1
,自动控制原理,
—— 根轨迹法 (5-2)
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
第五章, 根轨迹法,
6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点
分离点或会合点的 必要条件,
式中
0)]()([ 11 ?ds sHsGd
)()(
)(
)(
)()( 111
1
1
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ps
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1
1
11
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分 离 点
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1K ?? 01 ?K01 ?K1K ??
会 合 点 01 ?K
01 ?K
3
第五章, 根轨迹法,
设 系统的开环传递函数
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i
i ?????? ?
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1
21
)())(()()(
1 21 n
n
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ps
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sHsG
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j
j
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i
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4
第五章, 根轨迹法,
根轨迹在 s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上
的分离点 (或会合点 ) 与特征方程式的重根相对应。若为二重
根，必同时满足 和 。因此求得,
消 去，可得到,
便于忘记，上式又可写成,
或
以上分析没有考虑 (且为实数 )的约束条件, 所以只有满
足 的这些解, 才是真正的分离点 （ 或会合点 ） 。
0)( 1 ?sf 01 ?? )s(f
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0
0
1
1
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)s(Q)s(PK
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ds
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01 ?K
01 ?K
5
第五章, 根轨迹法,
例, 设系统
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点 。
解,系统的开环传递函数,
求得,
代入特征方程 1+G(s)H(s)=0检验,s1代入，求得,K＜ 0，故
舍去； s2代入，求得 K＞ 0 。所以 s2会合点。
()Rs ()Cs?? 12 ( 2 )22Ksss ???
22
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2
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4 1 4.35 8 6.0 21 ???? ss (舍去 )
6
第五章, 根轨迹法,
检验 K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。
一般来说,如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点 (零点 )
之间；则个分离点 (会合点 ) 。如果根轨迹位于实轴上一个开
环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不
存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。
Re
Im0[]sj
j?1?2? 1 0K ?1 0K ?3, 4 1 4? 1K?1K?
7
第五章, 根轨迹法, Re
Im
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1K?1K?
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分 离 点
分 离 点
Re1
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1K?1K? Im0
四重分离点 复数分离点
8
第五章, 根轨迹法,
另外两种表达形式,
(1)
因为
令,即得到
)(
)(
1 sP
sQK ??
)s(P
)s(P)s(Q)s(P)s(Q
ds
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2
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01 ?dsdK 0???? )s(Q)s(P)s(Q)s(P
9
第五章, 根轨迹法,
仍以上例说明,
因为
令
求得
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2
222
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s
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10
(2)
因为
即
其中
即
所以
-
第五章, 根轨迹法,
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11
0???? )s(Q)s(P)s(Q)s(P
11
仍以上例说明,
因为
消去分母
解上式得到
经检验,s2是根轨迹在实轴上的分离点。
对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定
要检验，舍去 K＜ 0所对应的值。
第五章, 根轨迹法, ()Rs ()Cs?? 12 ( 2 )22Ksss ???
jsjss ??????? 1
1
1
1
2
1
0242 ??? ss
414.32 ??s（舍去） 5 8 6.01 ??s
12
第五章, 根轨迹法,
复杂情况用试探法。
在 -2?-3之间存在一个分离点。
所以分离点的位置为
Re
Im0
1?2?3?
3
1
2
11
1
1
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5.2??s
4.07.0,35.2 125.2 15.2115.2 1? ?????????????
4.2??s 2 4 7.17 1 5.0 ???
47.2??s
347.2
1
247.2
1
47.2
1
147.2
1
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47.2??s
34.2
1
24.2
1
4.2
1
14.2
1?
??????????
13
7、根轨迹的出射角与入射角
若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为,则
（各零点 到的向量幅角 之和）
?（其它各极点到 的向量幅角 之和 ）
若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为,则
(各极点到 的向量幅角 之和 )
?(其它各零点到 的向量幅角 之和 )
第五章, 根轨迹法,
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11
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14
出射角 (或入射角 )是指根轨迹离
开复极点 (或终止复零点 )处切线的
倾角。
在根轨迹曲线上取试验点 s1，与
复极点 -pa的距离为 。
当 时，可近似地
认为 s1在切线上，切线
的倾角就等于复极点的
出射角。
所以 的 出射角,
第五章, 根轨迹法,
Re
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1p? 2p?3p?
