1
0,1
20
10
10
0
o
90?
o
?
?
0
1
1
20?
7
3,微分环节
微分环节是积分环节的倒数，它们的曲
线斜率和相位移也正好相差一个负号。
? ? jωjωG ?
()L ?
()??
0, 1
10, 1
10
100
o
?
?
20
90
o
1
20?
0
20?
8
4,惯性环节
惯性环节的幅频特性为
惯性环节的幅频特性
在 时（低频段）,
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性
是与横轴相重合的直线。
? ? Tjω1 1jωG ??
22
22
1lg20
1
1lg20
1
1lg20 T
TTj
?
??
???
?
??
T1ω??
? ?dB02 0 l g 1Tω12 0 l g 22 ?????
9
在 时（高频段）,
幅频特性,
—— 表示一条经过 横轴处，斜率为 -20dB/dec的直线
方程。
综上所述,惯性环节的对数幅频特性可以用在
处相交于 0分贝的两条渐近直线来近似表示,
当 时，是一条 0分贝的直线；
当 时，是一条斜率为 -20dB/dec的直线。
T1ω??
? ?dBT2 0 l g ωTω12 0 l g 22 ????
T1ω?
T1ω?
T1ω??
T1ω??
10
两条渐近线相交处的频率 称为转折频率
或交接频率。
()L ?
()??
10?
0
0
o
90?
o
45?
o
1
T
20?
?
?
精确曲线
dB
T1ω?
11
惯性环节的相频特性
当 ω=0时，,当 时,； 当 ω趋于
无穷时,趋于 -90°。
采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算
的。幅值的最大误差发生在转折频率 处，近似等
于 3dB。
分析表明：惯性环节具有 低通特性,对低频输入能
精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。
因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
? ? Tωtgω 1????
? ? o0ω ?? T1ω? ? ? o-4 5ω ??
??ω?
T1ω?
? ?dB3, 0 11 0 l g 2112 0 l g ??????
12
5,一阶微分环节
一阶微分环节的频率特性（ 1+jωT）
与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此
其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。
即
? ? Tjω1jωG ??
22 Tω12 0 l gTj ω12 0 l g ???
? ? Tωtgω 1???
13
一阶微分环节高频渐近线的斜率是 +20dB/dec,其
相位变化范围由 0°（ ω=0） 经 +45°至 90°（ ω=∞）
()L ?
()??
1
10 T
1
10 T
1
T
1
T
10
T
10
T
20
90
o
45
o
0
o
?
?
20?
0
dB
14
6,振荡环节
对数幅频特性
对数相频特性
低频段，即 ωT<<1时
——低频渐近线为一条 0dB的水平直线。
? ? ? ? 1Tj ω2 ζj ωT 1j ωG 22 ???
? ? ? ? ? ? 2222 T ω2 ζωT12 0 l gωL ????
? ? ?????? ??? ? 221 ωT1 T ω2 ζtgω?
? ? dB 02 0 l g 1ωL ＝??
15
高频段，即 ωT>>1时
当 ω增加 10倍
即高频渐近线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。
当 时
说明 为二阶系统 (振荡环节 )的转折频率。
? ? ? ? ? ? 2222 T ω2 ζωT12 0 l gωL ????
)l g (40)l g (20)( 22 TTL ??? ????
T
1ωω
n ??
)(01lg40lg40)( dBTL ????? ??
T
1ωω
n ??
4 0 l g T ω404 0 l g 1 0 T ω)( ??????L
16
? 。
101
10
?
0
?
90?
?
1 80?
()??
10?
1.0
0
)( ?L
2.0 2 4 6 88.06.04.0
n
?? /
1.0??
2.0
3.0
7.0
1
1.0??
2.0
3.0
7.0
1
dB
17
可见：当频率接近 时，将产生谐振峰
值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
相角 是 ω和 ζ的函数。在 ω=0,；当
时，不管 ζ值的大小,； 当 ω=∞
时,。相频曲线对 -90°的弯曲点是斜
对称的。
振荡环节的对数幅频特性在转折频率
附近产生谐振峰值 可通过下列计算得到,
nωω?
? ? 0ω ??
? ? o90ω ???
? ? o180ω ???
?
T1ωn ?
? ?rjωG
nωω?
18
振荡环节的幅频 特性为
其中,
当出现揩振峰值时,有最大值，即 有最小值。
得到
式中
? ? ? ? ? ? ? ?
ωg
1
T ω2 ζωT1
1j ωG
2222
?
??
?