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15
8,根轨迹与虚轴交点
根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程
的 值。 工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍常用的三种方法。
(1) 利用特征方程求取。 用 替代 s，令虚部、实部分别等于
零，求得 和对应的 K1。
(2) 利用劳斯阵列求取。 将劳斯阵列中 s2行系数构造的辅助
方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯
阵列中大于 2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
(3) 利用试探法求取。 先给出根轨迹的大致图形，根据经验
选择满足幅角条件的试探点求出,再利用幅值条件确
定交点处的 K1值。
第五章, 根轨迹法,
)()(1 ?? jHjG?
?j
?j
?j
?
?j
16
第五章, 根轨迹法,
例 系统的开环传递函数为
试绘制根轨迹图
解,开环极点,0,-3,-1+j,-1-j
开环零点,4个无限零点
(1)渐近线：应有 n-m=4-0=4条渐近线。
渐近线的倾角,
渐近线与实轴的交点,
(2) 实轴上的根轨迹,0 ? -3
)ss)(s(s
K)s(H)s(G
223 2
1
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???? 135,45
4
)12(180)12(180 ??????
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mn
k?
25.14 )1()1(300)( 4321 ??????????? ??????? jjmn pppp?
17
(3)分离点,
利用试探法求得
(4)极点 -p3的出射角,不难求得极点 -p1,-p2,-p4到 -p3的
幅角分别,,,
所以
同理不难求得极点 -p4处的出射角,
(5)根轨迹与虚轴的交点,
方法一：由特征方程求,
特征方程,
第五章, 根轨迹法,
01111311 ????????? jsjsss
3.2??s
3?
?135 ?4.18 ?90
????????????? 6.71)904.18135()12(1803 k?
?? 6.714?
0685 1234 ????? Kssss
0)-5(j)K( 3 ????? ???? 68 124?js?
18
实部方程,
虚部方程,
解得,
方法二：由劳斯阵列求,
列出劳斯阵列
令 s1行首项为零，即
求 K1 =8.16得，再根据行 s2系数得到辅助方程
第五章, 根轨迹法,
08 124 ??? K??
065 3 ??? ??
11110 321,,???? ???
(舍去 )
16.81 ?K
1
0
1
1
1
2
3
1
4
34/)252 0 4(
5/34
65
81
Ks
Ks
Ks
s
Ks
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034252 0 4 1 ?? K
0534 12 ?? Ks 1.1???
19
9,根轨迹的走向
当 n-m≥2满足时，随着 K1增加，一些根轨迹分支向左方
移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。
开环传递函数,
特征方程,
当满足 n-m≥2 时，上式 sn-1项将没有同次项可以合并，通
常把称之为极点的, 重心, 。
第五章, 根轨迹法,
)()(
)()()()(
1
11
n
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m
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1
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j
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n
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n pspssHsG
1 1
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i
m
i m
mim zKszKsK
1 11
111 ??
?
?
?
n
j
i np
1
/
20
当 K1变化时，极点的重心
保持不变。所以，为了平衡
,重心, 的位置，当一部分根
轨
迹随着的增加向左方移动时,
另一部分根轨迹将向右方移动,
例
第五章, 根轨迹法,
))()(()()( 432
1
PsPsPss
KsHsG
????
Re
Im0
1p?2p? 3p? 4
p?
21
第五章, 根轨迹法,
10,根轨迹上 K1值的计算
根轨迹上任一点 S1处的 K1可由幅值条件来确定。即
=
m
n
zszs
psps
sHsGK ??
????
111
111
111
1 )()(
1
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所引向量长度的乘积零点至
所引向量长度的乘积极点至
1111
1111
s)s(H)s(G
s)s(H)s(G
22
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 规 则
1 起点终
点
起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括
无限零点）
2 分支数 等于开环传递函数的极点数（ n?m）
3 对称性 对称于实轴
4
渐近线 相交于实轴上的同一点,
坐标为,倾角为,
5
实轴上
分布
实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，
则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为
奇数
mn
zpn
i
m
j
ji
?
?
???
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? ?1 1?
mn
k
?
??? )12(1 8 0 ??
23
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 规 则
6 分离（回
合）点
实轴上的分离（会合）点
—— （必要条件）
7 出射角
入射角
复极点处的出射角,复零点处的入射角,
8 虚轴交点 （ 1）满足特征方程 的 值；
（ 2）由劳斯阵列求得（及 K1响应的值）；
9 走向 当 时, 一些轨迹向右，则另一些将向左。
10
K1计算
根轨迹上任一点处的 K1,
00)]()([ 111 ?? dsdKds sHsGd 或
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i
n
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jia k 1 1)12(1 8 0 ??? ? ? ?
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1 1
)12(180 ??? ?
???? 1,2 Kmn
0)()(1 ?? ?? jHjG ?j
长度的乘积开环零点至向量
长度的乘积开环极点至向量＝
s
s
sHsGK )()(
1
1111
1 ?
24
第五章, 根轨迹法,
例, 系统的开环传递函数
试画根轨迹，并确定 时 K1的值。
解,只对根轨迹曲线的特征点进行分析。
(1) 渐近线,3条。
渐近线的夹角,
渐近线与实轴的交点,
（ 2）分离点,
即
（舍去）
)6)(4()()(
1
??? sss
KsHsG
5.0??
??? 180,6013 )12(180 ??? ??? k?
33.33 0)640( ???????? ?
061411 ????? sss
57.11 ??s 1.52 ??s
024203 2 ??? ss
25
第五章, 根轨迹法,
（ 3）与虚轴的交点
系统的特征方程,s(s+4)(s+6)+K1=0
令 代入，求得
实部方程,
虚部方程,
解得,
(舍去 )
（ 4）确定 时的 K1 值,过原点作 OA射线交根轨迹于 A,
使得, 测量得,
求得
?js?
010 1 ?? K?
0243 ?? ??
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2 4 0
9.4
1K
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0
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1K
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?605.0co s 1 ??? ?A O C
5.3,3.5,4.2 ??? ACABOA
5.441 3.55.34.21 ????K
26
第五章, 根轨迹法,
A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置,
K1=44.5时另外两个极点
同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 -1.57处对应的 K1=17。
1.22.11 js ???
6.71.22.1 32 ????? sjs Re
Im
07, 6? ? 4? 1, 5 7? 1, 2?5, 33, 52,4
4, 32, 1
601 4 4, 5K ?1
240K ?A
1 4 4, 5K ?B C
27
第五章, 根轨迹法,
习题
P5.1
P5.2
P5.4 。
,自动控制原理,
—— 根轨迹法 (5-2)
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
第五章, 根轨迹法,
6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点
分离点或会合点的 必要条件,
式中
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)()(
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分 离 点
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3
第五章, 根轨迹法,
设 系统的开环传递函数
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21
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4
第五章, 根轨迹法,
根轨迹在 s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上
的分离点 (或会合点 ) 与特征方程式的重根相对应。若为二重
根，必同时满足 和 。因此求得,
消 去，可得到,
便于忘记，上式又可写成,
或
以上分析没有考虑 (且为实数 )的约束条件, 所以只有满
足 的这些解, 才是真正的分离点 （ 或会合点 ） 。
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5
第五章, 根轨迹法,
例, 设系统
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点 。
解,系统的开环传递函数,
求得,
代入特征方程 1+G(s)H(s)=0检验,s1代入，求得,K＜ 0，故
舍去； s2代入，求得 K＞ 0 。所以 s2会合点。
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6
第五章, 根轨迹法,
检验 K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。
一般来说,如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点 (零点 )
之间；则个分离点 (会合点 ) 。如果根轨迹位于实轴上一个开
环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不
存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。
Re
Im0[]sj
j?1?2? 1 0K ?1 0K ?3, 4 1 4? 1K?1K?
7
第五章, 根轨迹法, Re
Im
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分 离 点
分 离 点
Re1
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1 0K ?
1 0K ? 1 0K ?1K?
1K?1K? Im0
四重分离点 复数分离点
8
第五章, 根轨迹法,
另外两种表达形式,
(1)
因为
令,即得到
)(
)(
1 sP
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)s(P)s(Q)s(P)s(Q
ds
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9
第五章, 根轨迹法,
仍以上例说明,
因为
令
求得
0)22()2()()(1 21 ??????? sssKsHsG
2
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10
(2)
因为
即
其中
即
所以
-
第五章, 根轨迹法,
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11
仍以上例说明,
因为
消去分母
解上式得到
经检验,s2是根轨迹在实轴上的分离点。
对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定
要检验，舍去 K＜ 0所对应的值。
第五章, 根轨迹法, ()Rs ()Cs?? 12 ( 2 )22Ksss ???
jsjss ??????? 1
1
1
1
2
1
0242 ??? ss
414.32 ??s（舍去） 5 8 6.01 ??s
12
第五章, 根轨迹法,
复杂情况用试探法。
在 -2?-3之间存在一个分离点。
所以分离点的位置为
Re
Im0
1?2?3?