? ? ? ? ? ?2222 T ω2 ζωT1ωg ???
? ?jωG ? ?ωg
? ? ? ? ? ?? ? 0T ω2 ζωT1
d ω
d
d ω
ωdg 2222 ????
2n2r ζ21ωζ21T1ω ???? ?????? ?? 21ζ0
T
1ω
n ?
19
将 代入,不难求得 。
因此，在 ω=ωr处 具有最小值，亦即 此刻具
有最大值。将 代入幅频特性 中,
得谐振峰值 Mr为
谐振频率 ωr及谐振峰值 Mr都与 ζ有关。 ζ越小,ωr越接近
ωn,Mr将越大。当 ?>0.707时,?r为虚数，说明不存在
谐振峰值，幅频特性单调衰减。当 ?=0.707时,?r=0，
Mr=1。 ?<0.707时,?r>0,Mr>1。 ? ?0时,?r ??n，
Mr?∞。 谐振时,G(jω)的相角为
2nr 2 ζ1ωω ??
? ?
2
2
dω
ωgd
? ? 0
ωd
ωgd
2
2 ?
? ?ωg
? ?rjωG
? ?jωG
? ? 2rr ζ12 ζ 1j ωGM ???
2nr 2 ζ1ωω ??
? ? ζ 2 ζ1tgj ωG 21r ??? ?
2
10
2 ζ1
ζs i n90
?
??? ?
20
7,二阶微分环节
频率特性
对数幅频特性
相频特性
即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振
荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时，
其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为
+40dB/dec而相频由 0°（对应 ω=0） 经
90°,最后趋于 180°（ ω→∞ ）。
? ? ? ? ? ? 22 j ωTj ωT2 ζ1j ωG ???
? ? ? ? ? ? 2222 T ω2 ζωT120lgωL ???
? ? 221 ωT1 T ω2 ζtgω ?? ??
?????? ?? T1ωω n
21
()L ?
()??
dB
1
10 T
1
T
10
T
20
90
o
0
o
?
?
0
40
40?
?
180
7.0??
3.0
2.0
7.0??
3.0
2.0
22
8,延迟环节
幅频特性
相频特性
Tjωe ?
? ? ? ? dB02 0 l g 1j ωG2 0 l gωL ???
? ? 0Tj ω T5 7, 3T ( r a d )ωeω ?? ????? ?
1
T
10
T
1
10 T
()??
?
0
o
100?
o
200?
o
300?
o
400?
o
23
二、开环系统的 伯德图
基本步骤,
把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积
形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲
线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的
伯德图。
例 1,
)11.0(
10)(
?
?
??
?
jj
jG
24
①
②
③
④
?
?
1
)( ?L
10 1 0 0
20
40
20?
?
0
?
90?
?
45?
?
180?
①
②
③
④
)( ??
)11.0(
10)(
?? ??? jjjG
25
三、最小相位系统
1,定义,
在系统的开环传递函数中，没有位于 S右半平
面的 零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为
最小相位系统，反之为非最小相位系统。
七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。
2,最小相位系统特征,
a,在 n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位
系统的相角变化范围最小。
这里 n和 m分别表示传递函数分母和分子多项式
的阶次。
26
例,两个系统的开环传递函数分别为（ T1>T2）
它们的对数幅频和相频特性为
? ? ST1 ST1SG
1
21 ??? ? ? ST1 ST1SG
1
22 ???
? ? ? ? ? ? 21221 Tω12 0 l gTω12 0 l gωL ????
? ? ? ? ? ? 21222 Tω12 0 l gTω12 0 l gωL ????
? ? 21111 TωtgTωtgω ?? ????
? ? 21112 TωtgTωtgω ?? ????
()L ?
()??
1
1
1
T
? ? 2
2
1
T
? ?
?
?
20?
0
o
90?
o
180?
o
dB
0
1
G?
2
G?
27
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由
图可见,的变化范围要比 大得多。
—— 最小相位系统
—— 非最小相位系统
? ?ω2? ? ?ω1?
)(1 sG
)(2 sG
()L ?
()??
1
1
1
T
? ? 2
2
1
T
? ?
?
?
20?
0
o
90?
o
180?
o
dB
0
1
G?
2
G?
28
b,当 ω=∞时，其相角等于 -90°（ n-m）,对
数幅频特性曲线的斜率为 –20(n–m)dB/dec。 有时
用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。
c,对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对
应关系。 对于一个最小相位系统，我们若知道了
其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最
小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相
频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能
差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用
非最小相位元件。