3
1
2
11
1
1
?????? ssss
5.2??s
4.07.0,35.2 125.2 15.2115.2 1? ?????????????
4.2??s 2 4 7.17 1 5.0 ???
47.2??s
347.2
1
247.2
1
47.2
1
147.2
1
?????????? 6 3 5.068.0 ???
47.2??s
34.2
1
24.2
1
4.2
1
14.2
1?
??????????
13
7、根轨迹的出射角与入射角
若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为,则
（各零点 到的向量幅角 之和）
?（其它各极点到 的向量幅角 之和 ）
若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为,则
(各极点到 的向量幅角 之和 )
?(其它各零点到 的向量幅角 之和 )
第五章, 根轨迹法,
ap? a?
???? )12(1 8 0 ka ?? i?
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m
i
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j
jik
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i
n
j
jk
11
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ap?
ap?
???? )12(1 8 0 kb ??
bz?
j?bz?
14
出射角 (或入射角 )是指根轨迹离
开复极点 (或终止复零点 )处切线的
倾角。
在根轨迹曲线上取试验点 s1，与
复极点 -pa的距离为 。
当 时，可近似地
认为 s1在切线上，切线
的倾角就等于复极点的
出射角。
所以 的 出射角,
第五章, 根轨迹法,
Re
Im
01
s
1p? 2p?3p?
ap? 1?
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)12(1 8 0)( 3211 ??????? ka ??????
)()12(180 3211 ????? ??????? ka ?
a?
15
8,根轨迹与虚轴交点
根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程
的 值。 工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍常用的三种方法。
(1) 利用特征方程求取。 用 替代 s，令虚部、实部分别等于
零，求得 和对应的 K1。
(2) 利用劳斯阵列求取。 将劳斯阵列中 s2行系数构造的辅助
方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯
阵列中大于 2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
(3) 利用试探法求取。 先给出根轨迹的大致图形，根据经验
选择满足幅角条件的试探点求出,再利用幅值条件确
定交点处的 K1值。
第五章, 根轨迹法,
)()(1 ?? jHjG?
?j
?j
?j
?
?j
16
第五章, 根轨迹法,
例 系统的开环传递函数为
试绘制根轨迹图
解,开环极点,0,-3,-1+j,-1-j
开环零点,4个无限零点
(1)渐近线：应有 n-m=4-0=4条渐近线。
渐近线的倾角,
渐近线与实轴的交点,
(2) 实轴上的根轨迹,0 ? -3
)ss)(s(s
K)s(H)s(G
223 2
1
????
???? 135,45
4
)12(180)12(180 ??????
?
??? k
mn
k?
25.14 )1()1(300)( 4321 ??????????? ??????? jjmn pppp?
17
(3)分离点,
利用试探法求得
(4)极点 -p3的出射角,不难求得极点 -p1,-p2,-p4到 -p3的
幅角分别,,,
所以
同理不难求得极点 -p4处的出射角,
(5)根轨迹与虚轴的交点,
方法一：由特征方程求,
特征方程,
第五章, 根轨迹法,
01111311 ????????? jsjsss
3.2??s
3?
?135 ?4.18 ?90
????????????? 6.71)904.18135()12(1803 k?
?? 6.714?
0685 1234 ????? Kssss
0)-5(j)K( 3 ????? ???? 68 124?js?
18
实部方程,
虚部方程,
解得,
方法二：由劳斯阵列求,
列出劳斯阵列
令 s1行首项为零，即
求 K1 =8.16得，再根据行 s2系数得到辅助方程
第五章, 根轨迹法,
08 124 ??? K??
065 3 ??? ??
11110 321,,???? ???
(舍去 )
16.81 ?K
1
0
1
1
1
2
3
1
4
34/)252 0 4(
5/34
65
81
Ks
Ks
Ks
s
Ks
?
034252 0 4 1 ?? K
0534 12 ?? Ks 1.1???
19
9,根轨迹的走向
当 n-m≥2满足时，随着 K1增加，一些根轨迹分支向左方
移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。
开环传递函数,
特征方程,
当满足 n-m≥2 时，上式 sn-1项将没有同次项可以合并，通
常把称之为极点的, 重心, 。
第五章, 根轨迹法,
)()(
)()()()(
1
11
n
m
psps
zszsKsHsG
??
???
??
??
? ?
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n
j
n
j
j
n
j
n
m
i
m
i
m
m
i
m
psps
zszsK
1 1
1
1 1
1
1 )(
??
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? ?
? ?
? ????? n
j
n
j
j
n
j
n pspssHsG
1 1
1)()(1 ??? ?
? ?
? ??? m
i
m
i m
mim zKszKsK
1 11
111 ??
?
?
?
n
j
i np
1
/
20
当 K1变化时，极点的重心
保持不变。所以，为了平衡
,重心, 的位置，当一部分根
轨
迹随着的增加向左方移动时,
另一部分根轨迹将向右方移动,
例
第五章, 根轨迹法,
))()(()()( 432
1
PsPsPss
KsHsG
????
Re
Im0
1p?2p? 3p? 4
p?
21
第五章, 根轨迹法,
10,根轨迹上 K1值的计算
根轨迹上任一点 S1处的 K1可由幅值条件来确定。即
=
m
n
zszs
psps
sHsGK ??
????
111
111
111
1 )()(
1
??
??
所引向量长度的乘积零点至
所引向量长度的乘积极点至
1111
1111
s)s(H)s(G
s)s(H)s(G
22
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 规 则
1 起点终
点
起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括
无限零点）
2 分支数 等于开环传递函数的极点数（ n?m）
3 对称性 对称于实轴
4
渐近线 相交于实轴上的同一点,
坐标为,倾角为,
5
实轴上
分布
实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，
则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为
奇数
mn
zpn
i
m
j
ji
?
?
???
? ?
? ?1 1?
mn
k
?
??? )12(1 8 0 ??
23
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容 规 则
6 分离（回
合）点
实轴上的分离（会合）点
—— （必要条件）
7 出射角
入射角
复极点处的出射角,复零点处的入射角,
8 虚轴交点 （ 1）满足特征方程 的 值；
（ 2）由劳斯阵列求得（及 K1响应的值）；
9 走向 当 时, 一些轨迹向右，则另一些将向左。
10
K1计算
根轨迹上任一点处的 K1,
00)]()([ 111 ?? dsdKds sHsGd 或
? ?
? ??
???? m
i
n
ajj
jia k 1 1)12(1 8 0 ??? ? ? ?
?
?
?
????? n
j
m
bi
i
ijb k
1 1
)12(180 ??? ?
???? 1,2 Kmn
0)()(1 ?? ?? jHjG ?j
长度的乘积开环零点至向量
长度的乘积开环极点至向量＝
s
s
sHsGK )()(
1
1111
1 ?
24
第五章, 根轨迹法,
例, 系统的开环传递函数
试画根轨迹，并确定 时 K1的值。
解,只对根轨迹曲线的特征点进行分析。
(1) 渐近线,3条。
渐近线的夹角,
渐近线与实轴的交点,
（ 2）分离点,
即
（舍去）
)6)(4()()(
1
??? sss
KsHsG
5.0??
??? 180,6013 )12(180 ??? ??? k?
33.33 0)640( ???????? ?
061411 ????? sss
57.11 ??s 1.52 ??s
024203 2 ??? ss
25
第五章, 根轨迹法,
（ 3）与虚轴的交点
系统的特征方程,s(s+4)(s+6)+K1=0
令 代入，求得
实部方程,
虚部方程,
解得,
(舍去 )
（ 4）确定 时的 K1 值,过原点作 OA射线交根轨迹于 A,
使得, 测量得,
求得
?js?
010 1 ?? K?
0243 ?? ??
??
?
?
??
2 4 0
9.4
1K
?
??
?
?
?
0
0
1K
?
5.0??
?605.0co s 1 ??? ?A O C
5.3,3.5,4.2 ??? ACABOA
5.441 3.55.34.21 ????K
26
第五章, 根轨迹法,
A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置,
K1=44.5时另外两个极点
同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 -1.57处对应的 K1=17。
1.22.11 js ???
6.71.22.1 32 ????? sjs Re
Im
07, 6? ? 4? 1, 5 7? 1, 2?5, 33, 52,4
4, 32, 1
601 4 4, 5K ?1
240K ?A
1 4 4, 5K ?B C
27
第五章, 根轨迹法,
习题
P5.1
P5.2
P5.4 。
